Лекция по термодинамике №8 (1013854), страница 2
Текст из файла (страница 2)
W1 =0, а W2=W, при этих условиях получимW2= h1 − h2 ,2отсюда имеемW = 2(h1 − h2 ) ,(12.16)где h1 – значение энтальпии газа в резервуаре, Дж/кг; h2 – значение энтальпии газа ввыходном сечении канала, Дж/кг.Если же h1 и h2 измеряется в кДж/кг, тоW = 44,72 h1 − h2 .(12.17)Скорость адиабатного процесса истечения может быть легко определена по hsдиаграмме (рис. 12.4).8Рис. 12.4Секундный расход газа или пара при истечении из резервуара неограниченнойемкости может быть определен из уравнения (12.1):m = fWρ 2 = fWυ2,где W - скорость истечения, м/с; f - площадь выходного сечения, м2; ρ2 - плотность газав выходном сечении, кг/м3; υ2 - удельный объем газа в выходном сечении, м3/кг.Так как мы рассматриваем адиабатный процесс истечения, то, используясоотношение параметров адиабатного процесса, получаем⎛υp1= ⎜⎜ 2p2⎝ υ1⎞⎟⎟⎠кили⎛υ2⎜⎜⎝ υ11к⎞⎛ p ⎞⎟⎟ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ,⎠⎝ p2 ⎠тогда⎛ p ⎞1кυ 2 = υ 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ .⎝ p2 ⎠(12.18)Подставляя значение υ2 по (12.18) и W по (12.14) в уравнение расхода (12.1) получаем1m = fWυ2f ⎛ p2 ⎞к⎜⎟=υ 1 ⎜⎝ p 1 ⎟⎠к −1⎡к ⎤⎛⎞кp2⎢⎟⎟ ⎥2p 1υ 1 1 − ⎜⎜⎢к −1⎝ p1 ⎠ ⎥⎣⎦илиm = fк +12⎡⎤кp1 ⎢⎛ p 2 ⎞ к ⎛ p 2 ⎞ к ⎥⎜⎟ − ⎜⎜⎟⎟.2⎥к − 1 υ 1 ⎢ ⎜⎝ p 1 ⎟⎠p⎝ 1 ⎠⎣⎦(12.19)9Заменяяp2= β , уравнение расхода примет видp1m = fкp1 ⎛2⎜βк − 1 υ1 ⎝2к− βк +1к⎞⎟ .⎠(12.20)Здесь p1 - давление газа в резервуаре, Па; υ1 - удельный объем газа в резервуаре, м3/кг.12.4.
Исследование формулы секундного расхода газа при истеченииИз полученной формулы для определения расхода газа при истечении (12.20)⎛p ⎞следует, что расход m = f ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = f (β ) при постоянных значениях параметров газа в⎝ p1 ⎠резервуаре (при заданных p1 и T1).
Проведем исследование этой зависимости приусловии, что величина β =p2будет изменяться за счет изменения только величиныp1противодавления p2, а давление газа в резервуаре p1 будем считать неизменным, т.е.β=p2p= var при p1=const и p2=var. Такое изменение аргумента β = 2 в формуле (12.20)p1p1объясняется тем, что, во-первых, р1=const должно быть по условию истечения газа изрезервуара неограниченной емкости, в котором величина р1 не меняется.
Во-вторых,условие р1=const исключает непосредственное влияние величины p1 на расход газа m,который согласно основной формуле (12.20) зависит не только от отношения β =p2,p1но непосредственно и от абсолютной величины p1.Предельными значениями β =p2являются:p1p2= 1.p1Это условие говорит о равенстве наружного давления и давления газа внутри1. р1= р2=рн; β =резервуара, что физически означает отсутствие процесса истечения, и согласно (12.20)m=0.p2= 0.p1Это условие отвечает истечению газа в абсолютную пустоту и в этом случае2. р2= рн=0; β =согласно (12.20) расход газа также должен быть равен нулю (m=0), что не соответствует10действительности.
При уменьшении β от единицы возникает разность давлений (р1-p2)и начинается процесс истечения, чем меньше β, тем больше перепад давлений (p1-p2) подкоторым происходит процесс истечения, и тем больше расход газа, который принекотором отношении давлений β достигает максимального значения, а затем согласно(12.20) начинает уменьшаться.Следовательно, задаваясь различными значениями β =p2, можно по формулеp1⎛p ⎞расхода (12.20) построить график зависимости расхода газа от β m = f ⎜⎜ β = 2 ⎟⎟ (рис.p1 ⎠⎝12.5), пунктирная часть которого не соответствует действительности.Рис. 12.5Для определения отношения давлений β, при котором расход газа при истечениидостигает максимума m=max, необходимо взять первую производную от этой величиныпо β и приравнять ее к нулю:dm= 0,dβт.е.dm= 0.⎛ p2 ⎞d ⎜⎜ ⎟⎟⎝ p1 ⎠Итак, по формуле расхода (12.20) имеемm = f2кp1 ⎛⎜βк − 1 υ1 ⎝2к− βк +1к⎞⎟ .⎠Здесь f, p1, υ1, к - величины постоянные и при истечении из резервуара неограниченнойемкости не меняются, поэтому выражениеA = f 22кp1к − 1 υ1представляет собой некоторый постоянный коэффициент, стоящий под корнемвышеприведенного уравнения.
Следовательно, формула расхода примет такой вид:11m =⎛A⎜ β⎝2к− βк +1к⎞⎟ .⎠(12.21)к +1⎛ к2⎞В уравнении (12.21) переменной величиной является выражение в скобках ⎜ β − β к ⎟ ,⎝⎠поэтому для отыскания максимума расхода mmax при истечении возьмем первуюпроизводную от этой величины и приравниваем ее к нулю:к +1⎛ 2⎞d⎜ β к − β к ⎟⎝⎠ = 0,dβа отношения давлений β =p2, при котором первая производная обращается в нуль,p1обозначим через βк, т.е.⎛p ⎞pβ к = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = 2 .p1⎝ p1 ⎠ к(12.22)кЭто отношение давлений называется критическим. Следовательно, дифференцируявыражение в скобках, получаем2 к2 −1 ⎛ к + 1 ⎞ 1кβк − ⎜⎟β к = 0 ;к⎝ к ⎠к −11 2− −12 к2 −1 к + 1 1к22βк =β к ; β кк к =; βк к =,ккк +1к +1отсюдак⎛ 2 ⎞ к −1βк = ⎜⎟ .⎝ к + 1⎠При этом критическом отношении давлений β к =(12.23)p2кp1расход будет максимальнымm=mmax.
Как видно, критическое отношение давлений βкявляется функцией лишьпоказателя адиабаты к:β к = f (к ) .Поэтому значение βк для газов будет зависеть от их атомности, влияющей на величинупоказателя адиабаты к.Для одноатомного газак=1,66 и βк =0,49;12для двухатомного газа и воздухак=1,4 и βк =0,528;для трехатомного газа, (и в том числе для перегретого водяного пара ибольшинства выхлопных газов двигателей)к=1,3 и βк=0,546;для сухого насыщенного водяного параОбратимсяканализук=1,135 и βк=0,577.⎛pp ⎞зависимости m = f ⎜⎜ β = 2 ⎟⎟ . При β = 2 = 1 , р1=р2=рн,p1 ⎠p1⎝т.е. при равенстве наружного и внутреннего давлений секундный расход газа изрезервуара равен нулю (m=0). В дальнейшем с понижением давления pн той среды, кудапроисходит истечение и, следовательно, с уменьшением отношения β =p2, расход газаp1m увеличивается, что вполне согласуется с физической картиной истечения: расход приистечении долженувеличиваться сувеличениемразности давлений (р1-р2), прикотором происходит процесс истечения.
Однако, согласно полученной формуле расхода(12.20), расход газа возрастает, достигает максимума при βк, после чего с дальнейшимуменьшением отношения β =p2расход газа не только не возрастает, а начинаетp1уменьшаться и при р2=рн=0, т.е. при β =p2= 0 , когда истечение происходит вp1абсолютную пустоту, становится равным нулю (m=0). По самым простым физическимрассуждениям эти результаты не соответствуют действительной физической картинеистечения газов и паров.
Совершенно ясно физически, что истечение газов и паров неможет прекратиться, если давление окружающей среды рн упадет до нуля. И вообщеявляется невероятным, чтобы при понижении противодавления р2=рнрасход газастановился бы меньше, чем при большем значении наружного давления.Поэтому мы с очевидностью приходим к выводу, что в этой области, когда 0<β<βк(пунктирная кривая 0b рис. 12.5), полученная формула расхода (12.20) не даетправильных результатов и не применима.При экспериментальном исследовании истечения газов и паров через простыецилиндрические или суживающиеся сопла, многочисленный опыт показал, что значениярасхода, вычисленные по формуле (12.20), совпадают с экспериментом только лишь длятой части значений β =p2, при которых с уменьшением противодавления расходp113увеличивается, т.е.
для отношения β =p2, лежащего в пределах βк<β<1. При этомp1давление р2 на срезе сопла равно давлению окружающей среды рн(р2=рн). На рис. 12.5эта область отмечена как I область истечения. С дальнейшим же понижением давления рни уменьшением отношенияp2= β ниже значения βк, т.е. когда 0<β<βк, расход газа черезp1простые цилиндрические или суживающиеся сопла не увеличивается, но и неуменьшается, а остается все время постоянным и равным максимальному mmax.Действительная кривая расхода при этом дается линией а-b-c , а не линией а-b-0 , как этоследовало из теоретической формулы (12.20). Линия а-b-с дает действительнуюзависимость m = f (β ) (см. рис.
12.5) (ΙI область истечения).Для объяснения расхождения теории с действительным опытом еще в 1839 г. СенВенаном и Венцелем была высказана гипотеза, согласно которой в цилиндрическом илисуживающемся сопле не может быть получено расширение газа ниже давленияp2 к = β к p1 , как бы не понижалось при этом давление pн, той среды, куда происходитистечение (при p1=const). То есть при истечении газа и пара через простыецилиндрические или суживающиеся сопла имеем следующее: при значении отношениидавлений β =p2между единицей и βк (βк<β<1) давление на срезе сопла p2 равноp1давлению окружающей среды рн(р2=рн). Следовательно при p1=const изменение βпроисходит только за счет изменения давления p2, равного давлению окружающей средырн. Значит перепад давления (р1-р2), под которым происходит процесс истечения газа также изменяется (р1-р2)=var, т.к.
р2=var. Чем больше перепад давлений (р1-р2), тем большескорость и массовый расход газа при истечении. При отношении давлений 0<β<βкдавление на срезе сопла больше давления окружающей среды (р2>рн) и определяетсясоотношением (12.23)βк =p2⎛ 2 ⎞=⎜⎟p1 ⎝ к + 1 ⎠ккк −1.Следовательноp2 = p2 к = β к p1 .(12.24)Здесь при p1=const, рн=var, p2 к = β к p1 = const и, следовательно, разность давлений, подкоторой происходит процесс истечения, тоже будет постоянной(p14− p2 к ) = const .1Дальнейшее понижение рн ниже значения p2 к уже никакого влияния на этот перепад неоказывает, при этом и расход газа и скорость истечения изменяться не будут:m=mmax,а скорость истечения становится равной так называемой критической скорости:W=Wк=const, равной местной скорости звука а,Wк =кRT .Эта гипотеза впоследствии была подтверждена многочисленными опытами.На рис 12.6.
представлены графики скорости истечения и расхода газа черезсужающееся сопло или простое цилиндрическое отверстие в зависимости от величины β.Рис. 12.6Таким образом, основную формулу расхода (12.20) можно считать правильной идля II области истечения, когда 0<β<βк, если понимать в ней под p2 давление p2 к = β к p1 иперепад давлений, под которым происходит процесс истечения, равныйФизическоеобъяснениевсегоописанногоявления(pлежит1− p2 к ) .вхарактерераспространения изменений (волн) давления в газовой среде.Как известно из физики, всякое внезапное изменение давления, произведенное вкакой-либо точке неподвижной газовой среды, распространяется в ней со скоростью Wk,равной скорости распространения звука в данной среде.Таким образом, волны повышенного или пониженного давления распространяютсяпо газовой среде со скоростью звука.Теперь рассмотрим газодинамическую картину развития процесса истечения.Процесс истечения начинается при понижении р2=рн, когда р1>р2 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
