Пример выполнения этапа №6 РГР (1013574)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Образец выполнения этапа №6 РГРРасчетно-графическая работапо курсу «Теория оптимизации и численные методы».Выполнил студент группы 04-206 Иванов И.И.Вариант №1Задание:Этап №6. Тема: Интерполяция иаппроксимация функций, заданныхтабличноВариант #1xf(x)112103241Задание:Для функции, заданной таблично:а) построитьинтерполяционныйполиномЛагранжа. б) интерполяционный полином Ньютона.в) Аппроксимировать функцию полиномами 1-го и2-го порядка методом наименьших квадратов.г) Сделать общий чертеж.6. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ,ЗАДАННЫХ ТАБЛИЧНОПример 6а).Дано: сеточная функция, заданная таблицей:xy = f (x)112103241Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для заданной функции.Решение:L 3 (x) =(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x −1)(x − 3)(x − 4)(x −1)(x − 2)(x − 4)(x −1)(x − 2)(x − 3)⋅1 +⋅10 +⋅2 +⋅1.(1− 2)(1− 3)(1− 4)(2 −1)(2 − 3)(2 − 4)(3 −1)(3 − 2)(3 − 4)(4 −1)(4 − 2)(4 − 3)L 3 (x) =x3 − 9x2 + 26x − 24x3 − 8x2 +19x −12x3 − 7x2 +14x − 8x3 − 6x2 +11x − 6+⋅10 +⋅2 +.−62−2632Раскроем скобки и приведем подобные члены: L 3 (x) = 4x − 32,5x + 78,5x − 49Проверка выполнения условия интерполяции:L 3 (1) = 4 ⋅ 13 − 32,5 ⋅ 12 + 78,5 ⋅ 1 − 49 = 1 .L 3 (2) = 4 ⋅ 23 − 32,5 ⋅ 22 + 78,5 ⋅ 2 − 49 = 10 .L 3 (3) = 4 ⋅ 33 − 32,5 ⋅ 32 + 78,5 ⋅ 3 − 49 = 2 .L 3 (4) = 4 ⋅ 43 − 32,5 ⋅ 42 + 78,5 ⋅ 4 − 49 = 1 .1Образец выполнения этапа №6 РГРПример 6б).Дано: сеточная функция, заданная таблицей:11xy = f (x)2103241Построить интерполяционный многочлен Ньютона для заданной функции.Решение:Построим таблицу конечных разностей, пользуясь формулами:∆y0 = y1 − y 0 ,∆ 2 y0 = ∆y1 − ∆y0 ,∆3 y 0 = ∆ 2 y1 − ∆ 2 y 0 .∆y1 = y 2 − y1 ,∆y 2 = y3 − y 2 ;∆ 2 y1 = ∆y 2 − ∆y1 ;№ точкиy = f (x)∆y0123110219-8-1∆2 y-177∆3 y24Пользуясь таблицей, запишем интерполяционную формулу Ньютона:∆y0∆2 y0∆2 y0P 3 (x) = y0 +(x − x0 ) +(x − x0 )(x − x1 ) +(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) ,h ⋅ 1!h2 ⋅ 2!h3 ⋅ 3!где h = x1 − x 0 = 1 .P 3 (x) = 1 +9−1724(x − 1) +(x − 1)(x − 2) +(x − 1)(x − 2)(x − 3) ,1 ⋅ 1!12 ⋅ 2!13 ⋅ 3!P 3 (x) = 1 + 9 ⋅ (x − 1) − 8,5 ⋅ (x 2 − 3x + 2) + 4 ⋅ (x 3 − 6x 2 + 11x − 6) .32Раскроем скобки и приведем подобные члены: P 3 (x) = 4x − 32,5x + 78,5x − 49Проверка выполнения условия интерполяции:P 3 (1) = 4 ⋅ 13 − 32,5 ⋅ 12 + 78,5 ⋅ 1 − 49 = 1 .P 3 (2) = 4 ⋅ 23 − 32,5 ⋅ 22 + 78,5 ⋅ 2 − 49 = 10 .P 3 (3) = 4 ⋅ 33 − 32,5 ⋅ 32 + 78,5 ⋅ 3 − 49 = 2 .P 3 (4) = 4 ⋅ 43 − 32,5 ⋅ 42 + 78,5 ⋅ 4 − 49 = 1 .2Образец выполнения этапа №6 РГРЗамечание !Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, построенные по однойсеточной функции, совпадают!Пример 6в).Дано: сеточная функция, заданная таблицей:11xy = f (x)2103241Аппроксимировать функцию многочленами 1-го и 2-го порядка методом наименьшихквадратов.Решение:Будем искать аппроксимирующийg 2 (x) = a 2 x 2 + a1 x + a 0 .многочлен2-гопорядка(m = 2)ввиде:Неизвестные коэффициенты a 0 , a1 , a 2 определяются из системы линейных алгебраическихуравнений:s0 a 0 + s1a1 + s 2 a 2 = t 0 ,s1a 0 + s 2 a1 + s3 a 2 = t1 ,s a + s a + s a = t .2 2 0 3 1 4 2Соответственно аппроксимирующий полином 1-го порядка ( m = 1 ) будем искать в виде:g1 (x) = a1 x + a 0 .

Неизвестные коэффициенты a 0 , a1 определяются из системы линейныхалгебраических уравнений: s0 a0 + s1a1 = t0 , s1a0 + s2 a1 = t1.С целью составления систем для определения неизвестных коэффициентов аппроксимирующихполиномов составим таблицу:№ точки0123Σx01111s041234s1x214916s2x3182764s3x411681256s4y11021t0y⋅x12064t1y ⋅ x21401816t21030100354143175x3Образец выполнения этапа №6 РГРЗапишем систему для определения коэффициентовпорядка:4a 0 + 10a1 + 30a 2 = 14,10a 0 + 30a1 + 100a 2 = 31,30a + 100a + 354a = 75.012аппроксимирующегополинома 2-гоНайдем решение системы по правилу Крамера:41030∆ = 10 30 100 = 80 ,30 100 3541410304∆1 = 31 30 100 = −560 ,75 100 35414304∆ 2 = 10 31 100 = 936 ,30 750 3541014∆ 3 = 10 30 31 = −200 .30 100 75Вычислим значения коэффициентов:a0 =∆∆1 −560∆936−200== −7 , a1 = 2 == −2,5 .

Тогда= 11, 7 , a 2 = 3 =∆80∆80∆80g2 (x) = −2,5x 2 + 11, 7x − 7Найдём сумму квадратов отклонений значений найденного многочлена от заданной сеточнойфункции в узлах:∆ 2 = [(−2,5 ⋅ 12 + 11,7 ⋅ 1 − 7) − 1]2 + [(−2,5 ⋅ 2 2 + 11,7 ⋅ 2 − 7) − 10]2 + [(−2,5 ⋅ 32 + 11,7 ⋅ 3 − 7) − 2]2 ++ [(−2,5 ⋅ 4 2 + 11,7 ⋅ 4 − 7) − 1]2 = (2,2 − 1) 2 + (6,4 − 10) 2 + (5,6 − 2) 2 + (−0,2 − 1) 2 = 28,8.Аналогично, запишем систему для определения4a 0 + 10a1 = 14,многочлена 1-го порядка: 10a 0 + 30a1 = 31.коэффициентоваппроксимирующегоНайдем решение системы по правилу Крамера:∆=41010 30= 20 ,∆1 =14 1031 30= 110 ,∆2 =41410 31= −16 .Вычислим значения коэффициентов:a0 =∆1 110== 5,5 ,∆20a1 =∆ 2 −16== −0,8 . Тогда∆20g1 (x) = −0,8x + 5,54Образец выполнения этапа №6 РГРНайдём сумму квадратов отклонений найденного многочлена от заданной сеточной функции:∆1 = [(−0,8 ⋅ 1 + 5,5) − 1]2 + [(−0,8 ⋅ 2 + 5,5) − 10]2 + [(−0,8 ⋅ 3 + 5,5) − 2]2 + [(−0,8 ⋅ 4 + 5,5) − 1]2 == (4,7 − 1) 2 + (3,9 − 10) 2 + (3,1 − 2) 2 + (2,3 − 1) 2 = 53,8.Заметим, что ∆ 2 < ∆1 .На рисунке 1.

представлены интерполяционные многочлены Лагранжа L 3 (x) и НьютонаP 3 (x) , а также аппроксимирующие многочлены g1 (x) и g 2 (x) .Рис. 1.5.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы