Пример выполнения этапа №5 РГР (1013573)
Текст из файла
Образец выполнения этапа №5 РГРРасчетно-графическая работапо курсу «Теория оптимизации и численные методы».Выполнил студент группы 04-206 Иванов И.И.Вариант №1Задание:Этап №5. Тема: Методы решенияалгебраических уравненийВариант #1x 3 − 11x 2 + 36x − 36 = 0Задание:а) Отделить все корни алгебраического уравнения.Сделать чертеж.Уточнить наименьший корень алгебраическогоуравнения:б) методом Ньютона (точность счета 0.01).в) методом простой итерации (точность счета0.01).г) методом дихотомии (точность счета 0.03).5. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ КОРНЕЙ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯПример 5а).Дано: нелинейное уравнение x 3 − 11x 2 + 36x − 36 = 0 .Отделить корни алгебраического уравнения.Решение:1.
Построим график функции (рис. 1). Очевидно, уравнение имеет три корня: левый, средний иправый.2. Найдем стационарные точки функции, определяемой левой частью исходного уравнения:f ′(x) = 3x 2 − 22x + 36 = 0 ⇒стx1,2=22 ± 222 − 4326⇒ x1ст = 2, 4648; x ст2 = 4,8685 .3. Вычислим значения функции в полученных точках: f (x1ст ) = 0,8794; f (x ст2 ) = −6, 0646.Рассмотрим отрезок [x1ст , x ст2 ] = [2, 4648, 4,8685] . Так как функция принимает на концахотрезка [x1ст , x ст2 ] разные знаки, а первая производная сохраняет знак (функция на отрезкеубывает), то средний корень может быть отделен на отрезке [2,5; 4, 7] ⊂ (2, 4648; 4,8685) .4. Отделим левый корень. В качестве правой границы отрезка может быть выбрана точкаb = 2,3 < 2, 4648 , а в качестве левой границы - любая точка из интервала (−∞, 2) .
Возьмемa = 1, 6 .1Образец выполнения этапа №5 РГРОтделим правый корень. В качестве левой границы отрезка выберем точку a = 4, 9 > 4,8685 , а вкачестве правой границы - любую точку из интервала (6, + ∞) . Возьмем b = 7,1 .Окончательно:• левый корень уравнения отделен на отрезке [1,6; 2,3];• средний корень уравнения отделен на отрезке [2,5; 4,7];• правый корень уравнения отделен на отрезке [4,9; 7,1].Рис. 1.2Образец выполнения этапа №5 РГРПример 5б).Дано: нелинейное уравнение x 3 − 11x 2 + 36x − 36 = 0 .Уточнить наименьший (левый) корень[1, 6; 2,3] (точность счёта ε = 0, 01 ).уравнения методом Ньютона на отрезкеРешение:1.
Выберем начальное приближение корня x 0 = 1, 6 .Для проверки достаточных условий сходимости метода Ньютона из выбранной начальнойточки построим график второй производной функции, определяемой левой частью уравнения:f (x) = x 3 − 11x 2 + 36x − 36⇒f ′(x) = 3x 2 − 22x + 36 ⇒f ′′(x) = 6x − 22 .Построим на чертеже график второй производной функции f ′′(x) = 6x − 22 (рис. 1). По графикувидно, что в выбранной начальной точке условия сходимости метода Ньютона выполняются:f (1, 6) ⋅ f ′′(1, 6) > 0 .2. Производим вычисления по формулам метода Ньютона.Вычислим первое приближение корня:x1 = x 0 −f (x 0 )f ′(x 0 )= 1, 6 −1, 63 − 11 ⋅ 1, 62 + 36 ⋅ 1, 6 − 363 ⋅ 1, 62 − 22 ⋅ 1, 6 + 36= 1,89057 . Тогда∆ = x 0 − x1 = 1, 6 − 1,89057 = 0, 2906 > 0, 01 ; продолжаем вычисления.Вычислим второе приближение корня:x 2 = x1 −f (x1 )f ′(x1 )= 1,89057 −1,890573 − 11 ⋅ 1,89057 2 + 36 ⋅ 1,89057 − 363 ⋅ 1,89057 2 − 22 ⋅ 1,89057 + 36= 1, 98782 .
Тогда∆ = x1 − x 2 = 1,89057 − 1,9878 = 0, 0972 > 0, 01 ; продолжаем вычисления.Последующие итерации запишем в виде таблицы.f (x)№ итерацииx∆01,6−2,46411,8906−0,49890,290621,9878−0,04950,097231,9998−0,00070,012042,00000,00000,0002Вычисления закончены, так как достигнута заданная точность: ∆ = 0, 0002 < 0, 01 .Запишем полученное решение x* ≈ 2 .Ответ: найдено приближенное решение нелинейного уравнения, достаточно близкое кточному: x* = 2 .3Образец выполнения этапа №5 РГРПример 5в).Дано: нелинейное уравнение x 3 − 11x 2 + 36x − 36 = 0 .Уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом простых итераций на отрезке[1, 6; 2,3] (точность счёта ε = 0, 01 ).Решение:1.
Преобразуем исходное уравнение x 3 − 11x 2 + 36x − 36 = 0 следующим образом:x = x + α ⋅ (x 3 − 11x 2 + 36x − 36) .Возьмем α = −0, 2 , следовательно ϕ(x) = x − 0, 2 ⋅ (x 3 − 11x 2 + 36x − 36) .Проверим условие сходимости метода простых итераций для преобразованного уравнения. Дляэтого найдем производную функции ϕ′(x) = 1 − 0, 2(3x 2 − 22x + 36) и построим ее график наотрезке [1, 6; 2,3] . Вычислим несколько точек для построения графика на отрезке [1, 6; 2,3] :x1,61,71,81,922,12,22,3ϕ ′(x)−0,696−0,454−0,224−0,0060,20,3940,5760,746На рисунке 2 представлен график функции ϕ′(x) = 1 − 0, 2(3x 2 − 22x + 36) . По графику видно,✸что условие сходимости выполнено ): ϕ′(x) < 1 на отрезке [1, 6; 2,3] .2.
Выберем начальное приближение корня на отрезке [1, 6; 2,3] : x 0 = 1, 6 .3. Производим вычисления по формулам метода простых итераций.Вычислим первое приближение корня:x 1 = ϕ ( x 0 ) = 1, 6 − 0, 2(1, 6 3 − 1 1 ⋅ 1, 6 2 + 36 ⋅ 1, 6 − 3 6) = 2, 0 92 8 . Тогда∆ = x 0 − x1 = 1, 6 − 2,0928 = 0, 4928 > 0, 01 ;✸)Если условие сходимости для функцииϕ(x) не выполняется, необходимо подобрать другой коэффициент α .4Образец выполнения этапа №5 РГРРис. 2.Вычислим второе приближение корня:x 2 = ϕ(x1 ) = 2, 0928 − 0, 2(2, 09283 − 11 ⋅ 2, 09282 + 36 ⋅ 2, 0928 − 36) = 2, 02701 .
Тогда∆ = x1 − x 2 = 2, 0928 − 2, 02701 = 0, 06579 > 0, 01 ; продолжаем вычисления.Последующие итерации запишем в виде таблицы:f (x)№ итерацииx∆01,6−2,4640012,092800,328940,4928022,027010,104420,0657932,006130,024320,0208842,001260,005040,00486Вычисления закончены, так как достигнута заданная точность: ∆ = 0, 00486 < 0, 01 .Запишем полученное решение x* ≈ 2, 00126 .Ответ: найдено приближенное решение нелинейного уравнения, достаточно близкое кточному: x* = 2 .5Образец выполнения этапа №5 РГРПример 5г).Дано: нелинейное уравнение x 3 − 11x 2 + 36x − 36 = 0 .Уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом половинного деленияотрезке [1, 6; 2,3] (точность счёта ε = 0,03 ).наРешение:1.
Проверим условие сходимости метода половинного деления на отрезке [1, 6; 2,3] :f (1, 6) = −2, 464f (2,3) = 0, 777⇒ f (1, 6) ⋅ f (2,3) < 0 - значит, условие сходимости выполнено.2. Производим вычисления по формулам метода половинного деления.Итерация 1.Вычислим значения функции на концах текущего отрезка [1, 6; 2,3] :f (a) = f (1, 6) = −2, 464 ,f (b) = f (2,3) = 0, 777 .a + b 1, 6 + 2,3Найдем середину текущего отрезка c === 1,95 .22Вычислим значение функции в середине отрезка: f (c) = f (1,95) = −0, 2126 .Рассмотрим произведение f (a) ⋅ f (c) , это произведение имеет положительный знак:f (a) ⋅ f (c) > 0 , так как f (a) < 0 и f (c) < 0 , значит, новый отрезок для отыскания корня будет[c, b] = [1,95; 2,3] . Тогда∆ = 2,3 − 1, 95 = 0, 35 > 0, 03 ; продолжим вычисления.Итерация 2.Вычислим значения функции на концах текущего отрезка [1,95; 2,3]:f (a) = f (1, 95) = −0, 2126 ,f (b) = f (2,3) = 0, 777 .a + b 1,95 + 2, 3Найдем середину текущего отрезка c === 2,125 .22Вычислим значение функции в середине отрезка: f (c) = f (2,125) = 0, 4238 .Рассмотрим произведение f (a) ⋅ f (c) , это произведение имеет неположительный знак:f (a) ⋅ f (c) < 0 , так как f (a) < 0 и f (c) > 0 , значит, новый отрезок для отыскания корня будет[a, c] = [1, 95; 2,125] .
Тогда∆ = 2,125 − 1, 95 = 0,175 > 0, 03 ; продолжим вычисления.6Образец выполнения этапа №5 РГРПоследующие итерации запишем в виде таблицы:f (a)ab№ итерацииf (c)a+b∆201,62,3−2,4640,7771,95−0,212611,952,3−0,21260,7772,1250,42380,3521,952,125−0,21260,42382,03750,14300,17531,952,0375−0,21260,14301,9938−0,02520,087541,99382,0375−0,02520,14302,01560,06130,043851,99382,0156−0,02520,06132,00470,01860,0219Вычисления закончены, так как достигнута заданная точность: ∆ = 0, 0219 < 0, 03 . Поэтомуf (b)c=x* ∈ [1,9938; 2, 0156] . Выберем решение x* ≈ 2, 0047 .Ответ: найдено приближенное решение нелинейного уравнения, достаточно близкое кточному: x* = 2 .7.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
