9 Численные методы решения нелинейных уравнений (1013412), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Отрезок a0 , b0  называется начальным интерваломнеопределенности, потому что известно, что корень ему принадлежит, но его местоположение с требуемой точностью не определено.95Процедура уточнения положения корня заключается в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков, каждый из которых содержит корень уравнения.a  bkДля этого находится середина текущего интервала неопределенности ck  k,2k  0,1,... , и в качестве следующего интервала неопределенности из двух возможных выбирается тот, на концах которого функция f ( x ) имеет разные знаки (рис. 7).Процесс завершается, когда длина текущего интервала неопределенности становится меньше заданной величины  , задающей точность нахождения корня.

В качествеприближенного значения корня берется середина последнего интервала неопределенности.yy  f (x )a0c10xL3L1c0b0xL2L0Рис. 7Д. МЕТОД ХОРДЭтот метод при тех же предположениях обеспечивает более быстрое нахождениекорня, чем метод половинного деления. Для этого отрезок a , b  делится не пополам, а вотношении f (a) : f (b ) .Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой y  f ( x ) хордой, проходящей через точки a, f a  и b, f b  (рис. 8).x ay  f a Уравнение хорды AB имеет вид. Полагая x  x (1) и y  0,b af b   f a f a b  a  .получаем x (1)  a f b   f a Предположим, что вторая производная f x  сохраняет постоянный знак, и рассмотрим два случая: f a   0, f x   0 (рис.

9,а) и f a   0, f x   0 (рис. 9,б). Случай f x   0 сводится к рассматриваемому, если уравнение записать в форме: f x   0.96Первому случаю (см. рис. 9,а) соответствует формулаx ( 0 )  b,x(k 1)x(k )  xf x   f a f x (k )(k )(k )a ,(I)k  0,1,...,а второму случаю (см. рис. 9,б) :x (0)  a,   b  x ,f b   f x f x (k )x (k 1)  x (k ) (k )(k )(II)k  0,1,...В первом случае остается неподвижным конец a , а во втором случае - конец b .yBaf (b )y  f (x )x (1)0xbxAf (a)Рис. 8yx(2)0af (b )yf (a)x(1) x(0)xxby  f (x )f (b )аx(0) x(1)0 af (a)x(2)xbxy  f (x )бРис.

9З а м е ч а н и е. Для выявления неподвижного конца используется условиеf ( x )  f (t )  0 , где t  a или t  b . Если неподвижен конец а, применяется формула (I),а если конец b , – формула (II).97.

Характеристики

Список файлов лекций