RulTO-6 (1013563)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лунева С.Ю. Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.1Этап №6Тема: Интерполяция и аппроксимация функций заданных табличноДано:xy = f (x )112103241а) Построить интерполяционный полином Лагранжа для заданной функцииДля заданной табличной функции:xy = f (x )x0y0x1y1x2y2……x n −1y n −1xnynполином Лагранжа L n ( x ) записывается следующим образом:n( x − x 0 )( x − x 1 )...( x − x i−1 )( x − x i+1 )...( x − x n )yi−−−−−(xx)(xx)...(xx)(xx)...(xx)i =0i0i1ii −1ii +1inL n (x) = ∑Решение:(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x −1)(x − 3)(x − 4)(x −1)(x − 2)(x − 4)⋅2 +⋅1 +⋅10 +(1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)(2 −1)(2 − 3)(2 − 4)(3 −1)(3 − 2)(3 − 4)(x −1)(x − 2)(x − 3)+⋅1(4 −1)(4 − 2)(4 − 3)L(x) =Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:x3 − 9x 2 + 26x − 24 x3 − 8x 2 +19x −12x3 − 7x 2 +14x − 8+⋅10 +⋅2 +−62−2x3 − 6x 2 +11x − 6+6L(x) =L(x) = 4x 3 − 32.5x 2 + 78.5x − 49Проверка:L(1) = 4 ⋅13 − 32.5 ⋅12 + 78.5 ⋅1 − 49 = 1L(2) = 4 ⋅ 23 − 32.5 ⋅ 2 2 + 78.5 ⋅ 2 − 49 = 10L(3) = 4 ⋅ 33 − 32.5 ⋅ 32 + 78.5 ⋅ 3 − 49 = 2L(4) = 4 ⋅ 43 − 32.5 ⋅ 4 2 + 78.5 ⋅ 4 − 49 = 1Пример выполнения этапа №6, 2010 г.Лунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.2б) Построить интерполяционную формулу НьютонаДлязаданнойтабличнойфункциисравноотстоящимиузламиинтерполяцииx 0 , x 1 , x 2 ...., x n :x0y0xy = f (x )x1y1……x2y2x n −1y n −1xnynполином Ньютона Pn ( x ) записывается следующим образом:∆y 0∆2 y 0∆3 y 0Pn ( x ) = y 0 +(x − x 0 ) +( x − x 0 )( x − x 1 ) +( x − x 0 )( x − x 1 )( x − x 2 ) +........h2!h 23!h 3......+∆n y 0n!h n( x − x 0 )( x − x 1 )( x − x 2 )....( x − x n −1 )2322где h = x 1 − x 0 - шаг по сетке, а ∆y 0 = y1 − y 0 , ∆ y 0 = ∆y1 − ∆y 0 , ∆ y 0 = ∆ y1 − ∆ y 0и.т.д. – конечные разности, соответствующих порядков.Решение:Построим таблицу конечных разностей, пользуясь формулами:∆y 0 = y1 − y 0∆2 y 0 = ∆y1 − ∆y 0∆y1 = y 2 − y1∆y 2 = y 3 − y 2∆2 y1 = ∆y 2 − ∆y1№точки0123y = f (x )∆y∆2 y∆3 y110219-8-1-17724∆3 y 0 = ∆2 y1 − ∆2 y 0Пользуясь таблицей, запишем интерполяционную формулу Ньютона:∆y 0∆2 y 0∆2 y 0P(x) = 0+(x − x 0 ) + 2 (x − x 0 )(x − x1 ) + 3 (x − x 0 )(x − x1 )(x − x 2 ) ,h ⋅ 1!h ⋅ 0!h ⋅ 2!h ⋅ 3!y0гдеh = x1 − x 0 = 1P(x) =19− 1724+(x − 1) + 2 (x − 1)(x − 2) + 3 (x − 1)(x − 2)(x − 3)1 ⋅ 0! 1 ⋅ 1!1 ⋅ 2!1 ⋅ 3!0Пример выполнения этапа №6, 2010 г.Лунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.3Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:P( x ) = 1 + 9( x − 1) − 8.5( x 2 − 3x + 2) + 4( x 3 − 6 x 2 + 11x − 6)P(x) = 4x 3 − 32.5x 2 + 78.5x − 49Проверка:P(1) = 4 ⋅13 − 32.5 ⋅12 + 78.5 ⋅1 − 49 = 1P(2) = 4 ⋅ 23 − 32.5 ⋅ 22 + 78.5 ⋅ 2 − 49 = 10P(3) = 4 ⋅ 33 − 32.5 ⋅ 32 + 78.5 ⋅ 3 − 49 = 2P(4) = 4 ⋅ 43 − 32.5 ⋅ 42 + 78.5 ⋅ 4 − 49 = 1Внимание !В случае равноотстоящих узлов интерполяции интерполяционные полиномыЛагранжа и Ньютона совпадают!Пример выполнения этапа №6, 2010 г.Лунева С.Ю. Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.4в) Аппроксимировать функцию полиномами 1-го и 2-го порядка по методунаименьших квадратовБудем искать аппроксимирующий полином 2-го порядка в виде:g 2 (x ) = a 2 x 2 + a1x + a 0Неизвестные коэффициентыалгебраических уравнений:a 0 , a1 , a 2определяютсяизсистемылинейныхs 0 a 0 + s1a 1 + s 2 a 2 = t 0s1a 0 + s 2 a 1 + s 3a 2 = t 1s a + s a + s a = t2 2 0 3 1 4 2Соответственно аппроксимирующий полином 1-го порядка будем искать в виде:g1 ( x ) = a 1 x + a 0Неизвестные коэффициенты a 0 , a 1 определяются из системы линейных алгебраическихуравнений:s 0 a 0 + s1a 1 = t 0s1a 0 + s 2 a 1 = t 1Параметры системы определяются формулами:s 0 = x 00 + x 10 + x 02 + x 30s1 = x 10 + x 11 + x 12 + x 13s 2 = x 02 + x 12 + x 22 + x 32s 3 = x 30 + x 13 + x 32 + x 33s 4 = x 04 + x 14 + x 42 + x 34t 0 = y 0 + y1 + y 2 ⋅ + y 3t 1 = y 0 ⋅ x 0 + y1 ⋅ x 1 + y 2 ⋅ x 2 + y 3 ⋅ x 3t 2 = y 0 ⋅ x 02 + y1 ⋅ x 12 + y 2 ⋅ x 22 + y 3 ⋅ x 32Решение:Длясоставлениясистемдляопределенияаппроксимирующих полиномов составим таблицу:неизвестныхкоэффициентов№точкиx0x1x2x3x4yy⋅xy ⋅ x2012311111234149161827641168125611021120641401816s0s1s2s3s4t0t1t241030100354143175ΣПример выполнения этапа №6, 2010 г.Лунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.5Запишем систему для определения коэффициентов аппроксимирующего полинома 2-гопорядка:4a 0 + 10a 1 + 20a 2 = 1410a 0 + 30a 1 + 100a 2 = 3130a + 100a + 354a = 75012Найдем решение системы по правилу Крамера:41030∆ = 1030100 = 80 ,30 100 354141030∆1 = 3130100 = −560 ,41430∆ 2 = 1031100 = 936 ,75 100 35441014∆ 3 = 103031 = −20030 750 35430 100 75Тогда запишем значения коэффициентов:a0 =∆∆1 − 560∆936− 200== −7 , a 1 = 2 == 11.7 , a 2 = 3 == −2.5∆80∆80∆80g 2 (x) = −2.5x 2 + 11.7x − 7Найдём сумму квадратов отклонений найденного полинома от заданной табличнойфункции:S2 = [(−2.5 ⋅12 + 11.7 ⋅1 − 7) − 1]2 + [(−2.5 ⋅ 22 + 11.7 ⋅ 2 − 7) − 10]2 + [(−2.5 ⋅ 32 + 11.7 ⋅ 3 − 7) − 2]2 ++ [(−2.5 ⋅ 4 2 + 11.7 ⋅ 4 − 7) − 1]2 = (2.2 − 1) 2 + (6.4 − 10) 2 + (5.6 − 2) 2 + (−0.2 − 1) 2 = 28.8Аналогично, запишем систему для определения коэффициентов аппроксимирующегополинома 1-го порядка:4a 0 + 10a 1 = 1410a 0 + 30a 1 = 31Найдем решение системы по правилу Крамера:∆=41010 30= 20 ,∆1 =14 1031 30= 110 ,∆2 =41410 31= −16 ,Пример выполнения этапа №6, 2010 г.Лунева С.Ю.

Методические указания к РГР и КР по ТО (ТО и ЧМ)стр.6Тогда запишем значения коэффициентов:a0 =∆1 110∆− 16== 5.5 , a 1 = 2 == −0.8∆20∆20g1 (x) = −0.8x + 5.5Найдём сумму квадратов отклонений найденного полинома от заданной табличнойфункции:S1 = [(−0.8 ⋅1 + 5.5) − 1]2 + [(−0.8 ⋅ 2 + 5.5) − 10]2 + [(−0.8 ⋅ 3 + 5.5) − 2]2 + [(−0.8 ⋅ 4 + 5.5) − 1]2 == (4.7 − 1) 2 + (3.9 − 10) 2 + (3.1 − 2) 2 + (2.3 − 1) 2 = 53.8На чертеже представлены интерполяционные полиномы Лагранжа L( x ) и Ньютона P( x ) ,а также аппроксимирующие полиномы g1 ( x ) и g 2 ( x ) .Пример выполнения этапа №6, 2010 г..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы