3. Необходимые и достаточные условия условного экстремума. Численные методы поиска условного экстремума (1013383), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Поделив уравнения приведенной в п.2 системы на  0 изаменив 1 на 1 , 2 на  2 , 3 на  3 , получим:000 L  x,   L x ,  а) 2 x1  21 x1   2  0 , 2 ( x 2  2)  2  1 x 2   3  0 ; x2 x1б) x12  x 22  1  0 ,  x1  0 ,  x 2  0 ;в) 1  0 ,  2  0 ,  3  0 ;г)  1 ( x12  x 22  1)  0 ,  2 ( x1 )  0 ,  3 ( x 2 )  0 .Рассмотрим восемь вариантов выполнения условий дополняющей нежесткости:1) 1  0 ,  2  0 ,  3  0 , тогда x1  0, x 2  2 и не выполняется первоеограничение в условии «б»;2) 1  0 ,  2  0 ,  3  0 , тогдаx12  x 22  1  0 ,2 x1 1  1   0 ,2 x 2  2  21 x 2  0 .Если 1  1 , то третье уравнение не удовлетворяется.

Если x1  0 , то x 2  1 .Ограничениям в условии «б» удовлетворяет x 2  1 , при этом 1  1 . Получили условно-стационарную точку А: x1  0, x 2  1, 1  1, 2  0, 3  0 ;3) 1  0 ,  2  0 ,  3  0 , тогдаx1  0 ,2 x1   2  0 ,2 x 2  2   0 .Получаем  2  2 x1  0 , что противоречит условию  2  0 ;4) 1  0 ,  2  0 ,  3  0 , тогдаx2  0 ,2 x1  0 ,2 x 2  2   3  0 .Получаем  3   4  0 , что противоречит условию «в»;5) 1  0 ,  2  0 ,  3  0 , тогдаx12  x 22  1  0 ,x1  0 ,2 x1  21x1   2  0 ,1582 x 2  2  21 x 2  0 .Из третьего соотношения следует, что  2  0 , т.е. имеется противоречие;6) 1  0 ,  2  0 ,  3  0 , тогдаx12  x 22  1  0 ,x2  0 ,2 x1  21x1  0 ,2  x 2  2   2 1 x 2   3  0 .Из последнего соотношения следует, что  3   4  0 . Это противоречит условию «в»;7) 1  0 ,  2  0 ,  3  0 , тогдаx1  x 2  0 ,2 x1   2  0 ,2 x 2  2   3  0 .Из второго соотношения следует, что  2  0 .

Это противоречит условию  2  0 ;8) 1  0 ,  2  0 ,  3  0 , тогда x12  x 22  1  0 . Из условия «г» следует, чтоx1  0, x 2  0 . Эта система несовместна.x2f ( x)  121g1 ( x)  0Ag 3 ( x)   x 2  01g 2 ( x)   x1  0x1Рис. 34. Проверим выполнение достаточных условий минимума. В точке А имеются дваактивных ограничения, т.е. l  2  n  2 (рис. 3). Так как 1  1  0, 2  0 , тодостаточные условия минимума первого порядка не выполняются ввиду того, чтотребуется строгая положительность соответствующих множителей Лагранжа. Проверимусловия второго порядка: d 2 L  A   (2  2 1 ) dx12  (2  2 1 ) dx 22 .

Поскольку в точке дваактивных ограничения и для одного из них 1  0 , а для другого 2  0 , то применимусловия:dg 1  A   2 x1 dx1  2 x 2 dx 2  2dx 2  0, 1  0 ;dg 2  A    dx1  0,1592  0 .В результате d 2 L A   4dx12  0 при dx1  0 и dx1  0 . Поэтому в точке А – локальныйусловный минимум. С другой стороны, целевая функция и множество допустимыхрешений выпуклые.

Поэтому в точке А достигается глобальный минимум.5. Вычислим значение функции в точке глобального минимума: f  A   1 . В. СМЕШАННЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯПостановка задачиДаны дважды непрерывно дифференцируемые целевая функция f (x)  f  x1,, xn и функции ограничений типа равенств и неравенств: g j ( x)  0 , j  1,  , m ; g j ( x)  0 ,j  m  1,  , p , определяющие множество допустимых решений X .Требуется исследовать функцию f ( x) на экстремум, т.е. определить точки x   Xее локальных минимумов и максимумов на множестве X :f ( x  )  min f  x  ;xX g j ( x)  0, j  1, , m; m  nгде X   xg j ( x)  0, j  m  1, , pf ( x  )  max f ( x) ,xX.Алгоритм решения задачиШаг 1. Составить обобщенную функцию Лагранжа:pL  x,  0 ,     0 f ( x )    j g j ( x ) .j 1Шаг 2.

Записать необходимые условия минимума (максимума) первого порядка: L( x  ,  0 ,   ) 0,i  1, , n ;а) xiб) g j ( x  )  0 , j  1,  , m ; g j ( x  )  0 , j  m  1,  , p ;в) j  0 , j  m  1,  , p (для минимума),j  0 , j  m  1,  , p (для максимума);г)  j g j ( x  )  0 , j  m  1,  , p .Шаг 3. Решить систему для двух случаев:Первый случай: 0  0 .Второй случай: 0  0заменитьj0(приэтом поделить условия «а», «в», «г» на0 ина j ).В результате найти условно-стационарные точки x  , выделив из них полученныепри 0  0 (они могут быть регулярными точками экстремума).

В каждом из двух160случаев следует начинать с рассмотрения 2 p  m вариантов удовлетворения условия «г»дополняющей нежесткости.Шаг 4. Для выделенных на шаге 3 точек проверить выполнение достаточныхусловий экстремума первого или второго порядка.Для проверки достаточных условий первого порядка следует:а) определить число l ограничений-равенств и активных ограничений-неравенств;б) если l  n и j  0 для всех j  J a , т.е. для всех активных ограниченийнеравенств, то в точке x  – локальный минимум. Если l  n и j  0 для всехj  J a , то в точке x  – локальный максимум.

Если l  n или соответствующиемножители Лагранжа не удовлетворяют достаточным условиям первогопорядка, проверить достаточные условия второго порядка.Для проверки достаточных условий второго порядка следует:а) записать выражение для второго дифференциала классической функцииnnЛагранжа в точке ( x  ,   ) : d 2 L( x  ,   )   i 1 j 1 2 L( x  ,   )dx i dx j ;x i x jб) записать условия, накладываемые на первые дифференциалы ограниченийравенств и активных в точке x  ограничений-неравенств:n  g (x )jdg j ( x )  dx i  0 , j  1,  , m и j  J a ; j  0 ( j  0 ); xii 1n g j (x )i 1 xidg j ( x )  dx i  0 , j  J a , j  0 ;в) исследовать знак второго дифференциала функции Лагранжа для ненулевых dx ,удовлетворяющих системе из п.б.

Если d 2 L( x  ,   )  0 , то в точке x  –условныйлокальный минимум. Если d 2 L( x  ,   )  0 , то в точке x  –условный локальный максимум. Если достаточные условия экстремума невыполняются, следует проверить выполнение необходимых условий второгопорядка (см. утверждение 3.10 – лекция 2), следуя аналогичной процедуре. Еслиони выполняются, то требуетсядополнительное исследование, а если нет, тов точке x  нет условного экстремума.Шаг 5. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.Пример 3.

Найти условный экстремум в задачеf ( x)  x1  x 22  extr ,g1 ( x)  x1  x 2  1  0 ,g 2 ( x)  x12  x 22  5  0 . 1. Составим обобщенную функцию Лагранжа:L  x,  0 ,     0 ( x1  x 22 )   1 (x1  x 2  1)   2 ( x12  x 22  5) .2. Выпишем необходимые условия минимума и максимума первого порядка: L x ,  0 ,   L x ,  0 ,  а)  0  1  2 2 x1  0 , 2 0 x 2  1  2 2 x 2  0 ; x1 x2161б) x1  x 2  1  0 , x12  x 22  5  0 ;в)  2  0 (для минимума),  2  0 (для максимума);г)  2 ( x12  x 22  5)  0 .3. Решим систему для двух случаев.Первый случай:  0  0 , тогда условие «а» имеет вид1  2 2 x1  0, 1  2 2 x 2  0 .Рассмотрим два варианта удовлетворения условия «г»:1)  2  0 , тогда 1  0 и не удовлетворяется условие утверждения 3.8;2)  2  0 , тогда система уравненийx12  x 22  5  0,x1  x 2  1  0удовлетворяется в двух точках: x1  2, x 2  1; x1  1, x 2  2 .

Складывая двауравнения в условии «а», получаем 2 2 ( x1  x 2 )  0 . Так как  2  0 , то x1   x 2 , что неудовлетворяется в обеих найденных точках.Второй случай:  0  0 . Поделив уравнения приведенной в п.2 системы на  0 изаменив 1 на 1 , 2 на  2 , запишем условие «a» в виде00 L x ,   L x ,   1  1  2 2 x1  0 , 2 x 2  1  2 2 x 2  0 . x1 x2Остальные условия сохраняют вид.Рассмотрим два варианта удовлетворения условия «г»:1)  2  0 , тогда1  1  0,2 x 2  1  0,x1  x 2  1  0 .31Отсюда имеем 1  1, x 2  , x1  . В результате получили условно-стационарную2231точку А: x1  , x 2  , 1  1, 2  0 , в которой удовлетворяется необходимое22условие и минимума, и максимума;2)  2  0 , тогдаx12  x 22  5  0,x1  x 2  1  0,1  1  2 2 x1  0,2 x 2   1  2  2 x 2  0 .Получаем еще две условно-стационарные точки:5152В : x1  2, x 2  1, 1   , 2   0 ; С : x1  1, x 2  2, 1  , 2   0 ,3636в которых удовлетворяются необходимые условия минимума.4.

Проверим выполнение достаточных условий экстремума первого порядка.162В точке А ограничение-неравенство не является активным, поэтому l  1  n  2 иусловия не выполняются. В точках В и С ограничение-неравенство активное, поэтомуl  n  2 . В обеих точках 2  0 , поэтому в них достигается условный локальныйминимум.Проверим достаточные условия экстремума второго порядка из методическихсоображений (в точке А это требуется обязательно).В точке А ограничение-неравенство не является активным:d 2 L  A   22 dx12  22  2 dx 22  2dx 22 ,dg 1  A   dx1  dx 2  0 .Отсюда имеем: dx1  dx 2 и d 2 L  A   2dx12  0 при dx1  0 .

Поэтому в точке А –локальный условный максимум.В точках B и C ограничение-неравенство активно.15d 2 L B   dx12  dx 22 ,33Исследуем точку В : dg1 B   dx1  dx 2  0,dg 2 B   2 x1 dx1  2 x 2 dx 2  4dx1  2dx 2  0 .Отсюда следует, что dx1  dx 2  0 и d 2 L B   0 , поэтому требуется дополнительноеисследование.51d 2 L  C   dx12  dx 22 ,33Исследуем точку С:dg1  C   dx1  dx 2  0,dg 2  C   2dx1  4dx 2  0.Отсюда имеем: dx1  dx 2  0 и d 2 L q   0 . Требуется дополнительное исследование.Из рис. 4 следует, что в точке В – условный локальный минимум, а в точке С –условный глобальный минимум.55.

Характеристики

Список файлов лекций