УМК (1013374)
Текст из файла
СОВРЕМЕННОЕ БИЗНЕС-ОБРАЗОВАНИЕА.В. ПАНТЕЛЕЕВУЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКСПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ И ЧИСЛЕННЫЕМЕТОДЫ»Издание второе, исправленноеДопущено УМО по образованию в области производственногоменеджмента в качестве учебного пособия для студентов,обучающихся по направлению подготовки 080200 «Менеджмент»(профиль «Производственный менеджмент»)МОСКВАДОБРОЕ СЛОВО2014УДК 519.8ББК 22.161.5П16Рецензенты:А.А. Медведев, д-р техн. наук, проф., заведующий кафедрой МАТИ – Российскогогосударственного технического университета им.
К.Э. Циолковского;Ю.В. Сидельников, д-р техн. наук, проф., главный научный сотрудник ИПУ РАН.Пантелеев, А.В.П 16 Учебно-методический комплекс по курсу «Теория оптимизации ичисленные методы»: учеб. пособ. / А.В. Пантелеев. – 2-е изд., исправл.– М.:Доброе слово, 2014. –260 с.: ил. – (Современное бизнес-образование).ISBN 978-5-89796-501-3Приведены конспекты лекций, материалы для практических занятий,типовые задания для самостоятельной работы студентов по курсу «Теорияоптимизации и численные методы».Пособие предназначено для студентов экономических специальностейвузов очной, заочной и дистанционной форм обучения.Пантелеев Андрей ВладимировичУЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКСПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»Учебное издание© Пантелеев А.В., 2014© Издательство «Доброе слово», 20142ОГЛАВЛЕНИЕЛЕКЦИИЛекция 1.
Общая постановка задачи оптимизации и основные положения.Необходимые и достаточные условия безусловного экстремума..... 5Лекция 2. Необходимые и достаточные условия условного экстремума ........ 14Лекция 3. Численные методы поиска безусловного экстремума.Методы нулевого порядка. Методы одномерной минимизации..... 27Лекция 4. Численные методы поиска безусловного экстремума.Методы нулевого порядка. .................................................................. 34Лекция 5. Численные методы поиска безусловного экстремума.Методы первого и второго порядка....................................................
43Лекция 6. Численные методы поиска условного экстремума. .......................... 51Лекция 7. Задачи линейного программирования................................................ 56Лекция 8. Транспортные задачи. .......................................................................... 64Лекция 9.
Итерационные методы решения систем линейныхалгебраических уравнений .................................................................. 74Лекция 10. Методы решения задач о собственных значенияхи собственных векторах матриц ......................................................... 82Лекция 11. Численные методы решения нелинейных уравнений ...................... 89Лекция 12. Численные методы решения систем нелинейных уравнений..........
98Лекция 13. Задачи приближения функций. Интерполяция ............................... 102Лекция 14. Задачи приближения функций. Методы интегральногосглаживания ........................................................................................ 111Лекция 15. Методы численного дифференцирования и интегрирования........
119Лекция 16. Численные методы решения систем обыкновенныхдифференциальных уравнений. Явные методы .............................. 134Лекция 17. Численные методы решения систем обыкновенныхдифференциальных уравнений. Неявные методы .......................... 1443ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯЗанятие 1. Необходимые и достаточные условия безусловногоэкстремума......................................................................................... 146Занятие 2. Необходимые и достаточные условия условного экстремума.....
152Занятие 3. Численные методы поиска безусловного экстремума.Методы первого порядка.................................................................. 164Занятие 4. Численные методы поиска безусловного экстремума.Методы первого и второго порядка ................................................ 175Занятие 5. Численные методы поиска условного экстремума ....................... 182Занятие 6.
Задачи линейного программирования. Решениеканонической задачи ........................................................................ 190Занятие 7. Задачи линейного программирования. Решение основнойзадачи ................................................................................................. 200Занятие 8.
Задачи линейного целочисленного программирования. .............. 210Занятие 9. Транспортные задачи........................................................................ 215Занятие 10. Итерационные методы решения систем линейныхалгебраических уравнений............................................................... 227Занятие 11. Численные методы решения нелинейных уравнений................... 231Занятие 12.
Методы приближения функций. Интерполяцияи интегральное сглаживание............................................................ 241Занятие 13. Численные методы решения систем обыкновенныхдифференциальных уравнений........................................................ 249КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ..........................................................................
254ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ............ 256МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮТИПОВОГО ЗАДАНИЯ...................................................................................... 259ЛИТЕРАТУРА ....................................................................................................... 2604ЛЕКЦИИЛекция 1Раздел I. ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИИ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯПостановка задачи поиска минимума функций содержит:• целевую функцию f ( x) , где x = ( x1 ,..., xn )T , определенную на n-мерном евклидовом пространстве R n . Ее значения характеризуют степень достижения цели, воимя которой поставлена или решается задача;• множество допустимых решений X ⊆ R n , среди элементов которого осуществляется поиск.Требуется найти такой вектор x ∗ из множества допустимых решений, которомусоответствует минимальное значение целевой функции на этом множестве:f ( x∗ ) = min f ( x) .(1.1)x ∈XЗ а м е ч а н и я.1.
Задача поиска максимума функции f ( x) сводится к задаче поиска минимума путем замены знака перед функцией на противоположный (рис. 1):f ( x∗ ) = max f ( x) = − min [ − f ( x) ] .x∈ Xx∈ Xff ( x∗ )f ( x)x∗x− f ( x)− f ( x∗ )Рис. 12. Задача поиска минимума и максимума целевой функции f ( x) называется задачей поиска экстремума: f ( x∗ ) = extr f ( x) .x ∈X53. Если множество допустимых решений X задается ограничениями (условиями),накладываемыми на вектор x , то решается задача поиска условного экстремума. ЕслиX = R n , т.е. ограничения (условия) на вектор x отсутствуют, решается задача поискабезусловного экстремума.4. Решением задачи поиска экстремума является пара ( x∗ , f ( x∗ )) , включающаяточку x ∗ и значение целевой функции в ней.5.
Множество точек минимума (максимума) целевой функции f ( x) на множествеX обозначим X ∗ . Оно может содержать конечное числo точек (в том числе одну), бесконечное число точек или быть пустым.Определение 1.1. Точка x∗ ∈ X называется точкой глобального (абсолютного) минимума функции f ( x) на множестве X , если функция достигает в этой точке своего наименьшего значения, т.е.f ( x∗ ) ≤ f ( x) ∀x ∈ X .Определение 1.2. Точка x ∗ ∈ X называется точкой локального (относительного)минимума функции f ( x) на множестве допустимых решений X , если существует ε > 0 ,такое, что если x ∈ X и x − x ∗ < ε , то f ( x∗ ) ≤ f ( x) . Здесь x = x12 + x 22 +...+ x n2 –евклидова норма вектора x .З а м е ч а н и я.1.
В определении 1.1 точка x ∗ сравнивается по величине функции со всеми точками из множества допустимых решений X , а в определении 1.2 – только с принадлежащими ее ε -окрестности (рис. 2).x2Xεx∗x1Рис. 22. Если в определениях 1.1 и 1.2 знак неравенства ≤ заменить на ≥ , то получимопределения глобального (абсолютного) и локального (относительного) максимумов.3. Глобальный экстремум всегда является одновременно локальным, но не наоборот.6Определение 1.3.
Поверхностью уровня функции f ( x) называется множество точек, в которых функция принимает постоянное значение, т.е. f ( x) = const . Если n = 2 ,поверхность уровня изображается линией уровня на плоскости R 2 .Пример. Построить линии уровня функций:x1222а) f ( x) = x1 + x2 ; б) f ( x) =+ x22 ;4 Уравнения линий уровня имеют следующий вид:а) f ( x) = x12 + x22 = const = r 2 – уравнение окружностей с центром в точке (0, 0)Tирадиусом, равным r (рис. 3, а);x2б) f ( x) = 1 + x22 = const – уравнение эллипса.
Если const = 1 , то a = 2 и b = 1 –4большая и малая полуоси (рис. 3, б) . x2ff ( x) =x12+f ( x) = const = 42x221x2x12f ( x) = 0f ( x) = const = 1x1а)x2ff ( x) =x1242+ x22f ( x) = 41−42f ( x) = 0x2x1б)Рис. 374f ( x) = 1x1Определение 1.4. Градиентом ∇f ( x) непрерывно дифференцируемой функцииf ( x) в точке x называется вектор-столбец, элементами которого являются частные производные первого порядка, вычисленные в данной точке:⎛ ∂ f ( x) ⎞⎜⎟⎜ ∂ x1 ⎟⎜ ∂ f ( x) ⎟⎜⎟∇f ( x) = ⎜ ∂ x2 ⎟ .⎜⎟⎜⎟⎜ ∂ f ( x) ⎟⎜ ∂x ⎟n ⎠⎝Градиент функции направлен по нормали к поверхности уровня (см.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
