12 Задачи приближения функций. Методы интегрального сглаживания (1013417), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

 ( m ,  m ) am  ( f ,  m ) ,115bгде ( f ,  k )   f ( x)  k ( x) dx . Таким образом, получена система (m  1) линейныхaуравнений с (m  1) неизвестными a0 , a1 ,..., am . В силу равенства ( k , l )  (l ,  k )матрица( 0 , 1 ) .......... ( 0 ,  m )  ( 0 ,  0 )(1 , 1 ) .......... (1 ,  m )  (1 ,  0 )A .....................................................  ( ,  ) ( ,  ) ......... ( ,  ) m1mm  m 0системы является симметрической. Если базисные функции  0 , 1 ,...,  m линейнонезависимы, то определитель матрицы А не равен нулю (он называется определителемГрама). Тогда решение системы существует и единственно. Аналогичный выводможно сделать и о задаче определения обобщенного многочлена.ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙВ качестве базисных функций используем степенные:  j ( x )  x j , j  0, m .

Вэтом случае обобщенный многочлен имеет видf m ( x, a ) majxj a 0  a1 x  ...  a m x m .j 0bТогда ( f ,  j )  f ( x) xbjdx , ( k ,  l )  xak lbdx , ( k ,  k )  x 2 k dx и системаaaимеет видbbb 2 b m  1 dx  a 0   x dx  a1   x dx  a 2  ...   x dx  a m aaaab f ( x) dx ,abb 2 b 3  b m 1  x dx  a 0   x dx  a1   x dx  a 2  ...   x dx  a m aaaaba f ( x) x dx ,.............................................................................................b m  b m1  b m 2  b 2m  x dx  a 0   xdx  a1   x dx  a 2  ...   x dx  a m aaaaОбозначимbs0  b  a ,sk x k dx , k  1,...,2m ;abt0  f ( x) dx ,abtk  f ( x) xa116kdx , k  1,..., m .b f ( x) xamdx .Тогда полученная система преобразуется к видуs 0 a0  s1a1  ...  s m am  t 0 ,s1a0  s 2a1  ...

 s m 1am  t1 ,(5.6)s m a0  s m 1a1  ...  s 2m am  t m .Решая систему линейных алгебраических уравнений, находим неизвестныекоэффициенты a0 , a1 ,..., am .Методика решения задачи аппроксимацииШаг 1. Вычислить коэффициенты s k , k  0,2m; t k , k  0, m , по заданнойфункции и записать систему (5.6).Шаг 2. Решить полученную систему одним из методов решения СЛАУ и найтикоэффициенты a0 , a1 ,..., am .Шаг 3.

Записать искомую функцию f m ( x, a )  a 0  a1 x  ...  a m x m .З а м е ч а н и я.1. К недостаткам описанного метода относится необходимость вычисленияопределенных интегралов, которые могут быть весьма сложными. Для их нахождениячасто используются методы численного интегрирования.2. Реализация интегрального метода наименьших квадратов с использованиемстепенных функций связана с решением системы линейных алгебраических уравненийотносительно неопределенных коэффициентов.

Этот недостаток устраняется выборомортогональных базисных функций  j (x ) .ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙПри нахождении коэффициентов обобщенного многочлена с помощьюортогональных базисных функций нет необходимости решать систему (5.6).Функции  k (x ) и l ( x ) называются ортогональными на отрезке [a, b] , если ихbскалярное произведение равно нулю: ( k ,  l )   k ( x)   l ( x) dx  0,k l.aСистема функцийj ( x) , j  0,1,..., m , называется ортогональной на отрезке[a, b] , если все функции этой системы попарно ортогональны на этом отрезке.

Приbэтом ( k ,  k )   k ( x)   k ( x) dx  0 .aТак, если в обобщенном многочленеf m ( x, a )  Q m ( x)  a 0  0 ( x)  a1 1 ( x)  ...  a m  m ( x)система базисных функций ортогональная, то система (5.6) перепишется в виде117( 0 ,  0 ) a0  ( f ,  0 ) ,(1 , 1 ) a1  ( f , 1 ) ,.............................( m ,  m ) am  ( f ,  m ) ,т.е. все недиагональные элементы в матрице системы становятся равными нулю.Следовательно, коэффициенты обобщенного многочлена находятся по формулеbaj ( f , j )( j ,  j )( f , j )j2f ( x)   j ( x) dxabj  0,1,..., m .,  j ( x) dx2aКоэффициенты обобщенного многочлена называются коэффициентами Фурьефункции y  f ( x) относительно ортогональной на отрезке [a, b] системы функций.ПРИМЕНЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛПодбирается одна из двухпараметрических формул:f ( x, a 0 , a1 )  a 0 f ( x, a 0 , a1 )  a 0 a1x ;a1xf ( x, a 0 , a1 ) ;1x; f ( x, a 0 , a1 ) ;a 0  a1 xa 0  a1 xf ( x, a 0 , a1 )  a 0 e a1x ;f ( x, a 0 , a1 )  a 0  a1 ln x ;f ( x, a 0 , a1 ) f ( x, a 0 , a1 ) a0a1  x,1a 0  a1e  xf ( x, a 0 , a1 ) a0 xa1  x;, ....,где a0 , a1 – неизвестные коэффициенты.Требуется найти коэффициенты a0 , a1 , обеспечивающие минимум погрешностиаппроксимации на основе метода наименьших квадратов:b  f ( x, a0 , a1 ) af ( x)  dx  min .2a 0 ,a1Для нахождения коэффициентов a0 , a1 применяются необходимые условияэкстремума: 0, 0 .

В отличие от применения степенных функций,a0a1нахождение неизвестных коэффициентов сводится к решению двух нелинейныхуравнений.118.

Характеристики

Список файлов лекций