УМК (1013374), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Ограничения типаравенств.4.Необходимые и достаточные условия условного экстремума. Ограничения типанеравенств.5.Необходимые и достаточные условия условного экстремума. Смешанные ограничения.6.Численные методы поиска безусловного экстремума. Методы первого порядка. Методградиентного спуска с постоянным шагом.7.Численные методы поиска безусловного экстремума. Методы первого порядка. Методнаискорейшего градиентного спуска.8.Численные методы поиска безусловного экстремума.
Методы первого порядка. Методпокоординатного спуска.9.Численные методы поиска безусловного экстремума. Методы первого порядка. МетодГаусса–Зейделя.10.Численные методы поиска безусловного экстремума. Методы первого порядка. Методсопряженных градиентов.11.Численные методы поиска безусловного экстремума. Методы второго порядка. МетодНьютона.12.Численные методы поиска безусловного экстремума. Методы второго порядка. МетодНьютона и его модификации: метод Ньютона–Рафсона, упрощенный метод Ньютона,метод Ньютона–Марквардта.13.Численные методы поиска безусловного экстремума.
Методы одномерной минимизации. Методы нулевого порядка. Метод дихотомии.14.Численные методы поиска безусловного экстремума. Методы нулевого порядка. Методы одномерной минимизации. Метод золотого сечения.15.Численные методы поиска безусловного экстремума. Методы нулевого порядка. Методы одномерной минимизации. Метод квадратичной интерполяции-экстраполяции.16.Численные методы поиска безусловного экстремума. Методы нулевого порядка. Методконфигураций.17.Численные методы поиска безусловного экстремума. Методы нулевого порядка. Методдеформируемого многогранника.18.Численные методы поиска безусловного экстремума. Методы нулевого порядка.
Методы случайного поиска.25419.Численные методы поиска условного экстремума. Метод штрафов.20.Численные методы поиска условного экстремума. Метод барьерных функций.21.Задача линейного программирования. Графическое решение.22.Задача линейного программирования. Симплекс-метод. Ограничения типа равенств.23.Задача линейного программирования. Симплекс-метод. Ограничения типа неравенств.24.Задача линейного целочисленного программирования. Метод ветвей и границ.25.Транспортная задача. Метод потенциалов.26.Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Методпростой итерации.27.Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
МетодЗейделя.28.Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод простой итерации.29.Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона.30.Численные методы решения нелинейных уравнений. Методы половинного деления иметод хорд.31.Численные методы решения нелинейных уравнений. Модификации метода Ньютона:упрощенный метод Ньютона, метод Ньютона–Бройдена, метод секущих.32.Численные методы решения систем нелинейных уравнений. Метод простой итерации.33.Численные методы решения систем нелинейных уравнений.
Метод Зейделя.34.Численные методы решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона и его модификации.35.Задача интерполяции. Применение многочлена Лагранжа.36.Задача интерполяции. Применение многочленов Ньютона.37.Задача интерполяции. Применение сплайнов.38.Задача аппроксимации. Точечный метод наименьших квадратов.39.Задача аппроксимации. Интегральный метод наименьших квадратов.40.Методы численного дифференцирования.41.Методы численного интегрирования.42.Численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Явные методы. Явный метод Эйлера, метод предсказания и коррекции, метод Эйлера–Коши.43.Численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.Явные методы. Метод Рунге–Кутты. Метод Адамса–Башфорта.44. Численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.Неявные методы. Неявный метод Эйлера, метод трапеций, метод Адамса-Мултона.255ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ1.
Решить задачу поиска безусловного экстремума функции:f ( X ) = x 2 + 2 x ⋅ y + 3 y 2 + 20 x + 10 y + 2 → extr .Задание:а) аналитически отыскать экстремум функции двух переменных (с использованиемнеобходимых и достаточных условий безусловного экстремума);б) сделать три итерации методом градиентного спуска из начальной точкиX 0 = (−1, − 2)T в направлении экстремума;в) сделать две итерации методом наискорейшего градиентного спуска из начальнойточки X 0 = (−1, − 2)T в направлении экстремума;г) сделать две итерации методом Гаусса−Зейделя из начальной точки X 0 = (−1, − 2)Tв направлении экстремума;д) сделать две итерации методом сопряженных градиентов из начальной точки0X = (−1, − 2)T в направлении экстремума;е) сделать одну итерацию методом Ньютона из начальной точки X 0 = (−1, − 2)T внаправлении экстремума.2.
Решить задачу поиска условного экстремума при ограничении типа равенств:f ( X ) = x12 + 2 x22 − 2 x1 − 6 x2 − 12 → extrпри ограничении 2 x1 + x2 = −1 .Задание: найти решение задачи:а) графически;б) использованием необходимых и достаточных условий условного экстремума;в) методом штрафных функций.3. Решить задачу линейного программирования:f ( X ) = 4 x1 + x2 → extr− x1 + x2 ≤ 1,2 x1 + x2 ≥ 4,x1 , x2 ≥ 0 .Задание: найти решение задачи:а) графически;б) симплекс-методом.2564. Дана транспортная задача, заданная матрицей перевозок:ПунктыA1A2ПотребностиB1B22341251020B3Запасы30204060Задание:а) найти начальный план перевозок;б) найти решение задачи методом потенциалов.5.
Решить систему линейных алгебраических уравнений:2 x1x15 x110 x1+−−+3 x22 x23 x22 x2− 4 x3− 5 x3+ x3− x3+ x4+ x4− 4 x4+ 2 x4====2,−5,−1,13.Задание: найти решение системы:а) методом простых итераций (точность счета ε = 0, 01 );б) методом Зейделя (точность счета ε = 0, 01 ).6. Решить нелинейное алгебраическое уравнение:x3 − 11x 2 + 36 x − 36 = 0 .Задание:а) отделить корни алгебраического уравнения;б) уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом Ньютона на отрезке[a, b] (точность счета ε = 0, 01 );в) уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом простых итераций наотрезке [a, b] (точность счета ε = 0, 01 );г) уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом половинного деления наотрезке [a, b] (точность счета ε = 0, 03 ).7.
Дана сеточная функция, определенная таблицей:xy = f (x)112103241Задание:а) построить интерполяционный многочлен Лагранжа;б) построить интерполяционный многочлен Ньютона;в) аппроксимировать функцию многочленами 1-го и 2-го порядковнаименьших квадратов.257методом8.
Дана сеточная функция, определенная таблицей:xy = f (x)112103241Задание:а) найти производные первого порядка, используя все двухточечные шаблоны вовнутренних точках интервала [ x0 , x3 ] ;б) найти производные первого порядка, используя все трехточечные шаблоны вовнутренних точках интервала [ x0 , x3 ] ;в) найти производные второго порядка, используя все трехточечные шаблоны вовнутренних точках интервала [ x0 , x3 ] ;x3г) вычислить интеграл∫ f ( x)dx , используя формулу прямоугольников;x0x3д) вычислитьинтеграл∫f ( x)dx ,используямодифицированнуюформулуx0прямоугольников;x3е) вычислить интеграл∫f ( x)dx , используя формулу трапеций.x09.
Дана задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка:y ′ + y ⋅ tg x = cos x,y (0) = 2.Задание: найти решение задачи Коши:а) аналитически;б) явным методом Эйлера на отрезке [0, 1] . Число разбиений отрезка выбратьN = 2, 4, 5 . Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже;в) методом предсказания и коррекции на отрезке [0, 1] . Число разбиений отрезкавыбрать N = 2, 4, 5 . Построить графики аналитического и численного решений на одномчертеже;г) неявным методом Эйлера на отрезке [0, 1] . Число разбиений отрезка выбратьN = 2, 4, 5 . Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже;д) методом трапеций на отрезке [0, 1] . Число разбиений отрезка выбрать N = 2, 4, 5 .Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже.258МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮТИПОВОГО ЗАДАНИЯВ приведенной таблице указаны ссылки на теорию и алгоритмы решения задач,содержащихся в типовом задании.
Рекомендуется сначала изучить материал лекции,обращая внимание на основные определения, постановки задач, принципы формированиячисленных методов. Далее необходимо проработать материал практического занятия, изучивалгоритм и пошаговое решение типового примера.Номера лекцийи занятийНомер задания, темаЛекция 1,5Занятия 1,3,41. Необходимые и достаточные условия безусловногоэкстремума. Численные методы первого и второгопорядка.Лекции 2,6Занятия 2,52. Необходимые и достаточные условия условногоэкстремума. Ограничения типа равенств.Численные методы поиска условного экстремума.Лекция 7Занятия 6,73. Задача линейного программирования.Лекция 8Занятие 94. Транспортная задача.Лекция 9Занятие 105. Итерационные методы решения систем линейныхалгебраических уравнений.Лекция 11Занятие 116.
Итерационные методы решения нелинейныхуравнений.Лекции 13, 14Занятие 127. Методы интерполяции и аппроксимации сеточныхфункций.Лекция 158. Методы численного дифференцирования иинтегрирования сеточных функций.Лекции 16, 17Занятие 139. Численные методы решения обыкновенныхдифференциальных уравнений.259ЛИТЕРАТУРАОсновная1. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. – М.:Высшая школа, 2008.2. Пантелеев А.В., Летова Т.А.
Методы оптимизации: практический курс: учебноепособие с мультимедиа сопровождением. – М.: Логос, 2011 (Новая университетская библиотека).3. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. – М.:Высшая школа, 2008.4. Лунева С.Ю. Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по теории оптимизации и численным методам / Под ред. проф. Пантелеева А.В. −М.: Доброе слово, 2011.Дополнительная5. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – М.: Физматлит, 2006.6. Ракитин В.И.
Руководство по методам вычислений и приложения MATHCAD.М.: Физматлит, 2005.7. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.:Высшая школа, 1986.8. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. –М.: Мир, 1982.9. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. – М.: Наука, 1983.10. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1975.260.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
