УМК (1013374), страница 39

Файл №1013374 УМК (Учебно-методический комплекс) 39 страницаУМК (1013374) страница 392017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

5.244Δ3 f 03!q ⋅ (q − 1) ⋅ (q − 2) ,Таблица 5xif i = f (xi )27354857Δf j−2Δ2 f jΔ3 f j53−4−9−1Имеем: Δ f 0 = 5 − 7 = −2 ; Δ f1 = 8 − 5 = 3 ; Δ f 2 = 7 − 8 = −1 ;Δ2 f 0 = 3 − (−2) = 5 ;Δ2 f1 = −1 − 3 = − 4 ; Δ3 f 0 = − 4 − 5 = − 9 . ПоэтомуN 3(I ) (x ) = 7 +=−5(−2)3(−9)15q + q ⋅ (q − 1) +q ⋅ (q − 1) ⋅ (q − 2) = − q 3 + 7q 2 − q + 71!2!3!22q=x −21=3153107⋅ ( x 3 − 6x 2 + 12x − 8) + 7 ⋅ ( x 2 − 4 x + 4) −⋅ ( x − 2) + 7 = − x 3 + 16x 2 −x + 62.2222Часть II.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯТОЧЕЧНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВМетодика решения задачи сглаживанияШаг 1. Записать систему:s 0 a0 + s1a1 + ... + s m am = t 0 ,s1a0 + s 2a1 + ... + s m +1am = t1 ,#s m a0 + s m +1a1 + ... + s 2m am = t m .гдеs 0 = n + 1 , t 0 = f 0 + f1 + ... + f n ,s k = x 0k + x1k + ... + x nk , k = 1,...,2m ;t k = x 0k f 0 + x1k f1 + ... + x nk f n , k = 1,..., m .Шаг 2. Решить полученную систему одним из методов решения СЛАУ и найтикоэффициенты a0 , a1 ,..., am .Шаг 3.

Записать искомую сглаживающую функциюf m ( x, a ) = a 0 + a1 x + ... + a m x m .245(*)Пример 2. Решить задачу аппроксимации сеточной функции, заданной табл. 6,при m = 1 и m = 2 .ixif (xi ) = f i027135248Таблица 6357† Пусть степень многочлена m = 1 , тогда решение ищется в видеf 1 ( x, a ) = a 0 + a1 x .1.

Для составления системы (*):s 0 a0 + s1a1 = t 0 ,s1a0 + s 2a1 = t1найдем ее коэффициенты s 0 , s1 , s 2 . Расчеты поместим в табл. 7, где в последней числовой строке находятся коэффициенты системы.Таблица 7xifi1xi2xi f i234514s1758727t011114s049162554s21415323596t1В результате получаем4a0 + 14a1 = 27 ,14a0 + 54a1 = 96 .2. Решение системы: a0 = 5,7 ; a1 = 0,3 .3. Искомая сглаживающая функция имеет видквадратичная погрешность δ1 (a ) = 1,0368 .f 1 ( x, a ) = 5, 7 + 0,3x , а средне-Пусть m = 2 , тогда решение ищется в видеf 2 ( x, a ) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 .1. Составим систему (*):s 0 a0 + s1a1 + s 2a2 = t 0 ,s1a0 + s 2a1 + s 3a2 = t1 ,s 2a0 + s 3a1 + s 4 a2 = t 2 .246Расчеты коэффициентов системы приведены в табл.

8.Таблица 8xifi1xi2xi3xi4xi f ix i2 f i234514s1758727t011114s049162554s282764125224s31681256625978s41415323596t12845128175376t2В результате получаем систему4a0 + 14a1 + 54a2 = 27 ,14a0 + 54a1 + 224a2 = 96 ,54a0 + 224a1 + 978a2 = 376 .yf 2 ( x, a ) =10169 291−x + x220 2049f 1 ( x, a ) = 5, 7 + 0,3x87654N 3 ( x ) = L3 ( x )321012345Рис. 12476789x2. Решаем полученную систему методом Гаусса.Прямой ход:2727 ⎞⎛1 7⎛1 7⎛ 4 14 54 27 ⎞2242⎟⎜⎜⎜⎟⎟⎜⎜0105351,5→145422496→⎜⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎜ 54 224 978 376 ⎟⎝⎠⎝0 0⎝ 0 35 249 11,5 ⎠27274⎞⎛1 72⎟⎜0,3 ⎟ → ⎜ 0 1⎟⎜⎜1 ⎟⎠⎝0 027427271⎞⎟0,3 ⎟ .1 ⎟⎟4 ⎠274Обратный ход:⎛1 72⎜⎜0 1⎜⎜⎝0 0Отсюда27 ⎞2 ⎟⎞⎛ a0 ⎞ ⎛⎜ 274 ⎟⎜ ⎟7 ⎟ ⋅ ⎜ a1 ⎟ = ⎜ 0,3 ⎟ или⎟⎜ ⎟1 ⎟⎠ ⎜⎝ a2 ⎟⎠ ⎜⎝ 14 ⎟⎠a0 + 72 a1 +272a2 =27 ,4a1 + 7a2 = 0,3 ,a2 =14.a2 =1,4a0 =1692927 27727 27 1 7−a2 − a1 =−⋅ − ⋅ (− ) =.202044244 4 2a1 =1293−7⋅ = −,420103.

Искомая сглаживающая функция f 2 ( x, a ) =тичная погрешность δ 2 (a ) = 1,0062 .169 291−x + x 2 , а среднеквадра20 204На рис. 1 изображены заданная сеточная функция, сглаживающие многочленыпри m = 1 и m = 2 , а также интерполяционный многочлен (при этом m = 3 ).Заметим, что если степень многочлена m = 0 , то решение ищется в видеf 0 ( x, a ) = a 0 .Для составления уравнения s 0a0 = t 0 , следующего из (*), используем коэффи27= 6,75 . Искомаяциенты s 0 , t 0 (табл. 8). В результате получим 4a0 = 27 , или a0 =4сглаживающая функция имеет вид f 0 ( x, a ) = 6, 75 , а среднеквадратическая погрешность δ 0 (a ) = 1, 0897 .

При увеличении числа m среднеквадратичная погрешностьуменьшается: δ 0 (a ) > δ1 (a ) > δ 2 (a ) . При m = 3 среднеквадратичная погрешностьδ 3 (a ) равна нулю, так как многочлен проходит через все заданные точки. „248Занятие 13.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙПример 1. Приближенно решить задачу Кошиy ′ = −2 y − 3 x + 2 , y (0) = 0на отрезке [0; 1] с шагом h = 0,1 различными методами: Эйлера (явным и неявным),предсказания и коррекции второго порядка, Рунге–Кутты четвертого порядка иметодом трапеций.† Поскольку явный метод Эйлера и метод Рунге–Кутты четвертого порядкаотносятся к классу ограниченно устойчивых, то для них требуется определитьвеличины критического шага. Сравнивая данное уравнение с тестовым примером,2заметим, что μ = −2 . Тогда для явного метода Эйлера hкр = − = 1 , а для методаμ2,78Рунге–Кутты hкр = −= 1,39 .

Следовательно, интегрирование с шагом h = 0,1 < hкрμобеспечивает устойчивость этих методов.Явный метод Эйлера. Из общей формулыyˆi +1 = yˆi + hi +1 f ( x i , yˆi ) ,i = 0, n − 1 , yˆ0 = y 0 ;получаем расчетную формулу явного метода Эйлера:yˆi +1 = yˆi + 0,1 ⋅ (−2 yˆi − 3 x i + 2) , ŷ 0 = 0 , i = 0,9 .Метод предсказания и коррекции второго порядка.Шаг «предиктор»:yˆi(+П1) = yˆi + hi +1 f ( x i , yˆi ) ;Шаг «корректор»:)ˆi +yˆ i +1 ≡ yˆ i(К+1 = yhi +1[ f ( x i , yˆ i ) + f ( x i + hi +1 , yˆ i(П)+1 )] .2Отсюда следуют расчетные формулы метода предсказания и коррекции:yˆi(+П)1 = yˆi + 0,1 ⋅ (−2 yˆi − 3 x i + 2) , ŷ 0 = 0 , i = 0,9 ;0,1yˆi +1 = yˆi +(−2 yˆi − 3x i + 2 − 2 yˆi(+П)1 − 3x i +1 + 2) ; ŷ 0 = 0 , i = 0,9 .2Метод Рунге–Кутты.

Из общей формулыyˆi +1 = yˆi +hi +16(K 1,i + 2K 2,i + 2K 3,i + K 4,i ),249yˆ0 = y 0 , i = 0, n − 1 ,гдеhh⎛⎞K 2,i = f ⎜⎜ x i + i +1 , yˆi + i +1 K 1,i ⎟⎟ ,22⎝⎠hh⎛⎞= f ⎜⎜ x i + i +1 , yˆi + i +1 K 2,i ⎟⎟ , K 4,i = f x i + hi +1 , yˆi + hi +1 ⋅ K 3,i ,22⎝⎠K 1,i = f i = f ( x i , yˆi ),K 3,i()следуют формулы метода Рунге–Кутты четвертого порядка:0,1yˆi +1 = yˆi +(K 1,i + 2K 2,i + 2K 3,i + K 4,i ) ,6K 1,i = −2 yˆi − 3 x i + 2 ,K 2,i = −2 ⋅ ( yˆi + 0,05 ⋅ K 1,i ) − 3 ⋅ ( x i + 0,05) + 2 ;K 3,i = −2 ⋅ (yˆi + 0,05 ⋅ K 2,i ) − 3 ⋅ (xi + 0,05) + 2 ; K 4,i = −2 ⋅ ( xi + 0,1 ⋅ K 3,i ) − 3 ⋅ (xi + 0,1) + 2 .Неявный метод Эйлера. Из общей формулыyˆi +1 = yˆi + hi +1 f ( x i +1 , yˆi +1 ) ≡ Φ( x i , x i +1 , yˆi +1 ) , i = 0, n − 1 ,получаем расчетную формулу неявного метода Эйлера:yˆi +1 = yˆi + 0,1 ⋅ (−2 yˆi +1 − 3 x i +1 + 2) ,yˆi +1 =откудаМетод трапеций.yˆi − 0,3x i +1 + 0,2.1,2Из общей формулыyˆi +1 = yˆi +hi +12[ f i + f (xi +1 , yˆi +1 )] ≡ Φ(xi , xi +1 , yˆi +1 ) , i = 0, n − 1 ,получаем расчетную формулу метода трапеций:откуда0,1yˆi +1 = yˆi +⋅ (−2 yˆi − 3x i + 2 − 2 yˆi +1 − 3x i +1 + 2) ,2yˆi +1330,9 ⋅ yˆi − ⋅ 0,1 ⋅ x i + 2 ⋅ 0,1 − ⋅ 0,1 ⋅ x i +122.=1,1Очевидно, в данном примере удалось получить явные формулы для нахожденияŷ i +1 неявным методом Эйлера и методом трапеций лишь в силу линейностирешаемого уравнения.

В общем случае применяются методы простых итераций илиНьютона.Точное решение рассматриваемой задачи Коши: y( x ) = 1,75 − 1,5x − 1,75 e −2 x .Результаты расчетов приведены в табл. 1, в последней строке которой указаныфактические погрешности.Анализ результатов показывает, что при решении данной задачи методпредсказания и коррекции точнее явного и неявного методов Эйлера, но уступаетметоду Рунге–Кутты и совсем немного методу трапеций (порядок погрешностиодинаков).„250Таблица 1ЯвныйметодЭйлераНеявныйметодЭйлераМетодРунге–КуттыМетодпредсказанияи коррекцииМетодтрапецийy (x )0,00,0000,0000,0000,0000,0000,0000,10,2000,1420,1670,1650,1680,1670,20,3300,2380,2770,2730,2790,2770,30,4040,2870,3400,3350,3420,3400,40,4330,3060,3640,3590,3660,3640,50,4270,2970,3560,3510,3580,3560,60,3910,2640,3230,3180,3250,3230,70,3330,2120,2680,2640,2700,2680,80,2560,1430,1970,1920,1990,1970,90,1650,0610,1110,1070,1120,1111,00,062-0,0330,0130,0090,0150,013max εi0,0680,0590,00001040,0050,002xiПример 2.

Найти приближенное решение задачи Кошиy′ = z − 1 ,y (0) = 1 ,z ′ = − y − 2z , z (0) = −1на отрезке [0; 1] с шагом h = 0,1 методами Эйлера (неявным и модифицированным),Адамса–Бэшфорта третьего порядка и трапеций.† Путем прямой подстановки в систему легко убедиться в том, что точноерешение задачи имеет вид y ( x) = −2 + 3 e − x + x e − x ; z ( x) = 1 − 2 e − x − x e − x .Выписываем формулы для нахождения приближенного решения указаннымиметодами (при этом применяется векторная форма записи).Для неявного метода Эйлераyˆi +1 = yˆi + hi +1 f ( x i +1 , yˆi +1 ) ≡ Φ( x i , x i +1 , yˆi +1 ) , i = 0, n − 1 ,имеем⎛ yˆi +1 ⎞ ⎛ yˆi ⎞⎛⎜⎟ ⎜⎟⎜⎜ zˆ ⎟ = ⎜ z ⎟ + 0,1 ⋅ ⎜ −⎝ i +1 ⎠ ⎝ i ⎠⎝zˆi +1 − 1 ⎞ ⎛ yˆi + 0,1 ⋅ zˆi +1 − 0,1 ⎞⎟=⎜⎟,yˆi +1 − 2zˆi +1 ⎟⎠ ⎜⎝ zˆi − 0,1 ⋅ yˆi +1 − 0,2 ⋅ zˆi +1 ⎟⎠yˆ0 = y (0) = 1,zˆ0 = z (0) = −1.Разрешая эту систему относительно ŷi +1 , ẑ i +1 , окончательно получаемyˆi +1 =0,1 ⋅ (zˆi − 0,1 ⋅ yˆi + 0,001)− 0,1 ;1,21251zˆi +1 =zˆi − 0,1 ⋅ yˆi + 0,01.1,21Соотношенияyˆi+12= yˆi +hi +1f ( x i , yˆi ) ,2i = 0, n − 1 ,h⎛⎞yˆi +1 = yˆi + hi +1 f ⎜⎜ x i + i +1 , yˆi + 1 ⎟⎟ ,22 ⎠⎝i = 0, n − 1 ,для модифицированного метода Эйлера принимают вид0,10,1yˆ i + 1 = yˆ i +( zˆ i − 1); zˆ i + 1 = z i +(− yˆ i − 2 zˆ i );2222()yˆ i +1 = yˆ i + 0,1 ⋅ zˆ i + 1 − 1 ;2()zˆ i +1 = zˆ i + 0,1 ⋅ − yˆ i + 1 − 2 zˆ i + 1 .22Для метода Адамса–Бэшфорта третьего порядка изhyˆi +1 = yˆi +[23 f i − 16 f i −1 + 5 f i − 2 ] , i = 2, n − 1 ,12находим0,1[23 ⋅ ( zˆ i − 1) − 16 ⋅ ( zˆ i −1 − 1) + 5 ⋅ ( zˆ i −2 − 1)] ,120,1[23 ⋅ (− yˆ i − 2 zˆ i ) − 16 ⋅ ( − yˆ i −1 − 2 zˆ i −1 ) + 5 ⋅ (− yˆ i −2 − 2 zˆ i −2 )] .= zˆ i +12yˆ i +1 = yˆ i +zˆ i +1Для определения «разгонных» точек ( x 0 , yˆ0 , zˆ0 ), ( x1 , yˆ1 , zˆ1 ), ( x 2 , yˆ2 , zˆ2 ) воспользуемсямодифицированным методом Эйлера.

Точка ( x 0 , yˆ0 , zˆ0 ) определяется начальнымиусловиями (0; 1; − 1) .Выпишем соотношения для метода трапецийyˆi +1 = yˆi +hi +12[ f i + f (xi +1 , yˆi +1 )] ≡ Φ(xi , xi +1 , yˆi +1 ) , i = 0, n − 1 ,и разрешим их относительно неизвестных:⎛ yˆ i +1 ⎞ ⎛ yˆ i ⎞ 0,1 ⎡⎛ zˆ i − 1 ⎞ ⎛ zˆ i +1 − 1 ⎞ ⎤⎢⎜⎜ ˆ ⎟=⎜ ˆ ⎟+⎟+⎜⎟⎥ =⎝ z i +1 ⎠ ⎝ z i ⎠ 2 ⎣⎝ − yˆ i − 2 zˆ i ⎠ ⎝ − yˆ i +1 − 2 zˆ i +1 ⎠ ⎦yˆ i + 0,05 zˆ i + 0,05 zˆ i +1 − 0,1⎛⎞=⎜⎟,⎝ −0,05 yˆ i − 0,05 yˆ i +1 + 0,9 zˆ i − 0,1zˆ i +1 ⎠откуда путем разрешения системы относительно yˆi +1 , zˆi +1 получаемyˆ i +1 = yˆ i + 0,05 zˆ i + 0, 05zˆ i +1 =−0,1 yˆ i + 0,8975 zˆ i + 0, 051,1025−0,1 yˆ i + 0,8975 zˆ i + 0,051,1025− 0,1 ;.Результаты проведенных расчетов даны в табл. 2 дляyˆi , y ( x ) и табл.

3 дляzˆi , z ( x ) соответственно. Из их анализа вытекает, что наиболее точно величину ŷiможно рассчитать методом Адамса–Бэшфорта, а величину ẑ i – методом трапеций. „252Таблица 2xiНеявный методЭйлераМодиф. методЭйлераМетод Адамса–БэшфортаМетодтрапецийТочноерешение0,01,000001,000001,000001,000001,000000,10,809920,805000,804990,804990,805000,20,629600,619970,619910,619910,619940,30,458850,444790,444690,444640,444700,40,297400,279240,279080,2790000,279090,50,145000,123090,122850,122730,122860,60,00131-0,02397-0,02428-0,02444-0,024280,7-0,13397-0,16224-0,16265-0,16284-0,162630,8-0,26119-0,29208-0,29257-0,29279-0,292550,9-0,38072-0,41384-0,41441-0,41465-0,414381,0-0,49287-0,52787-0,52853-0,52879-0,52848max ε i0,037204150,000672910,000059420,00033550Таблица 3xiНеявный методЭйлераМодиф. методЭйлераМетод Адамса–БэшфортаМетодтрапецийТочноерешение0,0-1,00000-1,00000-1,00000-1,00000-1,000000,1-0,90083-0,90000-0,90023-0,90023-0,900160,2-0,80316-0,80095-0,80132-0,80132-0,801210,3-0,70753-0,70357-0,70402-0,70401-0,703880,4-0,61440-0,60844-0,60893-0,60890-0,608770,5-0,52408-0,51601-0,51650-0,51645-0,516320,6-0,43684-0,42663-0,42709-0,42702-0,426910,7-0,35287-0,34054-0,34095-0,34087-0,340780,8-0,27229-0,25794-0,25828-0,25818-0,258120,9-0,19518-0,17894-0,17920-0,17908-0179051,0-0,12158-0,10357-0,10378-0,10364-0,10364max ε i0,019581330,000325860,000121450,00003005-253КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ1.Необходимые и достаточные условия безусловного экстремума.2.Схема исследования функций на безусловный экстремум.3.Необходимые и достаточные условия условного экстремума.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,34 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее