Термодинамика и теплопередача Болгарский А.В. Мухачев Г.А. Щукин В.К. (1013761), страница 24
Текст из файла (страница 24)
ны, приводимой в движение потоком газа). При совершении потоком технической работы уравнение первого закона термодинамики (10.8) должно записываться в виде бгае Лгае йг) = йп+ й (Ро)+г((тех+ = г(1+ с(!тех + (10 ! !) и (еех = Рг(О+ Ръ Ог Ре Ое+ (10.12) Из этого уравнения видно, что величина технической работы скла- дывается из рабогы деформации, разности работ вытеснения на вхо- де и выходе из машины (рр, — Р,о,) и разности кинетических энер- гий в машине. й 2 Располагаемая работа газа в потоке Для обратимого процесса истечения газа одновременно с уравнением (!0.9) сохраняет силу и уравнение (4.24): г(г) = Й вЂ” оггР. Подставив последнее уравнение в формулу (10.9), получим дня йг — ойр =- й( -)- —, 2 дня — = — ЫР.
2 г Прирашение внешней кинетической энергии тела, равное — ) ог(Р, 1 называется располагаемой работой, которая может быть использована в машинах и превращена в другие виды энергии. Обозначим располагаемую работу через („ тогда г(ме й(а = = гн'"гэ = ""Р. 2 (!0 !З) е Техническая работа будет подробнее рассмотрена в гл.
Х1. 127 где 1„х — техническая работа*. При совершении потоком технической работы работа деформации при расширении отдается внешнему потребителю, тогда как в каналах она воспринимается соседними элементами и изменяет их кинетическую энергию. Из сравнения уравнения (1О.11) с уравнением (4.9) первого закона термодинамики, записанного для выделенного элемента потока, который деформируется, но не перемещаегся, получим в интегральной форме Располагаемая работа газа !о = з (10,16) где ю, и ю, — значения скорости газа в начале и конце процесса.
Если пренебречь начальной скоростью газа (в ряде практических случаев это можно сделать), то скорость в конце истечения ы, = и определяется по формуле ю=~' 2! . Подставляя в эту формулу значение располагаемой работы при адиабатном течении газа, получим значение скорости при обратимом адиабатном расширении (10. 18) или, используя формулу (10.15), =У2(! — ',)=и Ж.
(10,19) Как видно из формул (10.18) и (10.19), скорость истечения определяется состоянием газа на входе в сопло и его конечным давлением на выходе или разностью энтальпий на входе и выходе из сопла йм При истечении газа в вакуум (р, = О) скорость истечения должна быть максимальной а ю =~/ 2 — ро тэх ~/ з з (!0.20) где Р, — площадь выходного сечения сопла; о, — удельный объем газа в этом сечении.
Из уравнения адиабаты Рз" =Р~ п~ Ф 4 аз= О~ ~ — ) Расход газа через сопло после подстановки в него значения скорости истечения по формуле (10.!8) и значения удельного объема Расход газа через сопло может быть подсчитан по уравнению неразрывности и, з~ Ю, Как видно из уравнения (10.21), расход газа зависит от плошади выходного сечения сопла рм параметров газа на входе р„о, и давления в выходном сечении р,. ф 4. Истечение газа из резервуара неограниченной емкости Рис.
1ОЛ =)/2 — р,,(1 — ( ~ ) ) и-»~/» — ' — ")( — ')"' — ( — ")"""') П»»») При истечении газа из резервуара можно получить максимальный расход газа. Его значение определится давлением на срезе сопла. Для определения максимального расхода возьмем первую производную от выражения, стоящего в квадратных скобках, и прираьняем ее нулю Из последнего выражения г ~ р ~1з-«и««+! у р ~1(« 131 Пусть в резервуаре, размеры которого достаточно большие, находится газ, вытекающий через суживающееся сопло (рис. 10.4). Обозначим параметры газа в резервуаре через р,, в„Т,.
Значения этих параметров из-за размеров резервуара не должны меняться с течением времени. Начальную скорость газа в резервуаре р! 14 г, примем равной нулю (!в, = О). Температуру, удельный обьем, давление н ''41=к 1Р скорость на выходе (срезе) сопла обозначим через Т, о, р, 1в. Давление внешней среды, куда происходит истечение, 4 р обозначим через р,. Прн так называемом расчетном режиме истечения р=р„ т.
е. давление на срезе сопла должно в процессе истечения равняться давлению окружающей среды. Если в рассматриваемом случае истечение газа является обратимым и адиабатным, то из уравнений (!0.18) и (10.21) следует, что или откуда Отношение давлений рlр, называется критическим и обозначается через ()„„; оно соответствует критическому давлению на срезе сопла р„ (10.23) Критическое отношение давлений зависит только от физических свойств газа, точнее от его показателя адиабаты. Для двухатомных газов при « = 1,4 ~„р 0,528. Подставляя в обшую формулу секундного расхода значение, прн котором расход будет максимальным, получим ~тая =я )/ 2 — ~[[[ — ) ) — [( — ) ) ), или ( 2 «Я!Я вЂ” 1 Вынося за скобку выражение ( — ) и произведя соответст(«+~ ) вующие преобразования, найдем ш„= 1г 2 — Р,о,.
« «+1 (10.25) Таким образом, величина критической скорости для определенного рабочего тела зависит от значения параметров в начальном состоянии. Критическая скорость истечения представляет собой макИ2 Величине максимального расхода соответствует значение критической скорости тс„р. Критическая скорость наступает только тогда, когда перепад давления будет равен ир = Рт Ркр = Рт (1 ркр) Подставляя в формулу для скорости потока значение ()„р из формулы (10.23), получим Поскольку а =)1КЙТ, то каждому сечению сопла должна соответствовать своя местная скорость звука, определяемая величинами Р и о в данном сечении. ДлЯ выходного сечениЯ сопла, когда и =п1„р= = а, давление на срезе сопла должно быть равно критическому. В рассматриваемом случае скорость не может превысить критическую, и скорость газа, равная скорости звука, может иметь место только в минимальном (выходном) сечении сопла. Используя формулы (10.22) и (10.23), получим б В~п1п 1 (!0.27) 134 Становится понятным и характер изменения расхода через суживающиеся сопла.
По формуле (10.21) зависимость 6 = 1 (р) имеет параболический характер (кривая А-В-О на рис. 10.5). Расход газа, б равный пулю, получается п(,и С й Р = Р,. При понижении давления расход газа растет до какой-то максимальной величины 6„,„ при l Р = Р„р н п1 = п1„р = а. Насколь! l ко естественно увеличение расхо- д да газа по правой ветви пара- l болы А-В, настолько невероятно I I I уменьшение его по левой ветви параболы В-О при Р ( Р„р. Причем в точке 6, согласно формуле (10.21), при Р = 0 расход должен )э = %у~ /В быть равным нулю.
Опытами установлено, что расход газа через суживающееся сопло имеет максимУм пРи Р = Р,р, ио при дальнейшем понижении давления р ( р„р расход остается постоянным, равным максимальному (участок В-С на рис. 10.5). Постоянство расхода 6 = 6 „при Р ( Р„р может быть объяснено тем, что при понижении давления среды йе происходит понижения давления на срезе сопла. Установившееся на срезе сопла давление Р„р соответствУет наличию кРитической скоРости, Равной 'скорости звука, причем зто максимальная скорость, которую может иметь газ при истечении через суживающиеся сопла.
При этой скорости никакое уменьшение внешнего давления внутрь сопла не передается; оно как бы сносится потоком газа, движущимся с той же скоростью, с какой распространяются возмущения, т. е, уменьшается давление. Поэтому перераспределения давления внутри сопла не происходит, так как не происходит изменения давления на срезе. Скорость истечения остается постоянной независимо от величины внешнего давления, Проанализируем теперь изменение состояния газа внутри сопла при течении газа от входного сечения к выходному.
Примем, что газ является идеальным, т. е. подчиняется уравнению Клапейрона, а течение его изоэнтропное. Уравнения изоэнтропного течения газа в сопле могут быть записаны в дифференциальной форме: уравнение неразрывности после дифференцирования имеет вид Поделив обе части на Рш, получим или (10.
28) уравнение адиабаты — +я — =О, др дэ Р е откуда до ! др (.10.29) Из уравнения (10.13) или после деления на ия (10.30) Подставив значения — и — в уравнение (10.28), имеем до йм и и дР г а ! х Аро — ж' — — — — с1р = г)р. Р 1~~ Ал ~ арв' В этом уравнении Аро = а', где а — скорость звука в газе, следовательно, (10.31) Так как для сопл ор(0 и пш)О и, если скорость истечения меньше скорости звука, а* — ыР ) О, то сопло должно быть суживаюшимся в направлении движения газа (с(Р ( 0).
135 Если скорость истечения больше скорости звука а' — пР < О, то сопло должно быть расширяющимся в направлении газа 0(Р ) 0). Место перехода суживающейся части в расширяюшуюся — самое узкое вечение, в котором ш ш„р а. й 5. Расширяющиеся сопла Проведенный в предыдущем параграфе анализ показывает, что скорость газа больше скорости звука может быть получена в комбинированном сопле, состоящем иэ суживающейся и расширяющейся частей (рис, 1О.б).
Такое сопла называется по имени изобретателя соплом Лаваля. Суживаюшаяся часть работает при дозвуковой скорости (ш ( а), а расширяющаяся — при сверхзвуковой скорости (ш ) а). В наи. меньшем сечении сопла Лаваля скорость потока равна местной скорости звука. Рассмотрим изменение скорости и плошади поперечного сечения в зависимости от изменения давления по длине сопла. Для удобства такого анализа воспользуемся формулами предыдущего параграфа (10.18), (10.21) и представим их в безразмерном виде. Для это. го скорость потока поделим на )~РТо Безразмерное отношение (10.32) р'Гт, назовем параметром скороспи. Расход газа через сопла равен рм рмр 6= — = —. и йт умножим и поделим правую часть равенства на и', тогда т,' ют, и, т' Так как связь между давлением и температурой может быть определена по уравнению адиабаты для изоэнтропного течения газа, то После подстановки значения скорости потока в последнее уравнение получим л+! О ~~' 2 — [(~) — ( Безразмерное отношение р — УР7', о Р~ (10.33) назовем параметром площади.
На рис. 10.7 представлена зависимость параметра скорости и параметра плошади в функции отношения давлений Р!р,. Как видно из графика (рис. 10.7), кривая изменения параметра площади поперечного сечения показывает, что последняя в начале уменьшается. Это объясняется тем, что скорость растет быстрее, чем удельный объем. Так продолжается до сечения, в котором рlр, = р„р. В этом сечении устанавливается крйтическое Ч давление и скорость принимает значесз м ние скорости звука.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
