RulTO-5 (1013562)
Текст из файла
Лунева С.Ю. Методические указания к РГР по ТО (ТО и ЧМ)стр.1Этап №5Тема: Методы отыскания корней алгебраического уравненияДано:x 3 − 11x 2 + 36 x − 36 = 0а) Отделить корни алгебраического уравненияАлгоритм отделения простых корней с помощью исследования функций ипостроения графиков1. Построить график функции f ( x ) .2. Найти стационарные точки функции, решив уравнение f ′( x ) = 0 . Стационарные точкистстстстимеют абсциссы: x 1 , x 2 , x 3 ...x m .стстстст3.
C помощью графика исследовать отрезки [ x i , x i +1 ] . Если f ( x i ) ⋅ f ( x i +1 ) < 0 , то[a , b] ⊂ ( x iст , x iст+1 ) .стст4. Отрезки [a , b] на интервалах ] − ∞, x 1 ] и [ x m , ∞[ - конкретизировать с помощьюграфика, исходя из условия f (a ) ⋅ f ( b) < 0 .Решение:Построим график функции.Пример выполнения этапа №5, 2010 г.Лунева С.Ю. Методические указания к РГР по ТО (ТО и ЧМ)стр.2Найдем стационарные точки функции, определяемой левой частью исходного уравнения:f ′( x ) = 3x 2 − 22 x + 36 = 0 ⇒x 1ст, 222 ± 22 2 − 432=6⇒ x 1ст = 2.4648 x ст2 = 4.8685Вычислим значение функции в полученных точках:f ( x 1ст ) = 0.8794Рассмотрим отрезокстf ( x ст2 ) = −6.0646[ x1ст , x ст2 ] = [ 2.4648, 4.8685] .
Т.к. функция принимает на концахстотрезка [ x 1 , x 2 ] разные знаки, а производная сохраняет знак (функция на отрезкеубывает),тосреднийкореньможетбытьотделеннаотрезке[2.5, 4.7] ∈ (2.4648, 4.8685)Отделим левый корень. В качестве правой границы отрезка может быть выбрана точкаb = 2.3 < 2.4648 , а в качестве левой границы любая точка из интервала (−∞, 2) .Возьмем a = 1.6 .Отделим правый корень.
В качестве левойграницыотрезкавыберемточкуa = 4.9 > 4.8685 , а в качестве правой границы любая точка из интервала (6, ∞) .Возьмем b = 7.1 .Окончательно:левый корень уравнения отделен на отрезке [1.6; 2.3]средний корень уравнения отделен на отрезке [2.5; 4.7]правый корень уравнения отделен на отрезке [4.9; 7.1]Пример выполнения этапа №5, 2010 г.Лунева С.Ю. Методические указания к РГР по ТО (ТО и ЧМ)б) Уточнить наименьший (левый) кореньотрезке [1.6; 2.3], точность счета 0.01стр.3уравнения методом Ньютона наАлгоритм уточнения корня алгебраического уравнения методом Ньютона1.
На отрезке [a , b] отделения единственного корня уравнения задать начальное0приближение x .00Проверить условие сходимости f ( x ) ⋅ f ′′( x ) > 0 для выбранного приближения, еслиусловие не выполнено задать другое начальное приближение.2. Вычислить приближения корня по формуле x3. Повторять процедуру 2. до тех пор пока xk +1k +1f (x k )=x −, k = 0, 1, 2.....f ′( x k )k− x k < ε , тогда x * = x k +1Решение:0Выберем начальное приближение корня x = 1.6Для проверки достаточных условий сходимости метода Ньютона из выбранной начальнойточки, построим график второй производной функции, определяемой левой частьюуравнения:f ( x ) = x 3 − 11x 2 + 36 x − 36f ′( x ) = 3x 2 − 22 x + 36f ′′( x ) = 6 x − 22По графику видно, что в выбранной начальной точке условия сходимости методаНьютона выполняются: f (1.6) ⋅ f ′′(1.6) > 0 .Метод НьютонаВычислим первое приближение корня:x1 = x 0 −f (x 0 )1.6 3 − 11 ⋅ 1.6 2 + 36 ⋅ 1.6 − 36=1.6−= 1.89057f ′( x 0 )3 ⋅ 1.6 2 − 22 ⋅ 1.6 + 36x 0 − x 1 = 1.6 − 1.89057 = 0.2906Вычислим второе приближение корня:f (x1 )1.89057 3 − 11 ⋅ 1.89057 2 + 36 ⋅ 1.89057 − 36x =x −= 1.89057 −= 1.98782f ′( x 1 )3 ⋅ 1.89057 2 − 22 ⋅ 1.89057 + 3621x 1 − x 2 = 1.89057 − 1.9878 = 0.0972Пример выполнения этапа №5, 2010 г.Лунева С.Ю.
Методические указания к РГР по ТО (ТО и ЧМ)стр.4Последующие итерации запишем в виде таблицы.№ итерацииx01234f(x)1.61.89061.98781.99982.0000∆x-2.464-0.4989-0.0495-0.00070.0000Вычисления закончены, т.к. достигнута заданная точность 0.01.*Запишем полученное решение x ≈ 2 .*Ответ: найдено решение уравнения: x = 2 .Пример выполнения этапа №5, 2010 г.0.29060.09720.01200.0002Лунева С.Ю. Методические указания к РГР по ТО (ТО и ЧМ)стр.5в) Уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом итераций наотрезке [1.6; 2.3], используя преобразование x = x + α ⋅ f ( x ) , точность счета 0.01Алгоритм уточнения корня алгебраического уравнения методом итерации1. Преобразовать уравнение к равносильному видуx = ϕ( x ) .
Проверить условиесходимости ϕ′( x ) < 1 на отрезке [a , b] .Для этого построить график ϕ′( x ) на отрезке [a , b] . Если условие не выполнено найтидругое преобразование x = ϕ( x ) .Замечание: В качестве эквивалентного преобразования исходного уравнения взятьследующее: x = x + α ⋅ f ( x ) , коэффициентα подобрать таким образом, чтобыϕ( x )выполнялось ϕ′( x ) < 1 на отрезке [a , b] .02.
Задать начальное приближение x произвольно на [a , b] .3. Вычислить приближения корня по формуле x4. Повторять процедуру 3. до тех пор пока xk +1k +1= ϕ( x k ), k = 0, 1, 2....− x k < ε , тогда x * = x k +1Решение:32Преобразуем исходное уравнение x − 11x + 36 x − 36 = 0 следующим образом:x = x + α ⋅ ( x 3 − 11x 2 + 36 x − 36)32Возьмем α = −0.2 , следовательно ϕ( x ) = x − 0.2 ⋅ ( x − 11x + 36 x − 36)Проверим условие сходимости метода итерации для преобразованного уравнения.Найдем производную функции ϕ′( x ) и построим ее график на отрезке [1.6; 2.3]:ϕ′( x ) = 1 − 0.2(3x 2 − 22 x + 36)Точки для построения графика на отрезке [1.6; 2.3]:xϕ′( x )1.61.71.81.922.12.22.3-0.696-0.454-0.224-0.0060.20.3940.5760.746Пример выполнения этапа №5, 2010 г.Лунева С.Ю. Методические указания к РГР по ТО (ТО и ЧМ)стр.6По графику видно, что условие сходимости выполнено✸): ϕ′( x ) < 1 на [1.6; 2.3].0Выберем начальное приближение корня x = 1.6 .Метод итерацийВычислим первое приближение корня:x 1 = ϕ ( x 0 ) = 1 .
6 − 0 . 2 (1 . 6 3 − 11 ⋅ 1 . 6 2 + 36 ⋅ 1 . 6 − 36 ) = 2 . 0928x 0 − x 1 = 1.6 − 2.0928 = 0.4928Вычислим второе приближение корня:x 2 = ϕ( x 1 ) = 2.0928 − 0.2( 2.0928 3 − 11 ⋅ 2.0928 2 + 36 ⋅ 2.0928 − 36) = 2.02701x 1 − x 2 = 2.0928 − 2.02701 = 0.06579Последующие итерации запишем в виде таблицы:№ итерацииϕ (x)xf(x)01.62.09280-2.4640012.092802.027010.3289422.027012.006130.1044232.006132.001260.0243242.001262.000250.00504Вычисления закончены, т.к. достигнута заданная точность 0.01.∆x0.492800.065790.020880.00486*Запишем полученное решение x ≈ 2.00126 .*Ответ: найдено решение уравнения: x = 2 .✸)Если условие сходимости дляϕ( x ) не выполняется, необходимо подобрать другой коэффициент α .Пример выполнения этапа №5, 2010 г.Лунева С.Ю.
Методические указания к РГР по ТО (ТО и ЧМ)стр.7г) Уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом половинногоделения на отрезке [1.6; 2.3], точность счета 0.03Алгоритм уточнения корня алгебраического уравнения методом половинногоделения1. Определить начальный интервал неопределенности [a 0 , b 0 ] = [a , b] и проверитьусловие сходимости f (a ) ⋅ f ( b) ≤ 0 :a k + bk, k = 0, 1, 2...23. Если f (a k ) ⋅ f (c k ) ≤ 0 , то [a k +1 , b k +1 ] = [a k , c k ] .Если f (a k ) ⋅ f (c k ) > 0 , то [a k +1 , b k +1 ] = [c k , b k ]2. Найти середину выбранного отрезка c k =*4.
Повторять процедуру 2-4. до тех пор пока b k +1 − a k +1 < ε , тогда x =a k +1 + b k +12Решение:Проверим условие сходимости метода половинного деления на отрезке [1.6; 2.3]:f (1.6) = −2.464f (2.3) = 0.777⇒ f (1.6) ⋅ f (2.3) < 0 - значит условие сходимости выполнено.Метод половинного деления (дихотомии)Итерация 1Вычислим значения функции на концах текущего отрезка [1.6; 2.3]:f (a ) = f (1.6) = −2.464 , f (b) = f (2.3) = 0.777a + b 1.6 + 2.3== 1.9522Вычислим значение функции в середине отрезка: f (c) = f (1.95) = −0.2126Найдем середину текущего отрезка c =Рассмотрим произведение f (a ) ⋅ f (c) , это произведение имеет положительный знак, т.к.f (a ) < 0 и f (c) < 0 , значит новый отрезок для отыскания корня будет [c, b] = [1.95; 2.3]∆x = 2.3 − 1.6 = 0.7 эта величина превышает заданную точность 0.03, вычисленияпродолжаются.Итерация 2Вычислим значения функции на концах текущего отрезка [1.95; 2.3] :f (a ) = f (1.95) = −0.2126 ,f (b) = f (2.3) = 0.777Найдем середину текущего отрезка c =a + b 1.95 + 2.3= 2.125=22Пример выполнения этапа №5, 2010 г.Лунева С.Ю.
Методические указания к РГР по ТО (ТО и ЧМ)стр.8Вычислим значение функции в середине отрезка: f (c) = f ( 2.125) = 0.4238Рассмотрим произведение f (a ) ⋅ f (c) , это произведение имеет неположительный знак,т.к.f (a ) < 0 и f (c) > 0 , значит новый отрезок для отыскания корня будет[a , c] = [1.95; 2.125] .∆x = 2.3 − 1.95 = 0.35 эта величина превышает заданную точность 0.03, вычисленияпродолжаются.Последующие итерации запишем в виде таблицы:№ итерацииabf(a)f(b)c=a+b201.62.3-2.4640.7771.9511.952.3-0.21260.7772.12521.952.125-0.21260.42382.037531.952.0375-0.21260.14301.993841.99382.0375-0.02520.14302.015651.99382.0156-0.02520.06132.0047Вычисления закончены, т.к.
достигнута заданная точность 0.03.*Запишем полученное решение x ≈ 2.0047 .*Ответ: найдено решение уравнения: x = 2 .Пример выполнения этапа №5, 2010 г.f( с)∆x-0.21260.42380.1430-0.02520.06130.01860.70.350.1750.08750.04380.0219.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
