RulTO-4 (1013560)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лунева С.Ю. Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.1Этап №4Методы решения систем линейных алгебраических уравненийДано:2 x1x15 x110 x1++3x22x23x22x2- 4 x3- 5 x3+ x3- x3+ x4+ x4- 4x4+ 2x4=2= -5= -1= 13а) Найти решение системы методом простых итераций(точность счёта ε = 0.01 )Алгоритм решения СЛАУ методом простых итераций1. Проверить условие сходимости метода. Метод сходится, если диагональныекоэффициенты в левой части системы преобладают, т.е.

в каждом уравнении такойкоэффициент по модулю больше, чем сумма модулей всех остальных2. Если условие не выполнено, привести систему к виду, при котором диагональныеэлементы преобладают. Для этого:• Найти в левой части каждого уравнения максимальный по модулю коэффициент,если при этом он по модулю больше, чем сумма модулей всех остальных, записатьуравнение в новую систему, так, чтобы этот коэффициент стал диагональным.• Из оставшихся после перестановки уравнений составить линейно-независимыемежду собой комбинации, так чтобы все строки новой системы были заполнены исоблюдался принцип преобладания диагонального коэффициента. При этомнеобходимо, чтобы все уравнения исходной системы были использованы в новой.3.

Разрешить первое уравнение полученной системы AX = B относительно x1 , второеотносительно - x 2 и т.д. В результате получается эквивалентная система X = β + αX .04. Задать начальное приближение X = β5. Применять алгоритмx1k +1 = β1 + α12 x k2 + α13x 3k + ......... + α1n x kn k +1kkkx 2 = β2 + α 21x1 + α 23x 3 + ......... + α 2 n x n, k = 0,1,2........ ,..........................................kx k +1 = β + α x k + α x k + ......... + αnn1 1n2 2n , n −1x n −1 nk +1до тех пор пока ∆X = max x j− x kj < ε .jВ этом случае критерий окончания может быть интерпретирован так: производитьвычисления до тех пор, пока в двух последовательных итерациях максимальная разницамежду соответствующими парами неизвестных не станет по модулю меньше ε .Пример выполнения этапа №4, 2010 г.Лунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.2Решение:Проверим условие сходимости для заданной системы:2 x1x15 x110 x1+ 3x2- 2x2- 3x2+ 2x2- 4 x3- 5 x3+ x3- x3+ x4+ x4- 4x4+ 2x4→→→→=2= -5= -1= 13| 2 | < | 3 | + | -4| -2 | < | 1 | + | -5| 1 | < | 5 | + | -3| 2 | < | 10 | + | 2|+| 1||+| 1|| + | -4 || + | -1 |Очевидно, условие сходимости не выполнено ни для одного из уравнений системы,следовательно, необходимо преобразовать исходную систему к виду, при которомдиагональные коэффициенты преобладают.Преобразуем исходную систему.Обозначим уравнения системы латинскими буквами A, B, C, D. Найдем в левой частикаждого уравнения максимальный по модулю коэффициент.2 x1 + 3 x 2 - 4 x 3 + x 4 = 2Ax1 - 2 x 2 - 5 x 3 + x 4 = -55 x1 - 3 x 2 + x 3 - 4 x 4 = -110 x1 + 2 x 2 - x 3 + 2 x 4 = 13BCDВ уравнениях B и D выделенные коэффициенты по модулю больше суммы всехостальных, переставим соответствующие уравнения так, чтобы эти коэффициенты сталидиагональными:10 x1 + 2 x 2 - x 3 + 2 x 4 = 13 D---------------------------x1 - 2 x 2 - 5 x 3 + x 4 = -5 B---------------------------Для остальных уравнений применим линейные преобразования:10 x1 + 2 x 2x1 + 5 x 2x1 - 2 x 23 x1x 3 + 2 x 4 = 13 D+ x3=7A-B- 5 x 3 + x 4 = -5B- 9 x 4 = -52A-B+2C-D-Проверим условие сходимости итерационных методов для полученной системы:10 x1 + 2 x 2x1 + 5 x 2x1 - 2 x 23 x1x3 + 2 x 4+ x3- 5 x3 + x 4- 9x4-= 13→ | 10 | > | 2 | + | -1 | + | 2 |=7→|5 |>| 1 |+| 1 |+| 0 |= -5→| -5 | > | 1 | + | -2 | + | 1 |→| -9 | > | 3 | + | 0 | + | 0 |= -5Условие сходимости выполнено.Пример выполнения этапа №4, 2010 г.Лунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.3Запишем систему, эквивалентную полученной, для этого из первого уравнения системывыразим переменную x1 , из второго - x 2 и т.д.13111− x2 +x3 − x 4105105711− x1 − x 3x2 =555121x 3 = 1 + x1 − x 2 + x 455511x 4 = + x163x1 =Выберем в качестве начального приближения следующие значения переменных:13107x 02 =50x3 = 11x 04 =6x10 =Метод итерацийИтерация 1Запишем формулы для вычисления первого приближения решения:1311 01− x 02 +x 3 − x 04105105711x12 =− x10 − x 30555121x13 = 1 + x10 − x 02 + x 0455511x14 =+ x1063x11 =Вычислим первое приближение:131 711 1− ⋅ +⋅ 1 − ⋅ = 0.987105 5105 671 131x12 =− ⋅− ⋅ 1 = 0.94055 105x11 =Пример выполнения этапа №4, 2010 г.Лунева С.Ю. Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.41 132 71 1⋅− ⋅ + ⋅ = 0.8335 105 55 611 13+ ⋅= 1.100x14 =63 10x13 = 1 +∆X = max x i0 − x1iВычислимix10−x11= | 1.3 - 0.987 | = 0.313x 02 − x12 = | 1.4 - 0.940 | = 0.460 ⇒∆X = 0.46 > 0.01 , продолжаем вычисления.x 30 − x13 = | 1.0 - 0.833 | = 0.167x 04 − x14 = | 0.667 - 1.1 | = 0.433Итерация 2Запишем формулы для вычисления второго приближения решения:1311 11− x12 +x 3 − x14105105711x 22 =− x11 − x13555121x 32 = 1 + x11 − x12 + x1455511x 24 = + x1163x12 =Вычислим второе приближение:13111− ⋅ 0.940 +⋅ 0.833 − ⋅ 1.100 = 0.975105105711x 22 = − ⋅ 0.987 − ⋅ 0.833 = 1.036555121x 32 = 1 + ⋅ 0.987 − ⋅ 0.940 + ⋅ 1.100 = 1.04155511x 24 = + ⋅ 0.987 = 0.9966312Вычислим ∆X = max x i − x ix12 =ix 11− x 12= | 0.987 - 0.975 | = 0.012x12 − x 22 = | 0.940 - 1.036 | = 0.096 ⇒∆X = 0.208 > 0.01, продолжаем вычисления.x13 − x 32 = | 0.833 - 1.041 | = 0.208Пример выполнения этапа №4, 2010 г.Лунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.5x14 − x 24 = | 1.100 - 0.996 | = 0.104Последующие итерации запишем в виде таблицы.№итерации012345x1x21.3000.9870.9750.9981.0000.9991.4000.9401.0360.9971.0041.000x3x41.0000.8331.0410.9780.9990.9980.6671.1000.9960.9920.9991.000∆X0.4600.2080.0630.0210.004Вычисления закончены, т.к.

достигнута заданная точность 0.01.Запишем полученное решение:x1* = 0.999 ≈ 1x*2 = 1x*3 = 0.998 ≈ 1x*4 = 1Ответ: найденоx1*= 1,x *2= 1,решениеx*3= 1,x *4системылинейныхалгебраических= 1.Пример выполнения этапа №4, 2010 г.уравнений:Лунева С.Ю. Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.6б) Найти решение системы методом Зейделя(точность счёта ε = 0.01 )Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса-Зейделя1. Проверить условие сходимости метода. Метод сходится, если диагональныекоэффициенты в левой части системы преобладают, т.е. в каждом уравнении такойкоэффициент по модулю больше, чем сумма модулей всех остальных2.

Если условие не выполнено, привести систему к виду, при котором диагональныеэлементы преобладают. Для этого:• Найти в левой части каждого уравнения максимальный по модулю коэффициент,если при этом он по модулю больше, чем сумма модулей всех остальных, записатьуравнение в новую систему, так, чтобы этот коэффициент стал диагональным.• Из оставшихся после перестановки уравнений составить линейно-независимыемежду собой комбинации, так чтобы все строки новой системы были заполнены исоблюдался принцип преобладания диагонального коэффициента. При этомнеобходимо, чтобы все уравнения исходной системы были использованы в новой.3. Разрешить первое уравнение полученной системы AX = B относительно x1 , второеотносительно - x 2 и т.д.

В результате получается эквивалентная система X = β + αX .04. Задать начальное приближение X = β5. Применять алгоритмx1k +1 = β1 + α12 x k2 + α13x 3k + ......... + α1n x kn k +1k +1kkx 2 = β2 + α 21x1 + α 23x 3 + ......... + α 2 n x n k +1k +1k +1k,x 3 = β3 + α31x1 + α32 x 2 + ......... + α 3n x n..........................................x kn +1 = βn + α n1x1k +1 + α n 2 x k2 +1 + .........

+ α n , n −1x kn +−11k +1до тех пор пока ∆X = max x jk = 0,1,2........− x kj < ε .jВ этом случае критерий окончания может быть интерпретирован так: производитьвычисления до тех пор, пока в двух последовательных итерациях максимальная разницамежду соответствующими парами неизвестных не станет по модулю меньше ε .Пример выполнения этапа №4, 2010 г.Лунева С.Ю. Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.7Решение:Первые 4 пункта алгоритма метода аналогичны методу простых итераций, поэтомуиспользуем те же подготовленные расчётные формулы и то же начальное приближение:13107x 02 =50x3 = 11x 04 =6x10 =Метод ЗейделяИтерация 1Запишем формулы для вычисления первого приближения решения:1311 01− x 02 +x 3 − x 04105105711x 12 = − x 11 − x 30555121x13 = 1 + x11 − x12 + x 0455511x14 =+ x1163x11 =Вычислим первое приближение:131 711 1− ⋅ +⋅ 1 − ⋅ = 0.987105 5105 6711x12 = − ⋅ 0.987 − ⋅ 1 = 1.003555121 1x13 = 1 + ⋅ 0.987 − ⋅ 1.003 + ⋅ = 0.930555 611x14 = + ⋅ 0.987 = 0.99663x11 =Вычислим∆X = max x i0 − x1iix 10−x 11= | 1.3 - 0.987 | = 0.313x 02 − x12 = | 1.4 - 1.003 | = 0.397 ⇒∆X = 0.397 > 0.01 , продолжаем вычисления.x 30 − x13 = | 1.0 - 0.930 | = 0.070x 04 − x 14 = | 0.667 - 0.996 | = 0.329Пример выполнения этапа №4, 2010 г.Лунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.8Итерация 2Запишем формулы для вычисления второго приближения решения:1311 11− x12 +x 3 − x14105105711x 22 =− x12 − x13555121x 32 = 1 + x12 − x 22 + x1455511x 24 =+ x1263x12 =Вычислим второе приближение:13111− ⋅ 1.003 +⋅ 0.930 − ⋅ 0.996 = 0.993105105711x 22 = − ⋅ 0.993 − ⋅ 0.930 = 1.015555121x 32 = 1 + ⋅ 0.993 − ⋅ 1.003 + ⋅ 0.996 = 0.99255511x 24 = + ⋅ 0.993 = 0.99863x12 =∆X = max x1i − x i2Вычислимix 11− x 12= | 0.987 - 0.993 | = 0.006x12 − x 22 = | 1.003 - 1.015 | = 0.012 ⇒∆X = 0.062 > 0.01 , продолжаем вычисления.x13 − x 32 = | 0.930 - 0.992 | = 0.062x14 − x 24 = | 0.996 - 0.998 | = 0.002Последующие итерации запишем в виде таблицы.№итерацииx101234x21.3000.9870.9930.9970.999x31.4001.0031.0151.0021.000x41.0000.9300.9920.9980.999Вычисления закончены, т.к.

достигнута заданная точность 0.01.Пример выполнения этапа №4, 2010 г.∆X0.6670.9960.9980.9980.9990.3970.0620.0130.002Лунева С.Ю. Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)Запишем полученное решение:x1* = 0.999 ≈ 1x *3 = 1x *3 = 0.999 ≈ 1x *4 = 0.999 ≈ 1Ответ: найдено решение системы линейных алгебраических уравнений:x1* = 1, x *2 = 1, x*3 = 1, x *4 = 1 .Пример выполнения этапа №4, 2010 г.стр.9.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы