УМК (1013374), страница 38
Текст из файла (страница 38)
f (2,5) f (4) < 0 , и производные f ′( x ) > 0 ,f ′′( x ) > 0 сохраняют знак при x ∈ [2,5; 4] , то условия сходимости на этом отрезке тожевыполняются.Так как f (0,5) = 4,375 ; f (2) = −5 , т.е. f (0,5) f (2) < 0 , и производные f ′( x ) < 0 ,f ′′( x ) > 0 сохраняют знак при x ∈ [0,5; 2] , то условия сходимости выполняются.1. Зададим начальные приближения: на отрезке [0,5; 2] выберем x (0 ) = 0,5 , так какf (0,5) ⋅ f ′′(0,5) > 0 ; на отрезке [− 4, − 2] выберем x (0) = − 4 , так как f (4) ⋅ f ′′(4) > 0 ;аналогично на отрезке [2,5; 4] выберем x (0) = 4 . В поставленной задаче ε = 0,001 .2,3. Результаты расчетов по формуле:x(k +1)=x(k )(x ) − (x ) − 9x + 9 ,−3 (x ) − 2 x−9(k ) 3(k ) 2(k )(k ) 2(k )k = 0,1,...
,приведены в табл. 6–8.Таблица 60k1- 4,00000x (k )x (k ) − x (k −1)-234-3,255319-3,023383-3,000225-3,0000000,7446810,2319360,0231580,000225Таблица 7k0123x (k )0,50000,9729730,99982461,0000000x (k ) − x (k −1)-0,4729730,02685160,0001754Таблица 8kx (k )x (k ) − x (k −1)x∗204,0000-123453,3225813,0514843,0016743,0000023,00000,67741940,27109690,0498090,0016712 ⋅ 10 −6приближенныезначенияВ результате получены≅ 1,0000 ; x ∗3 ≅ 3,0000 .238корней:x ∗1 ≅ −3,0000 ;В. МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯМетодика решения задачиШаг 1. Найти начальный интервал неопределенности L0 = [a0 , b0 ] одним из методов отделения корней, задать малое положительное число ε .
Положить k = 0 .Шаг 2. Найти середину текущего интервала неопределенности:ck =ak + bk2.Шаг 3. Если f (ak ) ⋅ f (ck ) < 0 , то положить ak +1 = ak , bk +1 = ck , а еслиf (ck ) ⋅ f (bk ) < 0 , то принять ak +1 = ck , bk +1 = bk . В результате находится текущийинтервал неопределенности Lk +1 = [ak +1 , bk +1 ].Шаг 4. Если bk +1 − ak +1 ≤ ε , то процесс завершить: x ∗ ∈ Lk +1 = [ak +1 , bk +1 ] . Приa+ bk +1ближенное значение корня можно найти по формуле x ∗ ≅ k +1.2Если bk +1 − ak +1 > ε , положить k = k + 1 и перейти к п.2.Пример 5. Найти корень уравнения x 3 − x + 1 = 0 методом половинного деления сточностью ε1 = 0,01 и ε 2 = 0,0005 .I.
Результат отделения корня уравнения x ∗ ∈ [ − 2; − 1 ] , поэтомуa0 = −2 , b0 = −1 .II. Функция непрерывна на отрезке [− 2; − 1] , имеет единственный простой корень.На концах отрезка функция имеет значения f (−2) = −5 , f (−1) = 1 , противоположные познаку. Результаты расчетов приведены в табл. 9.kf (a k )01234567891011-5-0,875-0,875-0,224-0,224-0,08-0,015-0,015-0,015-0,007-0,0025-0,0003ak-2-1,5-1,5-1,375-1,375-1,34375-1,3282-1,3282-1,3282-1,3263-1,3253-1,3248bk-1-1-1,25-1,25-1,3125-1,3125-1,3125-1,3204-1,3243-1,3243-1,3243-1,3243f (bk )110,29650,29650,050,050,050,0180,00180,00180,00180,0018239ck =ak + bk2-1,5-1,25-1,375-1,3125-1,34375-1,3282-1,3204-1,3243-1,3263-1,3253-1,3248-Таблица 9f (c k )bk − a k-0,8750,2965-0,2240,05-0,08-0,0150,0180,0018-0,007-0,0025-0,0003-10,50,250,1250,06250,031250,01560,007810,00390,0020,0010,0005Если ε1 = 0,01 , корень x ∗ ∈ [− 1,3282; − 1,3204] , а если ε 2 = 0,0005 – кореньx ∗ ∈ [− 1,3248; − 1,3243] или x ∗ ≅x∗ ≅− 1,3282 − 1,3204= −1,3243 при ε1 = 0,01 ;2− 1,3248 − 1,3243= −1,3245 при ε 2 = 0,0005 .
2Пример 6. Найти корень уравнения x 3 − x 2 − 9 x + 9 = 0 методом половинного деления с точностью ε = 0,01 . Уточним корень, лежащий на отрезке [2,5; 4] . Результаты расчетов поместим втабл. 10.k012345678f (a k )-4,125-4,125-1,3769-1,3769-0,3672-0,3672-0,0933-0,0933-0,02349ak2,52,52,8752,8752,96872,96872,99212,99212,99804bk43,253,253,06253,06253,01563,01563,00393,0039f (bk )213,51563,51560,78150,78150,18940,18940,04690,0469ck =ak + bkf (c k )Таблица 10bk − a k3,5156-1,37690,78149-0,36720,18945-0,09330,0469-0,023490,0116471,50,750,3750,18750,093750,046870,023440,011720,0058623,252,8753,06252,968753,015622,992183,00392,998043,00097В результате найден интервал [2,99804; 3,0039] и приближенное значение корняx ∗ ≅ 3,00097 .Аналогично могут быть найдены интервалы, содержащие остальные корни уравнения.240Занятие 12. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ.
ИНТЕРПОЛЯЦИЯИ ИНТЕГРАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕЧасть I. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА{}Пусть на множестве Ω = [a, b] задана сетка Ω n = x i , i = 0, n , определяемаяn + 1 точкой x 0 , x1 ,..., x n , а на сетке задана сеточная функция yi = f ( x i ), i = 0, n :y 0 = f ( x 0 ), y1 = f ( x1 ),..., y n = f ( x n ) ,где x i ∈ [a, b ] = [x 0 , x n ] - в общем случае неравноотстоящие узлы, определяемые шагами hi +1 = x i +1 − x i ( hi +1 = var ), i = 0, n − 1 .Требуется найти многочлен n-й степени, проходящий через все заданные точки.Интерполяционный многочлен Лагранжа n-й степени имеет видLn ( x) =n( x − x ) ⋅ ( x − x )...( x − x) ⋅ (x − x)...( x − x )∑ ( xi − x0 )0⋅ ( xi − x11)...( xi − xii−−11 ) ⋅ ( xi − ix+i1+1 )...( xi −n x n ) f i .i =0Многочлен Ln (x ) является многочленом степени n и удовлетворяет условияминтерполяции: Ln ( x i ) = f i , i = 0, n .Для записи интерполяционного многочлена Лагранжа удобно пользоватьсятабл.1.x − x0x 0 − x1x0 − x2x1 − x 0x − x1x1 − x 2x2 − x0x 2 − x1x − x2#xn − x0#x n − x1#xn − x2.........x0 − xnD0x1 − x nD1x2 − xnD2#x − xn#DnТаблица 1f0f1f2#fnDifi...Π n +1 ( x ) = ( x − x 0 ) ( x − x1 ) ( x − x 2 ) ⋅ ...
⋅ ( x − x n )Здесь Di – произведение элементов i -й строки, Π n +1 ( x ) – произведение элементов главной диагонали.Тогда многочлен Лагранжа может быть записан в формеnLn ( x ) = Π n +1 ( x ) ∑i =0241fi.DiБ. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НЬЮТОНАИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН НЬЮТОНА ДЛЯ НЕРАВНОМЕРНОЙ СЕТКИПусть исходная (интерполируемая) сеточная функция y i = f ( x i ) = f i , i = 0, n ,задана на неравномерной сетке Ω n ≡ {x 0 , x1 , x 2 ,..., x n }, характеризующейся шагамиhi +1 = x i +1 − x i = var .Выбрав внутри неравномерной сетки соответствующие шаблоны интерполяции(xi , xi +1 ) , (x i , xi +1 , xi + 2 ) ,..., (xi , xi +1 ,.., xi + k ) , введем следующие определения разделенных разностей:– разделенная разность нулевого порядка: f ( x i ) = f i ;– разделенная разность первого порядка: f ( x i , x i +1 ) =f i +1 − f ix i +1 − x i;– разделенная разность второго порядка:f ( x i +1 , x i + 2 ) − f ( x i , x i +1 )f ( x i , x i +1 , x i + 2 ) =;xi + 2 − xi– разделенная разность k-го порядка:f ( x i , x i +1 ,..., x i + k ) =f ( x i +1 , x i + 2 ,..., x i + k ) − f ( x i , x i +1 ,..., x i + k −1 )xi + k − xi;– разделенная разность n-го порядка в узле x 0 :f ( x 0 , x1 ,..., x n ) =f ( x1 , x 2 ,..., x n ) − f ( x 0 , x1 ,..., x n −1 )xn − x0.Интерполяционный многочлен Ньютона n-й степени имеет видN n (x ) = f 0 + f (x 0 , x1 )(x − x 0 ) + f (x 0 , x1 , x 2 )(x − x 0 )(x − x1 ) + ...
++ f (x 0 , x1 ,..., x n )(x − x 0 )(x − x1 ) ⋅ ... ⋅ (x − x n −1 ) .ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НЬЮТОНА ДЛЯ РАВНОМЕРНОЙ СЕТКИПусть исходная (интерполируемая) сеточная функция y i = f ( x i ) = f i , i = 0, n ,задана на равномерной сетке Ω n ≡ {x 0 , x1 , x 2 ,..., x n }, характеризующейся шагамиhi +1 = x i +1 − x i = h = const .Выбрав внутри равномерной сетки соответствующие шаблоны интерполяциивведем следующие определения конечных разностей:(xi , xi +1 ) , (x i , xi +1 , xi + 2 ) ,..., (xi , xi +1 ,.., xi + k ) ,– конечная разность нулевого порядка:fi ;242– конечная разность первого порядка: Δf i = f i +1 − f i ;– конечная разность второго порядка: Δ2 f i = Δ(Δf i ) = Δf i +1 − Δf i = f i + 2 − 2 f i +1 + f i ;– конечная разность k -го порядка: Δk f i = Δ(Δk −1 f i ) =где Ckj =k∑ (−1) j C kj f i + j ,j =0k!;(k − j )! j !– конечная разность n -го порядка в узле x 0 : Δ n f 0 = Δ n−1 f 1 − Δ n −1 f 0 .Интерполяционный многочлен Ньютона n -го порядка имеет видN n(I ) (q ) = f 0 +где q =x − x0hΔf 01!q+Δ2 f 02!q (q − 1) + ...
+Δn f 0n!q (q − 1) ... (q − n + 1) ,- фаза интерполяции относительно точки x 0 .Пример 1. Требуется:а) найти интерполяционный многочлен Лагранжа третьей степени для сеточнойфункции, заданной табл. 2. Вычислить значение функции в точке x ∗ = 2,5 ;б) найти интерполяционный многочлен Ньютона третьей степени для сеточнойфункции, заданной табл. 2.Таблица 20123i2345xi7587f (xi ) = f i 1. Составим многочлен Лагранжа.
Для этого заполним табл. 3, соответствующую табл. 1.x−2123–1–2–3–1–2x −31–1x−421x−5Π 4 ( x ) = ( x − 2) ( x − 3) ( x − 4) ( x − 5)− 6 ⋅ ( x − 2)2 ⋅ ( x − 3)− 2 ⋅ ( x − 4)6 ⋅ ( x − 5)DiТаблица 37587fiПолучаем:3L3 ( x ) = Π 4 ( x ) ∑fii = 0 Di+=( x − 2) ( x − 3) ( x − 4) ( x − 5) ⋅ 7 ( x − 2) ( x − 3) ( x − 4) ( x − 5) ⋅ 5++2 ⋅ ( x − 3)− 6 ⋅ ( x − 2)( x − 2) ( x − 3) ( x − 4) ( x − 5) ⋅ 8 ( x − 2) ( x − 3) ( x − 4) ( x − 5) ⋅ 7=+− 2 ⋅ ( x − 4)6 ⋅ ( x − 5)243=−75⋅ ( x − 3) ( x − 4) ( x − 5) + ⋅ ( x − 2) ( x − 4) ( x − 5) − 4 ⋅ ( x − 2) ( x − 3) ( x − 5) +6273107+ ⋅ ( x − 2) ( x − 3) ( x − 4) = − x 3 + 16 x 2 −x + 62 .6222.
Вычислим значение функции в заданной точке: L3 (2,5) = 4,8125 . Составим многочлен Ньютона, справедливый для произвольного расположенияузлов. Для этого сформируем табл. 4.xifi27354857f ( x 0 , x1 ) =f ( x j , x j +1 )f ( x j , x j +1 , x j + 2 )Таблица 4f ( x j , x j +1 , x j + 2 , x j + 3 )52−−23−232−15−7= −2 ;3−2f ( x1 , x 2 ) =8−5= 3;4 −3f (x 2 , x3 ) =7−8= −1 ;5−43 − (−2) 5−1 − 3= ; f ( x1 , x 2 , x 3 ) == −2 ;5−34−225−2−2 = −3 .f ( x 0 , x1 , x 2 , x 3 ) =5−22f ( x 0 , x1 , x 2 ) =Для n = 3 имеемN 3 ( x ) = f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) f ( x 0 , x1 ) + ( x − x 0 ) ( x − x1 ) f ( x 0 , x1 , x 2 ) ++ ( x − x 0 ) ( x − x1 ) ( x − x 2 ) f ( x 0 , x1 , x 2 , x 3 ) = 7 + ( x − 2) ⋅ (−2) + ( x − 2) ⋅ ( x − 3) ⋅5+233107+ ( x − 2) ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x − 4) ⋅ (− ) = − x 3 + 16 x 2 −x + 62 .222Поскольку в данной задаче заданы равностоящие узлы, воспользуемся такжеформулой для первого интерполяционного многочлена Ньютона:N 3(I ) (q )где q =x − x0h== f (x0 ) +Δf 01!q+Δ2 f 02!q ⋅ (q − 1) +x −2= x −2.1Составим табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
