RulTO-2 (1013556)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лунева С.Ю. Методические указания к РГР и КР по ТО ( ТО и ЧМ)стр.1Этап №2Методы решения ЗНП при ограничениях типа равенства22Дано: f (X ) = x1 + 2 x 2 − 2 x1 − 6 x 2 − 12 → extr2 x 1 + x 2 = −1Преобразуем ограничение к виду: ϕ1 ( X) = 02 x1 + x 2 = −1 ⇒ 2 x1 + x 2 + 1 = 0 ⇒ ϕ1 (X ) = 2 x1 + x 2 + 1а) Решить задачу графическиАлгоритм графического решения задачи1. Вычислить точку касания, пользуясь условиями касания:Ккас•точка касания принадлежит ограничению, т.е.

ϕ1 ( X•градиенты функции и ограничения в точке касания являются линейно-зависимыми,т.е. ∇f ( XKac) = 0;) = α ⋅ ∇ϕ1 (X Kac )2. Построить ограничение и определить множество допустимых решений X.3. Вычислить функцию в точке касания, определить конфигурацию и построитьсоответствующую линию уровня.Решение:Решение задачи есть точка касания ограничения и линии уровня функции f = C , гдеC = const . Искомая точка касания обладает следующими свойствами:••КасКасточка касания принадлежит ограничению: 2 x1 + x 2= −1в точке касания градиенты функции и ограничения линейно зависимы:∇f ( XKac) = α ⋅ ∇ϕ1 ( XKac 2 x1Kac − 2  2  2 x1Kac − 2 4 x 2 Kac − 6)⇒= α ⋅   ⇒= 4 x Kac − 6 121 2Воспользовавшись условиямикоординаты решения:касания, 2 x 1 + x 2 = −1 2 x + x 2 = −1⇒ 1 x1 − 1 = 4 x 2 − 6x1 − 4 x 2 = −5*составим⇒(1) − 2⋅(2)системууравненийи*2 x1 + x 2 = −1 x1 = −1⇒ *9x=9x 2 = 1 2ТНайдена точка X = ( −1, 1) - точка касания ограничения и линии уровня функции.Пример выполнения этапа №2, 2010 г.найдемЛунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО ( ТО и ЧМ)стр.2Построим графическую иллюстрацию решения.Ограничение в задаче - прямая с уравнением 2 x1 + x 2 = −1 , она проходит через точки:x1x20-0.5-10Построим прямую на графике и обозначим ϕ1 ( X) = 0 .*ТНайдём значение функции в найденной точке касания X = ( −1, 1) :f = (−1) 2 + 2 ⋅ 12 − 2 ⋅ (−1) − 6 ⋅ 1 − 12 = −13Определим конфигурацию линии✸) уровня функции, вычислив инвариант:D=1 00 2=2т.к.

D > 0, то искомая линия уровня эллипс.Запишем уравнение линии уровня:x12 + 2 x 22 − 2 x1 − 6x 2 − 12 = −13x12 + 2 x 22 − 2 x1 − 6x 2 = −1Приведем уравнение линии уровня к каноническому виду, выделив полные квадраты:x12 − 2 x1 + 2( x 22 − 3x 2 ) = −1x 2 − 2x1 + 1 − 1 + 2( x 22 − 2 ⋅ 3 x 2 + 9 − 9 ) = −1241 4( x1 − 1) 2 − 1 + 2(( x 2 − 3 ) 2 − 9 ) = −124( x 1 − 1) 2 + 2( x 2 − 3 ) 2 = −1 + 1 + 9223 2( x1 − 1) 2 ( x 2 − 2 )+= 1 - каноническое уравнение эллипса9924Центр эллипса - точка с координатами (1, 3 ) .2Главные диагонали эллипса прямые с уравнениями: x1 = 1 и x 2 = 3 .2✸)см. Приложение к №2Пример выполнения этапа №2, 2010 г.Лунева С.Ю. Методические указания к РГР и КР по ТО ( ТО и ЧМ)стр.3Найдем точки пересечения эллипса с главными диагоналями:x1 = 1 ⇒(x 2 − 3 )22 =1 ⇒94(x 2 − 3 )2 = 924⇒x2 − 3 = ± 322⇒x2 = 3x2 = 0Получены точки с координатами: (1, 0) и (1, 3)x2 = 32⇒( x1 − 1) 2= 1 ⇒ ( x1 − 1) 2 = 9⇒292x1 − 1 = ± 32⇒x 2 = 3.1213x1 = −1.1213Получены точки с координатами: (−1.1213, 3 ) и (3.1213, 3 )22Найдем еще несколько точек для построения эллипса, выразив x1 из каноническогоуравнения эллипса:(x 2 − 3 )22 ⋅ 9 +1x1 = ± 1 −294x2x100.511.522.5312.581133.121332.58111x11-0.5811-1-1.1213-1-0.58111Построим на чертеже линию уровня функции.Пример выполнения этапа №2, 2010 г.x2ϕ(X) = 0f=0f * = -131X*10x1Лунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.4б) Решить задачу методом множителей Лагранжа(аналитически отыскать экстремум функции при ограничениях типа равенства,используя аппарат необходимых и достаточных условий)Алгоритм решения задачи методом множителей Лагранжаm1. Записать классическую функцию Лагранжа: L( X, λ ) = f (X ) + ∑ λ jϕ j ( X)j=12. Записать необходимые условия экстремума ФМП при ограничениях типа равенств: ∂L(X, λ ) ∂f (X) m ∂ϕ j (X )=+ ∑λj= 0,∂x i∂x ij=1 ∂x iϕ (X ) = 0,j = 1..m ji = 1..n3.

Решить полученную систему. Решение системы – условно-стационарные точки(X*, λ*) .4. Проверить достаточные условия экстремума в каждой точке ( X*, λ*) , для этого∂ 2LЗаписать второй дифференциал функции Лагранжа: d L = ∑ ∑dx i dx ji =1 j=1 ∂x i ∂x j2Записать дифференциалы ограничений dϕ j ( X ) =n∂ϕ j (X)i =1∂x i∑n ndx iВ каждой точке ( X*, λ*)24.1. Вычислить второй дифференциал d L( X*, λ*)4.2. Записать условия равенства 0 дифференциалов ограничений в каждой точке X * :n  ∂ϕ j ⋅ dx i = 0,dϕ j (X*) = ∑ i =1  ∂x i  X *j = 1..m4.3.

Используя уравнения из п. 4.2, выразить любые m дифференциалов переменных2через оставшиеся ( n − m) и подставить их в выражение для d L( X*, λ*) .24.4. Определить знак d L( X*, λ*) :2•если d L( X*, λ*) >0 при dx i ≠ 0 , то точка X * - точка условного локальногоминимума в задаче;•если d L( X*, λ*) <0 при dx i ≠ 0 , то точка X * - точка условного локальногомаксимума в задаче.2Пример выполнения этапа №2, 2010 г.Лунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.5Решение:Запишем классическую функцию Лагранжа:L(X, λ) = x12 + 2 x 22 − 2 x1 − 6 x 2 − 12 + λ1 (2 x1 + x 2 + 1)Запишем необходимые условия экстремума функции при ограничениях типа равенства: ∂L(X, λ)= 2 x1 − 2 + 2λ1 = 0 ∂x1 ∂L(X, λ)= 4 x 2 − 6 + λ1 = 0∂x2 ϕ1 (X) = 2 x1 + x 2 + 1 = 0Решим полученную систему:2 x1 − 2 + 2λ1 = 0 4 x 2 − 6 + λ1 = 02 x + x + 1 = 02 19λ1 = 18⇒4x 2 + λ1 = 62x + x = −12 1⇒2 x1 + 2λ1 = 24 x 2 + λ1 = 62 x + x = −12 1λ1 = 26 − λ1x 2 =4− 1 − x2x=12⇒⇒(1) −(3)− x 2 + 2λ1 = 34 x 2 + λ1 = 6 2 x + x = −12 1⇒4⋅(1) + (2)λ1* = 2 *x 2 = 1 *x1 = −1**Таким образом, получено решение системы – точка с координатами ( X , λ ) = ( −1, 1, 2)- условно-стационарная точка функции.Определим характер полученной точки с помощью достаточных условий экстремума.Запишем второй дифференциал функции Лагранжа:∂ 2 L(X, λ )=2∂x12∂ 2 L ( X , λ ) ∂ 2 L ( X, λ )==0∂x1∂x 2∂x 2∂x1∂ 2 L ( X, λ )=4∂x 22d 2 L(X, λ) = 2(dx1 )2 + 0 ⋅ dx1 ⋅ dx 2 + 0 ⋅ dx1 ⋅ dx 2 + 4(dx 2 )2d 2 L(X, λ) = 2(dx1 )2 + 4(dx 2 )2Пример выполнения этапа №2, 2010 г.TЛунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.6Запишем дифференциал ограничения ϕ1 :∂ϕ1 (X )=2∂x1∂ϕ1 (X)=1∂x 2⇒dϕ1 (X ) = 2 ⋅ dx1 + 1 ⋅ dx 2В точке X* = ( −1, 1, 2) имеем:d 2 L(X*) = 2(dx 1 ) 2 + 4(dx 2 ) 2 при условии dϕ1 (X*) = 2 ⋅ dx 1 + 1 ⋅ dx 2 = 0 ,получим:dx 2 = −2dx 1 ⇒ d 2 L(X*) = 18(dx 1 ) 2 > 0 при dx 1 ≠ 0*Следовательно, в точке X = ( −1, 1)условного минимума.Tвыполнены достаточные условия локальногоОтвет: функции f (X ) при ограничении 2 x1 + x 2 = −1 имеет условный*Tминимум в точке с координатами X = ( −1, 1) .Пример выполнения этапа №2, 2010 г.локальныйЛунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.7в) Найти решение задачи методом исключенийАлгоритм решения задачи методом исключений1. Разрешить систему ограничений относительно любых m переменных.2. Подставить полученные выражения в исходную функцию и перейти к задачебезусловной оптимизации.3. Решить полученную задачу безусловной оптимизации - найти стационарные точки ипроверить достаточные условия.4. Вернуться к исходной задаче и, используя решение задачи безусловной оптимизации,найти значения недостающих переменных.Решение:Разрешим ограничение относительно переменной x 2 : x 2 = −1 − 2x1 , и подставимвыражение для x 2 в исходную функцию:~f (X ) = f ( x1 ) == x12 + 2(−1 − 2 x1 ) 2 − 2 x1 − 6(−1 − 2 x1 ) − 12 = x12 + 2(1 + 4 x1 + 4 x12 ) − 2 x1 + 6 − 12x1 − 12 == 9 x12 + 18x1 − 4~Найдем безусловный экстремум функции f ( x1 ) :~d f ( x1 )= 18x1 + 18 ⇒ 18x1 + 18 = 0 ⇒ x1* = −1dx1~d 2 f ( x1 )~= 18 > 0 ⇒ функция f ( x1 ) имеет минимум при x1* = −12d ( x1 )Найдем оптимальное значение x 2 * : x 2 * = −1 − 2 ⋅ ( −1) = 1Окончательно, найдена точка условного минимума функции f ( X) с координатамиX* = (−1, 1)T .Ответ: функции f (X ) при ограничении 2 x1 + x 2 = −1 имеет условный*Tминимум в точке с координатами X = ( −1, 1) .Пример выполнения этапа №2, 2010 г.локальныйЛунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.8г) Найти решение задачи методом штрафной функцииАлгоритм аналитического решения задачи методом штрафной функции1. Записать штрафную функцию: F( X, r ) = f ( X) +r m 2⋅ ∑ ϕ j (X)2 j=12. Записать необходимые условия экстремума для штрафной функции: ∂F(X, r )= 0 i = 1..n∂xi3. Найти решениепараметра r .полученнойсистемы:X* (r ) . Решение системы зависит от**4.

Найти условно-стационарную точку в задаче: X = lim X ( r ) .r →∞ ∂ 2 F(X, r ) 5. Составить матрицу Гессе для штрафной функции: H( X ( r )) =  ∂x ∂x  i =1..nij j=1..n6. Исследовать знакоопределенность матрицы при r → ∞ по критерию Сильвестра.***7. Записать оценку множителей Лагранжа: λ j = lim r ⋅ ϕ j ( X ( r ))r →∞j = 1..m .Решение:Составим штрафную функцию:rF(X, r ) = x12 + 2 x 22 − 2 x1 − 6 x 2 − 12 + (2 x1 + x 2 + 1) 22Внимание ! В случае поиска условного максимума,используют штрафную функцию вида:r mF(X, r ) = f (X) − ∑ ϕ2j (X)2 j=1Запишем необходимые условия безусловного минимума штрафной функции: ∂F(X, r )= 2x1 − 2 + r ⋅ (2x1 + x 2 + 1) ⋅ 2 = 0 ∂x1 ∂F(X, r ) = 4x − 6 + r ⋅ (2x + x + 1) = 0212 ∂x 2(2 + 4r ) ⋅ x1 + 2r ⋅ x 2 = 2 − 2rПреобразуем исходную систему к виду: 2r ⋅ x1 + (4 + r ) ⋅ x 2 = 6 − rРазрешим полученную систему относительно переменных x 1 , x 2 методом Крамера:2 + 4r 2r∆== (2 + 4r ) ⋅ (4 + r ) − 4r 2 = 8 + 16r + 2r + 4r 2 − 4r 2 = 18r + 82r4+rПример выполнения этапа №2, 2010 г.Лунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)∆1 =∆2 =2 − 2r2r6−r4+r2 + 4r 2 − 2r2r6−rстр.9= (2 − 2r ) ⋅ (4 + r ) − 2r (6 − r ) = 8 − 8r + 2r − 2r 2 − 12r + 2r 2 = −18r + 8= (2 + 4r) ⋅ (6 − r) − 2r(2 − 2r) = 12 + 24r − 2r − 4r 2 − 4r + 4r 2 = 18r + 12− 18r + 8,18r + 8Тогда- стационарная точка штрафной функции.18r + 12*x 2 (r ) =18r + 8*x1 ( r ) =Найдем координаты условного экстремума исходной задачи как предел решения задачипоиска безусловного экстремума штрафной функции:− 18r + 8*= −1,x1 = limr →∞ 18r + 8*18r + 12*=1x 2 = limr →∞ 18r + 8TПолучена точка X = ( −1, 1) - точка условного экстремума исходной задачи. 2 + 4r 2r 4 + r  2rЗапишем матрицу Гессе для штрафной функции: H( X, r ) = ∆1 = 2 + 4r > 0 при r > 0∆ 2 = (2 + 4r )(4 + r ) − 4r 2 = 8 + 16r + 2r + 4r 2 − 4r 2 = 8 + 18r > 0 при r > 0Следовательно, по критерию Сильвестра, достаточные условия минимума функцииF(X, r ) выполняются, и значит полученная точка X* = (−1, 1)T – точка условноголокального минимума функции f ( X) .*Запишем оценку λ 1 : − 18r + 8 18r + 12  − 36r + 16 + 18r + 12 + 18r + 8 *λ1 = lim r ⋅  2 ⋅++ 1 = lim r ⋅ =r →∞ 18r + 818r + 818r + 8 r →∞  36 = lim r ⋅ =2r →∞  18r + 8 Внимание !В случае поиска условного максимума,*используют формулу: λ j = − lim r ⋅ ϕ j (X * ( r ))r →∞Ответ: функции f (X ) при ограничении 2 x1 + x 2 = −1 имеет условный*Tминимум в точке с координатами X = ( −1, 1) .Пример выполнения этапа №2, 2010 г.локальный.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы