Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Одним из важных практических вопросов, которые встают пе­ред инженером, составляющим программы решения дифферен­циальных уравнений, является выбор подходящей величины шага. Если шаг слишком мал, то расчет потребует неоправданно много машинного времени, а число ошибок на отдельных шагах, складывающихся в суммарную ошибку, будет весьма велико. Если же, наоборот, шаг выбран слишком большим, то значитель­ной будет локальная погрешность, обусловленная усечением ря­дов, и накопившаяся суммарная ошибка будет также недопусти­мо большой.

Обычно, выбирая величину шага, стремятся, чтобы локальная ошибка на шаге была меньше некоторой заданной допустимой ве­личины. Вообще говоря, если порядок точности метода n, то ло­кальная ошибка определяется выражением Chⁿ⁺¹, где С — некоторая постоянная, a h — шаг.

Если используется один из методов прогноза и коррекции, то ошибка на шаге часто определяется величиной последнего члена в формуле коррекции (см., например, раздел, посвященный методу Милна). При использовании же метода Рунге — Кутта локальную ошибку не удается выразить в столь явной форме.

Если для вычисления значения искомой функции y_j+1 в точке x_j+1 используется шаг h, то разность между истинным и вычисленным значениями равна .

Если уменьшим шаг вдвое и вычислим в точке , то получим:

Вычитая это выражение из предыдущего, найдем:

Отсюда можно найти локальную погрешность:

Недостатком этого метода является то, что значение при­ходится вычислять дважды. Так как, для того чтобы вычис­лить в точке , приходится делать два шага, каждый из которых равен половине исходного, объем вычислений увеличи­вается более чем вдвое. Тем не менее, эта процедура часто вклю­чается в вычислительный алгоритм для автоматического изме­нения шага в процессе вычислений и часто используется в мето­дах Рунге — Кутта. Если же ошибка на шаге при данной его величине слишком велика, то ее можно уменьшить, используя при вычислениях член более высокого порядка. Это, конечно, лег­че сделать в случае методов прогноза и коррекции.

Главные достоинства методов Рунге — Кутта — простота на­чала счета и возможность быстрого изменения величины шага в процессе вычислений. С другой стороны, главным достоинством методов прогноза и коррекции является простота оценки ошибки на шаге. Раньше считалось, что эти достоинства нельзя совместить в одном алгоритме. Однако в настоящее время разработаны высокоэффективные алгоритмы, позволяющие использовать пре­имущества обеих групп вычислительных методов. Такие гиб­ридные методы могут быть весьма полезны при решении инже­нерных задач.

3.4.4. «Жесткие» задачи

Некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения не ре­шаются ни одним из рассмотренных выше методов. Чтобы понять, почему это так, необходимо четко представлять структуру реше­ния дифференциального уравнения. Постоянная времени диф­ференциального уравнения первого порядка — это промежуток времени, по истечении которого величина нестационарной части решения убывает в e^-1 раз. В общем случае дифференциальное уравнение n-порядка имеет n постоянных времени. Если любые две из них сильно отличаются по величине или если одна из постоянных времени достаточно мала по сравнению с интервалом времени, для которого отыскивается решение, то задача назы­вается «жесткой» и ее практически невозможно решить обыч­ными методами. В таких случаях шаг должен быть достаточно мал, чтобы можно было учитывать изменение наиболее быстро изменяющихся членов уравнения даже после того, как их вклад станет практически незаметным. Если не удается сохранить до­статочно малую величину шага, то решение становится неустой­чивым. Хотя трудности, связанные с обеспечением устойчивости решения «жестких» задач обычными методами, можно временно обойти, уменьшив величину шага, такой подход имеет два не­достатка. Во-первых, если величина шага очень мала по сравне­нию с интервалом, для которого отыскивается решение, то для получения решения потребуется очень много времени. Во-вто­рых, накапливающиеся в процессе длительных вычислений по­грешности округления и усечения могут привести к получению бессмысленного результата.

Так как с «жесткими» задачами мы сталкиваемся при решении важных задач управления, расчета электрических сетей, хими­ческих реакций и пр., то в последнее время много внимания уде­ляется разработке эффективных методов решения и таких задач.

3.5. Краевые задачи и обзор методов их решения

Как отмечалось выше, задача, заключающаяся в решении обыкновенного дифференциального уравнения при дополнитель­ных условиях, поставленных при нескольких значениях незави­симой переменной, называется краевой.

Для простоты изложение будем вести на примере обыкновен­ного дифференциального уравнения второго порядка при граничных условиях y(a)=A, y(b)=B.

Уравнения более высоких порядков можно решать теми же ме­тодами, которые разобьем на следующие группы:

Методы, основанные на замене решения краевой задачи решением нескольких задач Коши (методы «стрельбы»)

Если обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка является линейным, т. е. имеет вид при дополнительных условиях y(a)=A, y(b)=B, то краевую задачу можно свести к задаче Коши с помощью начальных условий и получить второе решение . Если , причем , то решение

Удовлетворяет обоим начальным граничным условиям.

Если решается нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, то решение краевой задачи можно свести к решению нескольких задач Коши, последовательно вводя в начальные условия значения и стремясь найти решение, удовлетворяющее условию y(b)=B. При этом большую помощь может оказать интерполяция, позволя­ющая построить упорядоченную последовательность а и свести к минимуму объем вычислений. К сожалению, этот метод мало­эффективен, и его нельзя рекомендовать для замены более совершенных методов.

Методы, в которых используется конечно-разностная форма дифференциального уравнения.

Достоинство конечно-разностных методов в том, что они поз­воляют свести решение краевой задачи к решению системы ал­гебраических уравнений. При решении двухточечной краевой задачи при интервал можно разделить на n равных частей:

Где . В точках , называемых узлами, стремятся получить значение решения . Зная координаты узлов и пользуясь конечно – разностными выражениями для производных:

Можно представить дифференциальное уравнение в виде разност­ного уравнения. Отметим, что существуют различные фор­мы конечно-разностных выражений для производных. Если записать это разностное уравнение для при двух краевых условиях, то задача сводится к решению системы n — 1 алгебраических уравнений с п—1 неизвестными . Если исходное дифференциальное уравнение линейное, то за­дача будет состоять в решении системы линейных алгебраических уравнений. Если же исходное дифференциальное уравнение не­линейное, задача сводится к решению системы нелинейных ал­гебраических или трансцендентных уравнений. Хотя методы ре­шения таких линейных и нелинейных уравнений известны, при­вести решение краевой задачи методом конечных разностей к виду, требуемому стандартной программой, нелегко, так как формулировка каждой задачи зависит от вида рассматриваемого дифференциального уравнения.

1. Методы прогонки.

2. Вариационные методы (Ритца, Галеркина).

3. другие

3.6.Общие рекомендации по решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

Сформулировать общие правила выбора наилучшего метода того или иного обыкновенного дифференциального уравнения невозможно. Однако можно рекомендовать руководствоваться при этом следующими соображениями.

1. Рассмотрение типа задачи. Если это задача Коши, то можно воспользоваться одной из готовых подпрограмм, позволяющих получить решение. Если же это краевая задача, то возможно, придется составлять собственную программу.

2. Оценка степени сложности дифференциального уравнения.

Если задача Коши очень сложна, и вычисление f(X,Y) связано с большими трудностями, то обычно отдают предпочтение одному из методов прогноза и коррекции, так как они требуют вычисления лишь двух значений f(X,Y) на шаге вместо четырех, как в методах Рунге-Кутта.

1. Оценка времени, требуемого для решения задачи.

Если в первую очередь приходится учитывать стоимость машинного времени, то лучшим будет метод прогноза и коррекции. Если же определяющим является время подготовки задачи к счету, то следует воспользоваться методом Рунге-Кутта.

1. Оценка требуемой точности.

Вообще говоря, чем выше порядок точности метода, тем более точным будет полученный результат. Это утверждение справедливо лишь до некоторой степени, так как конечно-разностные аналоги производных по мере повышения порядка аппроксимации ведут себя все хуже и хуже. Поэтому погрешность метода при переходе от 5-го порядка к более высоким порядкам точности (что к тому же связано и с дополнительными громоздкими вычислениями) практически не убывает. Поскольку обычно достигается некоторый компромисс между объектом и точностью вычислений, то следует уделять внимание как выбору порядка точности метода, так и выбору величины шага. Поэтому большое распространение получили алгоритмы, в которых автоматически изменяется шаг интегрирования или порядок применяемого метода.

1. Учет имеющегося опыта. Предшествующие успехи или неудачи в применении того или иного метода для решения конкретной задачи могут представить ценный материал для суждения о целесообразности выбора подходящего алгоритма.

Для решения краевых задач наиболее простыми и универсальными являются конечно-разностные методы, заслуженно получившие широкое распространение в практике автоматизированного проектирования. На основе этих методов разработаны достаточно гибкие и универсальные программы широкого назначения. Особенностью конечно-разностных методов является также их приспособленность к решению уравнений в частных производных. Поэтому на конечно-разностных методах необходимо остановиться более подробно, что будет сделано в дальнейшем в разделе, посвящённому методам решения задач математической физики, описываемых уравнениями в частных производных.

Характеристики

Список файлов лекций