Главная » Просмотр файлов » Пример выполнения этапа №6 РГР

Пример выполнения этапа №6 РГР (1013574)

Файл №1013574 Пример выполнения этапа №6 РГР (Примеры выполнения РГР (все в одном архиве))Пример выполнения этапа №6 РГР (1013574)2017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Образец выполнения этапа №6 РГРРасчетно-графическая работапо курсу «Теория оптимизации и численные методы».Выполнил студент группы 04-206 Иванов И.И.Вариант №1Задание:Этап №6. Тема: Интерполяция иаппроксимация функций, заданныхтабличноВариант #1xf(x)112103241Задание:Для функции, заданной таблично:а) построитьинтерполяционныйполиномЛагранжа. б) интерполяционный полином Ньютона.в) Аппроксимировать функцию полиномами 1-го и2-го порядка методом наименьших квадратов.г) Сделать общий чертеж.6. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ,ЗАДАННЫХ ТАБЛИЧНОПример 6а).Дано: сеточная функция, заданная таблицей:xy = f (x)112103241Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для заданной функции.Решение:L 3 (x) =(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x −1)(x − 3)(x − 4)(x −1)(x − 2)(x − 4)(x −1)(x − 2)(x − 3)⋅1 +⋅10 +⋅2 +⋅1.(1− 2)(1− 3)(1− 4)(2 −1)(2 − 3)(2 − 4)(3 −1)(3 − 2)(3 − 4)(4 −1)(4 − 2)(4 − 3)L 3 (x) =x3 − 9x2 + 26x − 24x3 − 8x2 +19x −12x3 − 7x2 +14x − 8x3 − 6x2 +11x − 6+⋅10 +⋅2 +.−62−2632Раскроем скобки и приведем подобные члены: L 3 (x) = 4x − 32,5x + 78,5x − 49Проверка выполнения условия интерполяции:L 3 (1) = 4 ⋅ 13 − 32,5 ⋅ 12 + 78,5 ⋅ 1 − 49 = 1 .L 3 (2) = 4 ⋅ 23 − 32,5 ⋅ 22 + 78,5 ⋅ 2 − 49 = 10 .L 3 (3) = 4 ⋅ 33 − 32,5 ⋅ 32 + 78,5 ⋅ 3 − 49 = 2 .L 3 (4) = 4 ⋅ 43 − 32,5 ⋅ 42 + 78,5 ⋅ 4 − 49 = 1 .1Образец выполнения этапа №6 РГРПример 6б).Дано: сеточная функция, заданная таблицей:11xy = f (x)2103241Построить интерполяционный многочлен Ньютона для заданной функции.Решение:Построим таблицу конечных разностей, пользуясь формулами:∆y0 = y1 − y 0 ,∆ 2 y0 = ∆y1 − ∆y0 ,∆3 y 0 = ∆ 2 y1 − ∆ 2 y 0 .∆y1 = y 2 − y1 ,∆y 2 = y3 − y 2 ;∆ 2 y1 = ∆y 2 − ∆y1 ;№ точкиy = f (x)∆y0123110219-8-1∆2 y-177∆3 y24Пользуясь таблицей, запишем интерполяционную формулу Ньютона:∆y0∆2 y0∆2 y0P 3 (x) = y0 +(x − x0 ) +(x − x0 )(x − x1 ) +(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) ,h ⋅ 1!h2 ⋅ 2!h3 ⋅ 3!где h = x1 − x 0 = 1 .P 3 (x) = 1 +9−1724(x − 1) +(x − 1)(x − 2) +(x − 1)(x − 2)(x − 3) ,1 ⋅ 1!12 ⋅ 2!13 ⋅ 3!P 3 (x) = 1 + 9 ⋅ (x − 1) − 8,5 ⋅ (x 2 − 3x + 2) + 4 ⋅ (x 3 − 6x 2 + 11x − 6) .32Раскроем скобки и приведем подобные члены: P 3 (x) = 4x − 32,5x + 78,5x − 49Проверка выполнения условия интерполяции:P 3 (1) = 4 ⋅ 13 − 32,5 ⋅ 12 + 78,5 ⋅ 1 − 49 = 1 .P 3 (2) = 4 ⋅ 23 − 32,5 ⋅ 22 + 78,5 ⋅ 2 − 49 = 10 .P 3 (3) = 4 ⋅ 33 − 32,5 ⋅ 32 + 78,5 ⋅ 3 − 49 = 2 .P 3 (4) = 4 ⋅ 43 − 32,5 ⋅ 42 + 78,5 ⋅ 4 − 49 = 1 .2Образец выполнения этапа №6 РГРЗамечание !Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, построенные по однойсеточной функции, совпадают!Пример 6в).Дано: сеточная функция, заданная таблицей:11xy = f (x)2103241Аппроксимировать функцию многочленами 1-го и 2-го порядка методом наименьшихквадратов.Решение:Будем искать аппроксимирующийg 2 (x) = a 2 x 2 + a1 x + a 0 .многочлен2-гопорядка(m = 2)ввиде:Неизвестные коэффициенты a 0 , a1 , a 2 определяются из системы линейных алгебраическихуравнений:s0 a 0 + s1a1 + s 2 a 2 = t 0 ,s1a 0 + s 2 a1 + s3 a 2 = t1 ,s a + s a + s a = t .2 2 0 3 1 4 2Соответственно аппроксимирующий полином 1-го порядка ( m = 1 ) будем искать в виде:g1 (x) = a1 x + a 0 .

Неизвестные коэффициенты a 0 , a1 определяются из системы линейныхалгебраических уравнений: s0 a0 + s1a1 = t0 , s1a0 + s2 a1 = t1.С целью составления систем для определения неизвестных коэффициентов аппроксимирующихполиномов составим таблицу:№ точки0123Σx01111s041234s1x214916s2x3182764s3x411681256s4y11021t0y⋅x12064t1y ⋅ x21401816t21030100354143175x3Образец выполнения этапа №6 РГРЗапишем систему для определения коэффициентовпорядка:4a 0 + 10a1 + 30a 2 = 14,10a 0 + 30a1 + 100a 2 = 31,30a + 100a + 354a = 75.012аппроксимирующегополинома 2-гоНайдем решение системы по правилу Крамера:41030∆ = 10 30 100 = 80 ,30 100 3541410304∆1 = 31 30 100 = −560 ,75 100 35414304∆ 2 = 10 31 100 = 936 ,30 750 3541014∆ 3 = 10 30 31 = −200 .30 100 75Вычислим значения коэффициентов:a0 =∆∆1 −560∆936−200== −7 , a1 = 2 == −2,5 .

Тогда= 11, 7 , a 2 = 3 =∆80∆80∆80g2 (x) = −2,5x 2 + 11, 7x − 7Найдём сумму квадратов отклонений значений найденного многочлена от заданной сеточнойфункции в узлах:∆ 2 = [(−2,5 ⋅ 12 + 11,7 ⋅ 1 − 7) − 1]2 + [(−2,5 ⋅ 2 2 + 11,7 ⋅ 2 − 7) − 10]2 + [(−2,5 ⋅ 32 + 11,7 ⋅ 3 − 7) − 2]2 ++ [(−2,5 ⋅ 4 2 + 11,7 ⋅ 4 − 7) − 1]2 = (2,2 − 1) 2 + (6,4 − 10) 2 + (5,6 − 2) 2 + (−0,2 − 1) 2 = 28,8.Аналогично, запишем систему для определения4a 0 + 10a1 = 14,многочлена 1-го порядка: 10a 0 + 30a1 = 31.коэффициентоваппроксимирующегоНайдем решение системы по правилу Крамера:∆=41010 30= 20 ,∆1 =14 1031 30= 110 ,∆2 =41410 31= −16 .Вычислим значения коэффициентов:a0 =∆1 110== 5,5 ,∆20a1 =∆ 2 −16== −0,8 . Тогда∆20g1 (x) = −0,8x + 5,54Образец выполнения этапа №6 РГРНайдём сумму квадратов отклонений найденного многочлена от заданной сеточной функции:∆1 = [(−0,8 ⋅ 1 + 5,5) − 1]2 + [(−0,8 ⋅ 2 + 5,5) − 10]2 + [(−0,8 ⋅ 3 + 5,5) − 2]2 + [(−0,8 ⋅ 4 + 5,5) − 1]2 == (4,7 − 1) 2 + (3,9 − 10) 2 + (3,1 − 2) 2 + (2,3 − 1) 2 = 53,8.Заметим, что ∆ 2 < ∆1 .На рисунке 1.

представлены интерполяционные многочлены Лагранжа L 3 (x) и НьютонаP 3 (x) , а также аппроксимирующие многочлены g1 (x) и g 2 (x) .Рис. 1.5.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
163,66 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее