5Simulation systems Лекция 7-9 ОДУ (1014124), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Пусть с=с(x), тогда общее решение данного уравнения будем искать в виде . Найдем . Подставим y и в заданное уравнение, будем иметь:

Тогда Таким образом, общим решением данного уравнения является или Подставляя в полученное общее решение начальные данные y=0 при x=0, имеем . Следовательно частное решение имеет вид:

Уравнение 6.1. можно решить с помощью метода Бернулли. Запишем функцию y в виде произведения двух функций то Подставляя эти выражения в 6.1., имеем:

или

(6.3.)

В качестве v выбираем любое частное решение уравнения:

. (6.4)

Разделяя переменные, имеем: . Подставляя в 6.3. получим уравнение: (6.5), значит Далее находим искомую величину y. Общее решение линейного уравнения имеет вид:

.

Аналогично интегрируется уравнение: (6.6) получаемое из 6.1., если рассматривать x как функцию от аргумента y.

Пример 7. .

Решение. Если рассматривать x как функцию от y, то учитывая, что , получим линейное уравнение или . Используем метод Бернулли. Применим подстановку , тогда поставляя эти выражения для и в последнее уравнение, получим или . Пусть интегрируя получим , так как , то подставим или , , . Таким образом общее решение заданного уравнения имеет вид или , полагая и , получим , т.е. с=0. Следовательно, частное решение или .

5. Дифференцированные уравнения в полных дифференциалах

Уравнение Q(х,у)dy=0, (9.1)

где , называют уравнением в полных дифференциалах, т.е. левая часть уравнения (9.1) есть полный дифференциал.

Записав такое уравнение в виде du=0, найдем первообразующую функцию u(х,у), получая u(х,у)=с. Функция u может быть найдена в виде

(9.2)

или в виде

(9.3)

и - произвольны, при этом интегралы в правой части формул (9.2),(9.3) должны иметь смысл.

Функция и может быть найдена так же по методу изложенному в [5] (п.115.) и разобранному в примере.

Пример 8.1

Решение.

Это уравнение вида

В данном случае , ,

Откуда ,

Так как , то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Следовательно ,

Из первого неравенства получаем:

или

Дифференцируя по функцию ,

Находим .

Так как , то

откуда и

3.4. Задача Коши и обзор численных методов решения задач математический физики, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями

Напомним, что в зависимости от числа независимых переменных и, следовательно, типа входящих в них производных, дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называют частными.

В практике проектирования ЛА обыкновенные дифференциальные уравнения часто используют при расчете траекторных параметров и динамических характеристик. Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение необходимо знать значения зависимой переменной и (или) ее производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Если же условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой. В задаче Коши дополнительные условия называют начальными, а в краевой задаче - граничными. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.

3.4.1.Примеры построения задачи Коши

В этом разделе мы построим две математические модели, представляю­щие собой задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений; одну модель — из области экологии, другую — из области аэронавтики.

Модель типа хищник - жертва

Рассмотрим динамику популяции двух видов, взаимодействую­щих между собой по типу хищник - жертва. При этом предполагается; что жертва может найти достаточно пищи для пропитания, но при каждой встрече с хищником последний убивает жертву. Примеры таких межвидо­вых взаимоотношений дают волки и кролики, паразиты и некоторые ор­ганизмы, на которых они паразитируют. Наша цель — исследовать измене­ние во времени популяций хищников и жертв.

Обозначим соответственно через x = x(t) и y=y(t) количество жертв и хищников в момент времени t. Чтобы получить математические уравне­ния, которые приближенно описывают динамику популяций, мы сделаем несколько упрощающих предположений. Во – первых, предположим, что норма рождаемости жертв и норма естественной смертности (т.е. без учета уничтожения хищниками) – являются константами, причем . Таким образом, в отсутствие хищников популяция жертв будет расти со скоростью .

Во – вторых, предположим, что число случаев, когда хищник убивает жертву, зависит от вероятности их встречи и, следо­вательно, пропорционально произведению ху. Объединяя эти два предполо­жения, получаем, что популяция жертв подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению:

Где , а (5.2.1)

Чтобы вывести уравнение, описывающее популяцию хищников, предположим, что при отсутствии жертв число хищников по естественным причинам убывает, что задается членом . В то же время в результате встреч с жертвами число хищников увеличивается, что ведет к уравнению:

С (5.2.2)

Таким образом, мы пришли к нелинейной системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений (5.2.1) и (5.2.2).

Эти уравнения были впервые выведены в 1925 г. и известны как уравнения Лотки— Вольтерра. Однако задача пока сформулирована не полностью; мы должны начать процесс в неко­торый момент времени (например, при t = 0) с заданными значениями начальных популяций x(0) и у (0). Таким образом, дополняем дифферен­циальные уравнения двумя начальными условиями:

Задача о траектории

Предположим, что ракета запускается под заданным углом наклона к поверхности (угол запуска). На какую высоту поднимется ракета? Ответ на этот вопрос зависит от целого ряда факторов: характеристик ракеты и ее двигателя, сопротивления воздуха, гравитационных сил и т.д.

Чтобы построить математическую модель этой задачи, мы должны сделать ряд упрощающих предположений. Во-первых, ограничимся рассмотрением ракет, поднимающихся вверх и перемещающихся вдоль поверхности Земли на расстояния, не превышающие 100 км. В этом случае без существенной потери точности можем считать, что Земля плоская. Во-вторых, предположим, что вся траектория ракеты лежит в одной плос­кости, т.е. предполагается отсутствие бокового ветра и т.д. Используя эти два предположения, выбираем двумерную систему координат с на­чалом в месте старта.

Типичная траектория представлена на рисунке.

Функции x(t) и y(t) обозначают координаты х и у ракеты в момент времени t, причем считаем, что ракета стартует при t = 0, так что

(5.2.5)

Если обозначить производные по времени, как и , то вектор скорости ракеты в момент t представится в виде . Будем обозначать величину вектора скорости через , а угол с горизонтом через , как это показано на рисунке. Эти величины тогда определяется выражениями:

(5.2.6)

Основная математическая модель траектории выводится из второго закона Ньютона:

Здесь m(t) — масса ракеты, F — результирующая действующих на ракету сил, которая состоит из трех слагаемых:

1. – силы тяги при работе двигателя, T(t)

2. – силы сопротивления (5.2.8)

Где с – коэффициент сопротивления, – плотность воздуха и s – поперечное сечение ракеты

1. – силы гравитации mg, где g – ускорение свободного падения.

Чтобы записать уравнение (5.2.7) в переменных x и у, заметим, что сила тяги и сила сопротивления действуют вдоль оси ракеты. Если мы обозначим эту часть результирующей силы F через F₁ , то

(5.2.9)

Так как сила гравитации действует только в вертикальном направлении, уравнение (2.1.7) можно записать покоординатно следующим образом:

(5.2.10)

Используя (5.2.9) и меняя порядок членов, перепишем уравнения (5.2.10) в виде:

(5.2.11)

Это связанная система двух нелинейных (см. соотношения (5.2.6)) дифференциальных уравнений второго порядка. Мы предполагаем, что с и s - известные постоянные, р — известная функция у (т.е. высоты над поверхностью), Т и m (а следовательно, и ) – известные функции t. (Изменение массы обусловлено расходом топлива.)

Решение системы (5.2.11) должно удовлетворять (5.2.5), что дает два из четырех необходимых начальных условий. Другие два условия даются соотношениями: . (5.2.12)

Таким образом, при заданных характеристиках ракеты имеется только один свободный параметр — угол запуска , причем его изменение будет, очевидно, приводить к изменению траектории.

Уравнения (5.2.11) могут служить математической моделью и для таких баллистических задач, как полет снаряда, выстреленного из артиллерийско­го орудия, или камня, запущенного из рогатки. В таком случае предполагаем, что тело стартует с заданной скоростью v₀, так что условия (5.2.12) заменяются на условия: . (5.2.13)

В этом случае отсутствует сила тяги и, следовательно, нет изменения массы, так что уравнения (5.2.11) упрощаются и принимают вид:

Характеристики

Список файлов лекций