УМК (1013374), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Если этоусловие не выполняется, то интеграл вычисляется для четного количества отрезков и кполученному значению добавляется величина I nn−1 , рассчитанная с порядком O (h 5 ) поформулам, приведенным далее.Формула метода парабол является точной для многочленов третьей степени и имеет четвертый порядок аппроксимации. Для нее справедлива оценка:MI ab − Iˆab, пар ≤ 4 (b − a ) h 4 ,180где M 4 = max f (4) ( x) .[ a, b]129yf i +1f ( x)L 2 ( x)fifi −1xxi −1 hxihxi +12hРис. 3В. ПРИМЕНЕНИЕ МНОГОТОЧЕЧНЫХ ШАБЛОНОВРассмотрим применение четырех-, пяти-, семиточечных шаблонов.Ш 5,iВ1. Метод Боде. Четырехинтервальная формула Боде на пятиточечном шаблоне= ( x i − 2 , x i −1 , xi , x i +1 , x i + 2 ) , где r = 2, s = 2 (рис.
4,б):(O (h )) .2hIˆii−+22,c =(7 f i − 2 + 32 f i −1 + 12 f i + 32 f i +1 + 7 f i + 2 )457В2. Метод Уэддля. Шестиинтервальная формула Уэддля на семиточечном шаблоне Ш7,i = ( xi−3, xi−2, xi−1, xi , xi+1, xi+2, xi+3) , где r = 3, s = 3 (рис. 4,в):3hIˆii−+33,c =( f i − 3 + 5 f i − 2 + f i −1 + 6 f i + f i + 1 + 5 f i + 2 + f i + 3 )10(O (h )) .7В3. Методы Ньютона–Котеса. Приведем два частных случая:Ш 4,i–трехинтервальнаяформуланачетырехточечномшаблоне= ( xi − 2 , x i −1 , xi , x i +1 ) , где r = 2, s = 1 (формула «трех восьмых», рис. 4,а):3hIˆii−+21,c =( f i − 2 + 3 f i −1 + 3 f i + f i + 1 )8Ш7,i(O (h ));5–шестиинтервальнаяформуланасемиточечном= ( xi−3 , xi−2 , xi−1, xi , xi+1, xi+2 , xi+3 ) , где r = 3, s = 3 (рис.
4,в):hIˆii−+33,c =(41 f i − 3 + 216 f i − 2 + 27 f i −1 + 272 f i + 27 f i +1 + 216 f i + 2 + 41 f i + 3 )140шаблоне(O (h )) .9Искомое приближенное значение интеграла Iˆab получается суммированием повсем частичным отрезка130yf i +1 yL3 ( x ) f iL4 ( x) f if i −1f i +1f i +2 yf i −1f i −2f i −2f i −2hxi − 2hhxixi −1аxxi +1f i −3hxi − 2 xi −1L6 ( x ) fi −1f i +2 f i +3f i f i +1hxxix i +1 x i + 2бxxi − 3 xi − 2xi −1 xi xi +1xi + 2 xi + 3вРис. 4Методика вычисления определенного интеграла с заданной точностьюи априорным нахождением шага интегрированияШаг 1.
Для правой части формулы оценки погрешностей вычислить константуpM p = max f ( ) ( x ) . С этой целью необходимо продифференцировать функцию p раз[ a, b]и вычислить ее максимальное значение на отрезке [a, b ] , где p – порядок аппроксимацииквадратурной формулы.Шаг 2. Из условияMp(b − a ) ⋅ h p ≤ ε ,AMpгде– константа, входящая в правую часть оценки погрешностей, определяется веAA ⋅εличина h : h ≤ p.M p (b − a )Шаг 3. По значению h вычислить n – количество разбиений отрезка [a, b ] исформировать сеточное представление функции y = f ( x ) , т.е. y i = f ( x i ) , x 0 = a ;x1 = a + h ; x 2 = a + 2h ; .
. . ; x n = a + n ⋅ h ( i = 0,1, … , n ).Шаг 4. Полученную сеточную функцию подставить в правую часть соответствующей квадратурной формулы и вычислить искомое значение Iˆb . При этом значениеaинтеграла в силу справедливости оценки удовлетворяет заданной точности ε .З а м е ч а н и я.Рассмотренный способ вычисления интегралов, когда с использованием оценок иточности ε предварительно вычисляется шаг интегрирования h , является способом с априорным определением шага h .131Пример 2. Вычислить интегралы22∫∫I 1 = x dx ,2∫2I 2 = x dx ,02∫3I 4 = x 4 dxI 3 = x dx ,000по формулам прямоугольников (модифицированной), трапеций, парабол с шагом h = 1 .Найти оценки погрешностей. Точные значения интегралов:22x3 2 8I 2 = x dx == ,3 0 3x2 2I 1 = x dx == 2,2 0∫∫0202x4 2I 3 = x dx ==4,4 0∫2∫3I 4 = x 4 dx =00x 5 2 32== 6, 4 .5 0 5Для формул прямоугольников и трапеций порядок аппроксимации p = 2 , а дляформулы парабол p = 4 . В поставленной задаче a = 0, b = 2 .
Сначала получим оценкипогрешностей априорным способом.Найдем M 2 = max f ′′( x) :[0;2]M 2 = 0 для функции f ( x) = x ;M 2 = 2 для функции f ( x) = x 2 ;M 2 = 12 для функции f ( x) = x 3 ; M 2 = 48 для функции f ( x) = x 4 .Найдем M 4 = max f (4) ( x) :[0;2]M 4 = 0 для функций f ( x) = x ; f ( x) = x 2 ; f ( x) = x 3 ;M 4 = 24 для функции f ( x) = x 4 .Справедливы оценки:ε пр (мод) ≤M224(b − a ) h 2 ;ε тр ≤M2(b − a) h 2 ;12ε пар ≤M4180(b − a) h 4 .Оценки погрешностей формулы прямоугольников (модифицированной):ε пр(мод) = 0 для f ( x) = x ;ε пр(мод) ≤12⋅ 2 ⋅ 12 = 124ε пр(мод) ≤для f ( x) = x 3 ;2⋅ 2 ⋅ 12 = 0,16(6) для f ( x) = x 2 ;24ε пр(мод) ≤48⋅ 2 ⋅ 12 = 824для f ( x) = x 4 .Оценки погрешностей формулы трапеций:ε тр = 0 для f ( x) = x ;ε тр ≤ε тр ≤12⋅ 2 ⋅ 12 = 2 для f ( x) = x 3 ;122⋅ 2 ⋅ 12 = 0,3(3) для f ( x) = x 2 ;12ε тр ≤13248⋅ 2 ⋅ 12 = 812для f ( x) = x 4 .Оценки погрешностей формулы парабол:ε пар = 0 для f ( x) = x ; f ( x) = x 2 ;ε пар ≤24⋅ 2 ⋅ 12 = 0,26(6)180f ( x) = x 3 ;для f ( x) = x 4 .Таким образом, подтверждается факт, что формулы прямоугольников (модифицированная) и трапеций должны быть точными для многочленов первой степени, а формулапарабол – для многочленов не выше третьей степени.Теперь рассчитаем значения интегралов по соответствующим квадратурным формулам.При h = 1 сеточное представление функций имеет видf 0 = f (0),⎛1⎞f 1 = f ⎜ ⎟,2⎝2⎠f1 = f (1),⎛3⎞f 3 = f ⎜ ⎟,2⎝2⎠f 2 = f (2) .По формуле прямоугольников получаем Iˆпр(мод) = h ⋅ ⎡ f 1 + f 3 ⎤ , в частности:⎣⎢ 22 ⎥⎦⎡1 3 ⎤Iˆ1 = 1 ⋅ ⎢ + ⎥ = 2 (0);⎣2 2⎦⎡1 9⎤Iˆ2 = 1 ⋅ ⎢ + ⎥ = 2,5 (0,16(6));⎣4 4⎦⎡ 1 27 ⎤ 7Iˆ3 = 1 ⋅ ⎢ +⎥ = = 3,5 (0,5);⎣8 8 ⎦ 2⎡ 1 81 ⎤ 82Iˆ4 = 1 ⋅ ⎢ + ⎥ == 5,125 (1,275).⎣16 16 ⎦ 16Здесь в скобках указана величина фактической ошибки.hПо формуле трапеций находим Iˆтр = ⋅ [ f 0 + 2 f1 + f 2 ] , в частности:21Iˆ1 = ⋅ [0 + 2 + 2] = 2 (0);21Iˆ2 = ⋅ [0 + 2 + 4] = 3 ( 0,3(3) );21Iˆ3 = ⋅ [0 + 2 + 8] = 5 (1);2Iˆпар1Iˆ4 = ⋅ [0 + 2 + 16] = 9 (2,6).2По формуле парабол, учитывая, что n = 2k = 2 и, следовательно, k = 1 , получаемh= ⋅ [ f 0 + 4 f1 + f 2 ] , в частности:318Iˆ2 = ⋅ [0 + 4 + 4] =331Iˆ1 = ⋅ [0 + 4 + 2] = 2 (0);31Iˆ3 = ⋅ [0 + 4 + 8] = 4 (0);3(0);120Iˆ4 = ⋅ [0 + 4 + 16] == 6,6(6) (0,26(6)).33Очевидно, полученные фактические погрешности соответствуют вычисленным ранее оценкам.
133Лекция 168. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается проблема решения систем обыкновенных дифференциальныхуравнений первого порядка, связывающих независимую переменную x , неизвестныефункции y1 ( x ),..., y n ( x ) и их производные y1′ ( x ),..., y n′ ( x ) .В случае, если уравнения разрешимы относительно производных, систему можнозаписать в нормальной форме Коши:dy1= f1 ( x , y1 ,..., y n ) ,dxdy 2= f 2 ( x , y1 ,..., y n ) ,dx.................................dy n= f n ( x , y1 ,..., y n ) ,dxгде f i ( x , y1 ,..., y n ) , i = 1, n , – известные функции.Решением системы называется совокупность n функций y1 ( x ),..., y n ( x ) , непрерывных на некотором интервале (a, b ) , такая, что подстановка этих функций в системуобращает все уравнения в тождества.Задача Коши для системы состоит в нахождении решения системы, удовлетворяющего начальным условиям:y1 ( x 0 ) = y10 , y 2 ( x 0 ) = y 20 ,..., y n ( x 0 ) = y n 0 ,где y10 , y 20 ,..., y n 0 – известные числа.В векторной форме задача Коши имеет видY ′ = F ( x ,Y ),Y (x0 ) = Y 0 ,где Y = ( y1 ,..., y n )T , F ( x ,Y ) = ( f1 ( x ,Y ),..., f n ( x ,Y ))T , Y 0 = ( y10 ,..., y n 0 )T .Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши).Пусть выполнены следующие условия:а) функции f i ( x , y1 ,..., y n ) , i = 1, n , определены и непрерывны в некоторой замкнутой области D , а также имеют в D ограниченные частные производные по переменным y1 ,..., y n ;б) точка ( x 0 , y10 , y 20 ,..., y n0 ) лежит внутри области D .Тогда решение задачи Коши существует и единственно.134З а м е ч а н и я.1.
Во многих практических приложениях независимая переменная обозначаетсячерез t и имеет смысл времени, поэтому задача Коши называется начальной задачей.2. Чтобы решить задачу Коши для дифференциального уравнения n -го порядка:y (n ) = f ( x , y ( x ),..., y (n −1) ( x )) ,y ( x 0 ) = y 0 , y ′( x 0 ) = y 0′ ,..., y (n −1) ( x 0 ) = y 0(n −1) ,где x 0 ∈ (a, b ) , y 0 , y 0′ ,..., y 0(n −1) – заданные числа, ее необходимо привести к системе nуравнений первого порядка. Обозначая y1 ( x ) = y ( x ), y 2 ( x ) = y ′( x ),..., y n ( x ) = y (n −1) ( x ) ,получаемdy1= y2 ,y1 ( x 0 ) = y 0 ,dxdy 2= y3 ,y 2 ( x 0 ) = y 0′ ,dx..............................................................dy n= f ( x , y1 ,..., y n ) , y n ( x 0 ) = y 0(n −1) .dx3. Чтобы упростить изложение и в силу того, что численные методы легко обобщаются на системы уравнений, в дальнейшем будем рассматривать решение задачи Коши для уравнения первого порядкаy ′ = f ( x , y ),y ( x 0 ) = y 0 , x ∈ (a, b ) .(*)Чтобы записать формулы для решения задачи Коши необходимо заменить функцию y (x ) на вектор-функцию Y (x ) , f ( x , y ) на F ( x ,Y ) , а y 0 – на Y 0 .ПРИНЦИПЫ ФОРМИРОВАНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВЧисленное решение задачи (*) ищется в узлах сетки Ω n = {x 0 , x1 ,..., x n }, гдеhi +1 = x i +1 − x i , i = 0, n − 1 , – расстояние между соседними узлами, называемое шагоминтегрирования (параметром сетки).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
