Пример выполнения этапа №4 РГР (1013572)
Текст из файла
Образец выполнения этапа №4 РГРРасчетно-графическая работапо курсу «Теория оптимизации и численные методы».Выполнил студент группы 04-206 Иванов И.И.Вариант №1Задание:Вариант #12 x1 + 3 x 2 − 4 x 3 +x1 − 2 x 2 − 5 x 3 += 2,= −5,5 x1 − 3 x 2 +10 x1 + 2 x 2 −= −1,= 13x3x3x4x4− 4 x4+ 2 x4Этап №4. Тема: Методы решения системлинейных алгебраических уравненийЗадание:а) Решить СЛАУ методом итераций.б) Решить СЛАУ методом Зейделя.Точность вычислений 0.014. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХУРАВНЕНИЙПример 4а).Дано:2 x1 + 3 x 2 − 4 x 3 + x 4 = 2,x1 − 2 x 2 − 5 x 3 + x 4 = −5,5 x1 − 3 x 2 + x 3 − 4 x 4 = −1,10 x1 + 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = 13.Найти решение системы методом простых итераций (точность счёта ε = 0, 01 ).Решение:1. Проверим условие сходимости для заданной системы:2 x1 + 3 x 2 − 4 x 3 + x 4 = 2→ | 2 | < | 3 | + | −4 | + | 1 |,→ | −2 | < | 1 | + | −5 | + | 1 |,→ | 1 | < | 5 | + | −3 | + | −4 |,→ | 2 | < | 10 | + | 2 | + | −1 |.x1 − 2 x 2 − 5 x 3 + x 4 = −55 x1 − 3 x 2 + x 3 − 4 x 4 = −110 x1 + 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = 13Очевидно, условие сходимости не выполнено ни для одного из уравнений системы,следовательно, необходимо преобразовать исходную систему к виду, при которомдиагональные коэффициенты преобладают.Преобразуем исходную систему.Обозначим уравнения системы латинскими буквами A, B, C, D.
Найдем в левой части каждогоуравнения максимальный по модулю коэффициент.2 x1 + 3 x 2 − 4 x 3 +x1 − 2 x 2 − 5 x 35 x1 − 3 x 2 + x 310 x1 + 2 x 2 − x 3x4 =+ x4 =− 4 x4 =+ 2 x4 =2A−5B−1C13D.1Образец выполнения этапа №4 РГРВ уравнениях B и D выделенные коэффициенты по модулю больше суммы всех остальных,переставим соответствующие уравнения так, чтобы эти коэффициенты стали диагональными:10 x1 + 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = 13---------------------------x1 − 2 x 2 − 5 x 3 + x 4 = −5----------------------------DBДля остальных уравнений применим линейные преобразования:10 x1 + 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = 13Dx1 + 5 x 2 + x 3= 7A-Bx1 − 2 x 2 − 5 x 3 + x 4 = −5B3 x1− 9 x 4 = −62A−B+2C−D.Проверим условие сходимости итерационных методов для полученной системы:10 x1 + 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = 13→ | 10 | > | 2 | + | −1 | + | 2 |,x1 + 5 x 2 + x 3= 7→ | 5 | > | 1 | + | 1 | + | 0 |,x1 − 2 x 2 − 5 x 3 + x 4 = −5→ | −5 | > | 1 | + | −2 | + | 1 |,3 x1− 9 x 4 = −6Условие сходимости выполнено.→ | −9 | > | 3 | + | 0 | + | 0 |.2.
Запишем систему, эквивалентную полученной. Для этого из первого уравнения системывыразим переменную x1 , из второго - x2 и т.д.13111− x2 +x3 − x4105105711x 2 = − x1 − x 3555121x 3 = 1 + x1 − x 2 + x 455521x 4 = + x133x1 =βαX3. Выберем в качестве начального приближения следующие значения переменных:13107x 02 =50x3 = 12x 04 =3x 10 =2Образец выполнения этапа №4 РГР4. Производим вычисления по формулам метода простых итераций:Итерация 1.Запишем формулы для вычисления первого приближения решения:1311 01x 11 =− x 02 +x 3 − x 04 ,105105711x 12 = − x 10 − x 30 ,555121x 13 = 1 + x 10 − x 02 + x 04 ,55521x14 = + x10 .33Вычислим первое приближение:131 711 2x11 =− ⋅ +⋅ 1 − ⋅ = 0, 987 ,105 5105 371131x 12 = − ⋅− ⋅ 1 = 0,940 ,55 1051 132 71 2x13 = 1 + ⋅− ⋅ + ⋅ = 0,833 ,5 105 55 321 13x14 = + ⋅= 1,100 .33 10Вычислим∆X = max x i0 − x 1i :ix 10 − x 11 = | 1,3 - 0,987 | = 0,313,x 02 − x12 = | 1,4 - 0,940 | = 0,460, ⇒∆X = 0,46 > 0,01 ; продолжаем вычисления.x 30 − x13 = | 1,0 - 0,833 | = 0,167,x 04 − x14 = | 0,667 - 1,1 | = 0,433Итерация 2.Запишем формулы для вычисления второго приближения решения:1311 11x 12 =− x 12 +x 3 − x 14 ,105105711x 22 = − x 11 − x 13 ,555121x 32 = 1 + x 11 − x 12 + x 14 ,55521x 24 = + x11 .33Вычислим второе приближение:3Образец выполнения этапа №4 РГР13111− ⋅ 0,940 +⋅ 0,833 − ⋅ 1,100 = 0,975 ,105105711x 22 = − ⋅ 0,987 − ⋅ 0,833 = 1,036 ,555121x 32 = 1 + ⋅ 0,987 − ,0.940 + ⋅ 1,100 = 1,041 ,55521x 24 = + ⋅ 0,987 = 0, 996 .33x 12 =Вычислим∆X = max x 1i − x i2 :ix11− x12= | 0,987 - 0,975 | = 0,012,x12 − x 22 = | 0,940 - 1,036 | = 0,096 , ⇒∆X = 0,208 > 0,01 ; продолжаем вычисления.x13 − x 32 = | 0,833 - 1,041 | = 0,208,x14 − x 24 = | 1,100 - 0,996 | = 0,104Последующие итерации запишем в виде таблицы.№ итерацииx1x2x301,3001,4001,00010,9870,9400,83320,9751,0361,04130,9980,9970,97841,0001,0040,99950,9991,0000,998Вычисления закончены, так как ∆X = 0,004 < ε = 0,01 .x40,6671,1000,9960,9920,9991,000∆X0,4600,2080,0630,0210,004Запишем полученное решение:x1* = 0, 999 ≈ 1,x*2 = 1,x*3 = 0,998 ≈ 1,x*4 = 1.Ответ: найдено приближенное решение системы линейных алгебраических уравнений,достаточно близкое к точному: x 1* = 1, x *2 = 1, x *3 = 1, x *4 = 1 .4Образец выполнения этапа №4 РГРПример 4б).Дано:2 x1 + 3 x 2 − 4 x 3 +x 4 = 2,x1 − 2 x 2 − 5 x 3 + x 4 = −5,5 x1 − 3 x 2 + x 3 − 4 x 4 = −1,10 x1 + 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = 13.Найти решение системы методом Зейделя (точность счёта ε = 0, 01 ).Решение:Первые 3 пункта алгоритма метода аналогичны методу простых итераций, поэтому используемте же подготовленные расчётные формулы и то же начальное приближение:13107x 02 =50x3 = 12x 04 =3x 10 =4.
Производим вычисления по формулам метода Зейделя:Итерация 1.Запишем формулы для вычисления первого приближения решения:1311 01x 11 =− x 02 +x 3 − x 04 ,105105711x 12 =− x 11 − x 30 ,555121x 13 = 1 + x 11 − x 12 + x 04 ,55521x14 = + x11 .33Вычислим первое приближение:131 711 2x11 =− ⋅ +⋅ 1 − ⋅ = 0, 987 ,105 5105 3711x 12 = − ⋅ 0,987 − ⋅ 1 = 1,003 ,555121 2x13 = 1 + ⋅ 0,987 − ⋅ 1, 003 + ⋅ = 0,930 ,555 311x 14 = + ⋅ 0,987 = 0,996 .63Вычислим∆X = max x i0 − x 1i :i5Образец выполнения этапа №4 РГРx10 − x11 = | 1,3 - 0,987 | = 0,313,x 02 − x12 = | 1,4 - 1,003 | = 0,397 , ⇒∆X = 0,397 > 0,01 ; продолжаем вычисления.x 30 − x13 = | 1,0 - 0,930 | = 0,070,x 04 − x14 = | 0,667 - 0,996 | = 0,329Итерация 2.Запишем формулы для вычисления второго приближения решения:1311 11x 12 =− x 12 +x 3 − x 14 ,105105711x 22 = − x 12 − x 13 ,555121x 32 = 1 + x 12 − x 22 + x 14 ,55521x 24 = + x12 .33Вычислим второе приближение:13111x 12 =− ⋅ 1,003 +⋅ 0,930 − ⋅ 0,996 = 0,993 ,105105711x 22 = − ⋅ 0,993 − ⋅ 0,930 = 1,015 ,555121x 32 = 1 + ⋅ 0,993 − ⋅ 1,003 + ⋅ 0,996 = 0,992 ,55521x 24 = + ⋅ 0,993 = 0,998 .33∆X = max x 1i − x i2 :Вычислимix11− x12= | 0,987 - 0,993 | = 0,006,x12 − x 22 = | 1,003 - 1,015 | = 0,012 , ⇒∆X = 0,062 > 0,01 ; продолжаем вычисления.x13 − x 32 = | 0,930 - 0,992 | = 0,062,x14 − x 24 = | 0,996 - 0,998 | = 0,002Последующие итерации запишем в виде таблицы.№ итерацииx1x2012341,3000,9870,9930,9970,9991,4001,0031,0151,0021,000x4x31,0000,9300,9920,9980,999∆X0,6670,9960,9980,9980,9990,3970,0620,0130,0026Образец выполнения этапа №4 РГРВычисления закончены, так как ∆X = 0,002 < ε = 0,01 .Запишем полученное решение:x1* = 0, 999 ≈ 1,x*3 = 1,x*3 = 0.999 ≈ 1,x*4 = 0,999 ≈ 1.Ответ: найдено приближенное решение системы линейных алгебраических уравнений,достаточно близкое к точному: x 1* = 1, x *2 = 1, x *3 = 1, x *4 = 1 .7.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
