УМК (1013374), страница 34

Файл №1013374 УМК (Учебно-методический комплекс) 34 страницаУМК (1013374) страница 342017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Осуществить ветвление задачи ЗЛП- k . Для этого выбрать нецелочисленную координату x k∗j по установленному правилу и сформировать:[ ][ ]а) два дополнительных ограничения: x j ≤ x kj ∗ , x j ≥ x kj ∗ + 1 ;б) две задачи ЗЛП- 2k + i , i = 1,2 :ЗЛП- 2k + 1 , получаемую в результате добавления к задаче ЗЛП-k дополни-[ ]тельного ограничения x j ≤ x kj ∗ ;ЗЛП- 2k + 2 , получаемую в результате добавления к задаче ЗЛП-k дополни-[ ]тельного ограничения x j ≥ x kj ∗ + 1 .Положить i = 1 и перейти к шагу 4.Шаг 4. Решить задачу ЗЛП- 2k + i :210а) если множество допустимых решений задачи пустое, то исключить задачу израссмотрения и перейти к шагу 6;б) если множество допустимых решений задачи не пустое, определить()x 2k + i ∗ , f x 2k + i ∗ и перейти к шагу 5.Шаг 5.

Проверить решение x 2k +i ∗ на целочисленность:а) если решение x 2k +i ∗ целочисленное и получено первым при ветвлении задач,имеющих нецелочисленное решение, положить f = f ( x 2k + i ∗ ) и включить решение x 2k +i ∗ во множество X ∗ возможных оптимальных решений исходнойзадачи.Сравнить значения f (x k ∗ ), k ∈ J , с f для нецелочисленных решений, полученных раньше, чем первое целочисленное решение:• если f ( x k ∗ ) ≤ f , исключить номер k из множества J ;• если f ( x k ∗ ) > f , оставить задачу с номером k во множестве J для дальнейшего ветвления;Перейти к шагу 6;б) еслирешениеx 2k +i ∗целочисленное,значениеужеfнайденоиf ( x 2k + i ∗ ) ≥ f , то включить решение x 2k +i ∗ во множество X ∗ возможных оп-тимальных решений исходной задачи.

Если f ( x 2k + i ∗ ) < f , не включать решение x 2k +i ∗ во множество X ∗ и перейти к шагу 6;в) если решение x 2k +i ∗ нецелочисленное и значение f еще не найдено, включитьномер 2k + i во множество J и перейти к шагу 6;г) если решениеx 2k +i ∗нецелочисленное, значениеfуже найдено иf ( x 2k + i ∗ ) > f , то включить номер 2k + i в множество J.

В противном случаеисключить номер 2k + i из рассмотрения и перейти к шагу 6;Шаг 6. Проверить условие i ≤ 2 :а) если i < 2 , положить i = 2 и перейти к шагу 4;б) если i = 2 , перейти к шагу 2.Шаг 7. В множестве X ∗ выбрать решение (решения), которому соответствует наибольшее значение целевой функции.

Оно является решением x ∗ исходной задачи. Еслимножество X ∗ пустое, то исходная задача не имеет решения.Пример 1. Найти оптимальное решение задачиf (x ) = x1 + 2 x 2 → max,x1 + x 2 ≤ 4,x 2 ≤ 2,8 , x1 , x 2 ≥ 0, целые.† 1. Положим k = 0 . Решим ЗЛП-0, т.е. исходную задачу без учета требованияцелочисленности, графически. Как следует из рис.

1, а, максимум достигается в точкеA = x 0∗ = (1,2; 2,8)T , f ( x 0∗ ) = 6,8. Решение не является целочисленным. Включим номерk = 0 во множество J и перейдем к шагу 2.2112 0 . Так как k = 0 , выберем для ветвления задачу ЗЛП-0 , исключим k = 0 измножества J и перейдем к шагу 3.3 0 . Осуществим ветвление задачи ЗЛП-0. Выберем нецелочисленную координатус наименьшим индексом: x10∗ = 1,2 . Сформируем:а) дополнительные ограничения: x1 ≤ [1,2] = 1 , x1 ≥ [1,2] + 1 = 2 ;б) две задачи ЗЛП- 2k + i , k = 0 ; i = 1,2 :ЗЛП-1ЗЛП-2f (x ) = x1 + 2 x 2 → max,f (x ) = x1 + 2 x 2 → max,x1 + x 2 ≤ 4,x1 + x 2 ≤ 4,x 2 ≤ 2,8 ,x 2 ≤ 2,8 ,x1 , x 2 ≥ 0, x1 ≤ 1 ;x1 , x 2 ≥ 0, x1 ≥ 2 .x2x2ЗЛП-04x 2 = 2,8A321x 2 = 2,82x1 + x 2 = 41∇f0x1∇f243x1012аx204x 2 = 2,83x 2 = 2,82Dx2 = 2x1 + x 2 = 41∇f1x1 = 13C2x1 + x 2 = 4∇f24ЗЛП-3x2x1 = 243бЗЛП-21ЗЛП-1B3x1 + x 2 = 41x1 = 1434x1в0123г2124x1ЗЛП-4x2x1 = 14x2 = 33x 2 = 2,82X =∅10∇f123x14дРис. 1x1 + x 2 = 4Положим i = 1 и перейдем к шагу 4.4 0 .

Решим задачу ЗЛП-1 графически (рис. 1, б). Максимум достигается в точкеx1∗ = B = (1; 2,8) T , f (x 1∗ ) = 6,6 . Перейдем к шагу 5.5 0 . Решение x 1∗ – нецелочисленное, и значение f еще не найдено. Поэтомувключим номер k = 1 во множество J и перейдем к шагу 6.6 0 . Проверим выполнение условия i ≤ 2 : i = 1 < 2 .

Положим i = 2 и перейдемк шагу 4.41 . Решим задачу ЗЛП-2 графически (рис. 1,в). Получим решение в точкеx 2∗ = C = (2; 2) T , f (x 2∗ ) = 6 . Перейдем к шагу 5.51 . Решение x 2∗ – первое целочисленное. Положим f = f ( x 2 ∗ ) = 6. Включимрешениеx 2∗во множествоX ∗ . Сравним значениеf (x 1∗ )сf . Так какf (x1∗ ) = 6,6 > f = 6 , оставим задачу ЗЛП-1 для дальнейшего ветвления и перейдем к шагу 6.61 . Проверим выполнение условия i ≤ 2 : i = 2 . Перейдем к шагу 2.21 . Имеем k = 1 и J = {1} ≠ ∅ . Выберем задачу ЗЛП-1 для ветвления. Исключимk = 1 из множества J и перейдем к шагу 3.31 .

Осуществим ветвление задачи ЗЛП-1. Выберем нецелочисленную координатус наименьшим индексом: x 12∗ = 2,8 . Сформируем:а) дополнительные ограничения: x 2 ≤ [ 2,8] = 2 , x 2 ≥ [2,8] + 1 = 3 ;б) две задачи ЗЛП- 2k + i , k = 1 ; i = 1,2 :ЗЛП-3ЗЛП-4f (x ) = x1 + 2 x 2 → max,f (x ) = x1 + 2 x 2 → max,x1 + x 2 ≤ 4,x1 + x 2 ≤ 4,x 2 ≤ 2,8x 2 ≤ 2,8x1 , x 2 ≥ 0, x1 ≤ 1 ,x1 , x 2 ≥ 0, x1 ≤ 1 ,x2 ≤ 2 ;x2 ≥ 3 .213Положим i = 1 и перейдем к шагу 4.4 2 .

Решим задачу ЗЛП-3 графически. Условный максимум достигается в точкеx 3∗ = D = (1; 2) T , f (x 3∗ ) = 5 (рис. 1,г). Перейдем к шагу 5.5 2 . Решение x 3∗ – целочисленное. Так как значение f уже найдено, то сравнимf (x 3∗ ) = 5 с f . Имеем f ( x 3 ∗ ) = 5 < f = 6 , поэтому не включаем решение x 3∗ в множе-ство X ∗ возможных оптимальных решений исходной задачи. Задачу ЗЛП-3 исключим издальнейшего рассмотрения. Перейдем к шагу 6.61 . Проверим выполнение условия i ≤ 2 : i = 1 < 2 .

Положим i = 2 и перейдем кшагу 4.4 3 . Решим задачу ЗЛП-4 графически. В этой задаче ограничения не совместны(рис. 1,д), множество допустимых решений пустое. Исключим задачу ЗЛП-4 из дальнейшего рассмотрения. Перейдем к шагу 6.6 2 . Проверим выполнение условия i ≤ 2 : i = 2 . Перейдем к шагу 2.2 2 .

Так как множество k ≠ 0 и J = ∅ , перейдем к шагу 7.x0∗ЗЛП-0= (1,2; 2,8)Tf (x 0∗ ) = 6,8x1 ≥ 2x1 ≤ 1ЗЛП-2ЗЛП-1x 2∗ = (2; 2) Tx1∗ = (1; 2,8) Tf (x 1∗ ) = 6,6x2 ≤ 2x3∗f (x 3∗ ) = 5f ( x 2∗ ) = 6НЦx2 ≥ 3ЗЛП-4ЗЛП-3= (1; 2)НTЦX =∅Рис. 27 0 . Так как множество X ∗ содержит единственное целочисленное решение, тоx ∗ = x 2∗ = (2, 2) T , f ( x ∗ ) = f = 6 – решение исходной задачи.

Процесс решения отраженна рис. 2. ■214Занятие 9. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПредположим, что в пунктах A1 , A2 ,..., Am хранится однородный груз в количествеa1 , a2 ,..., am единиц. Этот груз следует доставить в n заданных пунктов назначенияB1 , B 2 ,..., B n , причем в каждый из них требуется завезти соответственно b1 , b2 ,..., bn единиц этого груза. Обозначим через cij стоимость перевозки единицы груза из пункта Aiв пункт B j .Транспортные задачи делятся на две группы.1. Задачи, удовлетворяющие условию балансаmni =1j =1∑ ai = ∑ b j , означающему, что об-щий запас груза на всех пунктах хранения равен суммарной потребности всех пунктовназначения.2. Задачи с нарушенным балансом, среди которых выделяются два случая:a)б)mni =1j =1mn∑ ai > ∑ b j (суммарные запасы больше суммарных потребностей);∑ ai <i =1∑bj(суммарные запасы меньше суммарных потребностей).j =1Рассмотрим формализацию транспортной задачи, удовлетворяющей условию баланса.Обозначим x ij – количество груза, перевозимого из пункта Ai в пункт B j .

Тогдасуммарная стоимость перевозок имеет видf (x ) =mn∑ ∑ ci j ⋅ x i j .i = 1 j =1Ограничения представляются уравнениями вывоза и привоза груза:x i1 + x i 2 + ... + x in = ai ,x1 j + x 2 j + ... + x m j = b j ,x i j ≥ 0 , i = 1,2,..., m ;i = 1,2,..., m ;j = 1,2,..., n ;j = 1,2,..., n .Первое уравнение означает, что из каждого пункта хранения Ai вывозится весьгруз, а второе уравнение описывает факт удовлетворения всех потребностей в пункте B j .Условие неотрицательности свидетельствует о том, что груз либо вывозится из пункта Aiв пункт B j , и тогда x i j > 0 , либо нет, и в этом случае x i j = 0 .Решение xi j , i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., n , системы называется планом перевозок.215Требуется найти такой план перевозок, чтобы их суммарная стоимость была минимальной, т.е.f (x ) =mn∑ ∑ ci j ⋅ x i j→ min .i = 1 j =1Условия задачи удобно записывать в виде матрицы перевозок (табл. 1).Таблица 1ПунктыА1А2B2B1Bj...Bn...c11c12c1 jc1nа1c21c22c2 jc2 nа2#Аi#ci 1ci jci 2cinai#AmПотребностиЗапасы#cm1cm 2b1cm jb2cmnbj......ambnСуммаЗаметим, что с помощью линейных преобразований можно показать зависимостьодного из уравнений в системе от остальных, т.е.

в этой системе имеется (m + n − 1) независимых уравнений. Лишнее уравнение может быть исключено из системы уравненийограничений.В матрице перевозок хранится текущий план перевозок x i j , i = 1,2,..., m ;j = 1,2,..., n .Стратегия решения задачиТак как поставленная задача является частным случаем задачи линейного программирования, то стратегия решения аналогична:1) находится начальный план перевозок;2) производится улучшение начального плана, т.е. последовательный переход отодного плана к другому, связанный с уменьшением суммарной стоимости перевозок.Процесс перехода от одного плана к другому завершается, когда уменьшение суммарнойстоимости перевозок станет невозможным.216МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НАЧАЛЬНОГО ПЛАНА ПЕРЕВОЗОККлетки матрицы перевозок, где x ij > 0 , называются базисными, а остальные, гдеx i j = 0 , – свободными. В матрице имеется (m + n − 1) базисных клеток.

Их число совпа-дает с числом независимых уравнений-ограничений.Значение x ij в матрице перевозок находится по формуле⎧ остаток груза в пункте Ai ,x i j = min ⎨⎩ неудовлетворенные потребности в пункте B j .(*)Значение x i j = 0 в свободной клетке не пишется явно, а вместо этого в ней ставится точка.А. Метод северо-западного углаВычисления осуществляются по формуле (*), начиная с элемента x11 , стоящего всеверо-западном углу матрицы перевозок.З а м е ч а н и е. При нахождении начального плана перевозок возможен случайвырождения, когда в результате вычислений значения x i j получается, что потребности впункте B j удовлетворены, а запасы в пункте Ai исчерпаны.

Тогда одновременно из рассмотрения выбывают строка и столбец. В этом случае рекомендуется поставить в одну изклеток выбывающих строки и столбца (лучше в клетку с наименьшей стоимостью) такназываемый базисный нуль. Клетка с базисным нулем считается базисной (в ней пишется0), а общее число базисных клеток остается равным (m + n − 1) .Б. Метод минимального элементаПолучаемый методом северо-западного угла начальный план перевозок не зависитот их стоимости и поэтому в общем случае далек от наилучшего.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,34 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6417
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее