5Simulation systems Лекция 7-9 ОДУ (1014124), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Вычислим значение произвольной постоянной используя значение Так как при значение , то . Подставляя значение в (2), получим

или Следовательно

Формула (3) представляет собой закон изменения скорости с течением времени. Найдем закон изменения высоты парашютиста, так как , то получим следующее дифференциальное уравнение

Из (4) следует

По условию при высота равна H. Подставим эти значения в (5), получим, что и тогда

Закон определения высоты парашютиста над уровнем земной поверхности при заданных условиях определяется формулой (6). Исследуя формулу (6), можно прийти к следующим выводам. Воспользуемся формулой Тейлора для функции и при малых значениях будем иметь:

Сохраняя лишь первые два слагаемых, получаем из формулы (3), что . Это показывает, что в начале движения парашютист движется почти равноускоренно. В дальнейшем влияние сопротивления воздуха становится ощутимым, и при имеем: , а потому стремится к . Движение становится почти равномерным со скоростью , направленной вниз. Эта скорость пропорциональна силе тяжести , действующей на парашютиста, и обратно пропорциональна коэффициенту показывающему силу сопротивления воздуха. Из формулы (6) можно приближенно найти время, за которое парашютист упадет на земную поверхность. Для этого учтем, что

и напишем по формуле (6) приближенное равенство . Из него находим, что . Заметим, что слагаемое равно времени, которое заняло бы падение парашютиста с постоянной скоростью , а добавка произошла потому, что вначале падение было более медленным. При решении задачи было сделано предположение о пропорциональности силы

сопротивления воздуха скорости падения. Оно было приближенным. Если считать эту силу пропорциональной квадрату скорости падения, то уравнение (1) заменится на линейное неоднородное дифференциальное уравнение вида

,

здесь направление силы сопротивления воздуха при выбранном направлении оси положительно.

3. 3. Аналитические методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Классический краткий курс дифференциальных уравнений включает рассмотрение решения дифференциальных уравнений 1-го порядка, порядка выше первого и систем дифференциальных уравнений. В каждом из этих разделов рассматриваются методы решения, разделенные по типам дифференциальных уравнений.

Например, среди дифференциальных уравнений 1-го порядка выделяются уравнения, разрешенные относительно производной, уравнения с разделяющимися переменными, линейные уравнения 1-го порядка и т.д. Среди дифференциальных уравнений порядка выше первого рассматриваются случаи понижения порядка, линейные дифференциальные уравнения n – го порядка, линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами, линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и т.д.

Всё это говорит о том, что не существует универсальных аналитических методов решения дифференциальных уравнений, а потому классические методы имеют сейчас значение большей частью в теоретико- методическом плане.

Тем не менее, изучение или просто знакомство с частью этих методов необходимо для понимания сути решения дифференциальных уравнений.

Ниже рассмотрены методы и примеры решения задач, описываемых дифференциальными уравнениями 1-го порядка.

1. Уравнение с разделенными и разделяющимися переменными.

Уравнение вида

(3.1)

называют уравнением с разделенными переменными. Здесь каждый член уравнения зависит только от одной переменной. Общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием:

(3.2)

Пример 1.

Дано уравнение , которое можно записать , как xdx+ydy=0.

Решение. Интегрируя получим общий интеграл , обозначив будем иметь . Это уравнение семейства концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом c.

Следует отметить, что решение всех типов дифференциальных уравнений после преобразований в конечном итоге сводится к решению уравнения с разделенными переменными.

Уравнение вида

называют уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления его членов на :

, т.е. к виду уравнения (3.1).

Пример 2.

Преобразуем его к виду: .

Решение: Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим обе части уравнения на произведение , получим .

Переменные разделенные, интегрируем:

или

положим , тогда получим - общий интеграл данного уравнения.

Замечание: при делении на произведение могли потерять решение и . Если ищем решение вида y=f(x), то решениями будут только у=1 и y=-1, которые можно получить из общего решения при .

Задачи 2,3,4,5, рассмотренные в предыдущем разделе, относятся к уравнениям с разделенными или разделяющимися переменными.

1. Однородные уравнения.

Уравнение называется однородным, если можно представить как функцию только одного отношения переменных:

.

Решается с помощью замены функции y (или x) новой функцией t

по формуле y=tx (или x=ty).

Пример 3.

Решение: Здесь или однородное уравнение первого порядка. Пусть , тогда подставляя в уравнение, получим: ; ; , откуда , где переменные уже разделены,

интегрируем

, откуда

или

положим , тогда получим окончательно: - общий интеграл уравнения.

3. Уравнения, приводящиеся к однородным.

Уравнение вида: (5.1) приводится к однородным при подстановке , , где ( )- точки пересечения прямых и при . Если же , то подстановка позволяет разделить переменные.

Пример 4.

Решение. Здесь . Вводим новые переменные u и v по формулам .Решая эти уравнения, находим таким образом: Подставляя это в исходное уравнение, получим или

Пусть , откуда v=ut и , уравнение принимает вид: разделяя переменные, получим: или , ,

.

Пример 5.

Решение. Поскольку , делаем подстановку , данное уравнение примет вид: или Разделяя переменные и интегрируя, получим или Возвращаясь к старым переменным находим окончательный ответ:

4. Линейные уравнения.

Уравнение вида: (6.1) называется линейным, т.к. линейно относительно искомой функции и ее производной.

Если Q(x)=0, то уравнение 6.1 называют линейным уравнением без правой части или однородным уравнением. Решение таких уравнений уже было рассмотрено (см. уравнения с разделяющимися переменными).

Если , то уравнение 6.1 называют линейным уравнением с правой частью. Рассмотрим решение уравнения 6.1 с помощью метода вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Находим общее решение соответствующего уравнения без правой части (6.2)

При этом с заменяем неизвестной функцией с(x). Полученное выражение подставляют в исходное уравнение 6.1.. После упрощений с(x) и x разделяются, и, интегрируются, мы найдем выражение c(x) через x. Функция (6.3). будет общим решением уравнения 6.1.

Пример 6. ,

Решение. Это линейное уравнение первого порядка, решим его методом вариации произвольной постоянной. Находим сначала решение линейного однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному:

Характеристики

Список файлов лекций