УМК (1013374), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если базисные функции ϕ 0 , ϕ1 ,..., ϕm линейнонезависимы, определитель матрицы А не равен нулю (он называется определителемГрама). Тогда решение системы существует и единственно. Аналогичный выводможно сделать и о задаче определения многочлена наилучшего среднеквадратичногоприближения.Метод решения поставленной задачи называется методом наименьшихквадратов или методом наилучшего среднеквадратичного приближения, посколькувеличина критерия представляет собой сумму квадратов отклонений значенийаппроксимирующей функции f m ( x, a ) от заданных значений f i на множестве точек{ x , i = 0, n } . Согласно приведенной классификации метод является сглаживающим.i112ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙВ качестве базисных функций используем степенные: ϕ j ( x ) = x j , j = 0, m .В этом случае обобщенный многочлен имеет видf m ( x, a ) =m∑ajjx= a 0 + a1 x + ...
+ a m x m .j =0Тогда ( f , ϕ j ) =nnni =0i =0i =0∑ f i xij , (ϕk , ϕl ) = ∑ x ik + l , (ϕk , ϕk ) = ∑ xi2kи система длянахождения коэффициентов имеет видn⎛ n ⎞⎛ n⎞⎛ n⎞⎛ n⎞⎜ ∑ 1 ⎟ a0 + ⎜ ∑ x i ⎟a1 + ⎜ ∑ x i2 ⎟a2 + ... + ⎜ ∑ x im ⎟am = ∑ f i ,⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟i =0⎝ i =0 ⎠⎝i =0 ⎠⎝i =0 ⎠⎝ i =0⎠n⎛ n⎞⎛ n⎞⎛ n⎞⎛ n⎞⎜ ∑ x i ⎟a0 + ⎜ ∑ x i2 ⎟a1 + ⎜ ∑ x i3 ⎟a2 + ... + ⎜ ∑ x im +1 ⎟am = ∑ x i f i ,⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟i =0⎝ i =0 ⎠⎝i =0 ⎠⎝ i =0 ⎠⎝ i =0⎠.............................................................................................n⎛ n m⎞⎛ n⎞⎛ n⎞⎛ n⎞⎜ ∑ x i ⎟a0 + ⎜ ∑ x im +1 ⎟a1 + ⎜ ∑ x im + 2 ⎟a2 + ...
+ ⎜ ∑ x i2m ⎟am = ∑ x im f i .⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟i =0⎝ i =0⎠⎝ i =0⎠⎝i =0⎠⎝ i =0⎠Обозначимs 0 = n + 1 , t 0 = f 0 + f1 + ... + f n ,s k = x 0k + x1k + ... + x nk , k = 1,...,2m ;t k = x 0k f 0 + x1k f1 + ... + x nk f n , k = 1,..., m .Тогда система преобразуется к видуs 0 a0 + s1a1 + ... + s m am = t 0 ,s1a0 + s 2a1 + ... + s m +1am = t1 ,#(5.5)s m a0 + s m +1a1 + ... + s 2m am = t m .Решая систему линейных алгебраических уравнений, находим неизвестныекоэффициенты a0 , a1 ,..., am . Подставляя решение в f m ( x, a ) , получаем искомуюформулу, которая сглаживает экспериментальные данные.Методика решения задачи сглаживанияШаг 1. Вычислить коэффициенты s k , k = 0,2m; t k , k = 0, m , по заданнойсеточной функции и записать систему (5.5).Шаг 2.
Решить полученную систему одним из методов решения СЛАУ и найтикоэффициенты a0 , a1 ,..., am .Шаг 3. Записать искомую сглаживающую функциюf m ( x, a ) = a 0 + a1 x + ... + a m x m .113З а м е ч а н и я. Если для сеточной функции, заданной в (n + 1) -й точкеx 0 , x1 ,..., x n , определять многочлен степени m = n методом наименьших квадратов,то тогда f m ( x, a ) совпадает с интерполяционным многочленом и метод становитсяэквивалентным методу интерполяции. При этом Δ = 0 и δ m ( a ) = 0 .Б. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВПусть на отрезке [a, b] задана интегрируемая с квадратом функция y = f ( x )b∫( f 2 ( x)dx < ∞ ), которая по каким-либо причинам трудна для использованияa(например, трудно вычислить производные).
Тогда может быть поставлена задача ееприближенной замены (аппроксимации) более простой функцией y = F ( x, a ) . Векторнеизвестных параметров a ищется из условия минимального расстояния d ( f , F )между функциями y = f ( x) и y = F ( x, a ) :b∫ [ F ( x, a) − f ( x)]d( f ,F) =2dx → min .aaЭта задача называется задачей наилучшего интегрального среднеквадратичногоприближения (аппроксимации) на отрезке [a, b] . Она эквивалентна проблеменахождения функции y = F ( x, a ) из интегрального условия:b∫Δ = [ F ( x, a ) − f ( x)] 2 dx → min ,aaгде Δ – погрешность аппроксимации. Искомая функция y = F ( x, a ) называетсяаппроксимирующей функцией, а метод аппроксимации – интегральным методомнаименьших квадратов. При решении этой задачи минимизируется заштрихованнаяплощадь на рис.1, в.На практике аппроксимирующую функцию удобно искать в виде обобщенногомногочленаF ( x, a ) = f m ( x, a ) =m∑ajϕ j ( x) = a 0 ϕ 0 ( x) + a1 ϕ1 ( x) + ...
+ a m ϕ m ( x) ,j =0где a = {a0 , a1,...,am }T – вектор неизвестных коэффициентов, {ϕ j } = {ϕ 0 , ϕ1 ,..., ϕ m } –заданная система базисных функций, степень многочлена удовлетворяет условию0 ≤ m ≤ n . В качестве базисных функций могут выбираться, например, степенныефункции {ϕ j } = { x j } , ортогональные многочлены и др. Функции, входящие всистему, должны быть линейно независимыми.Требуетсянайтитакиекоэффициентымногочленаa0 , a1 ,..., am ,обеспечивающие минимум погрешности аппроксимации:bΔ=∫ [fm ( x, a ) −f ( x)] 2 dx → min ,a114a 0 ,a1 ,...a mт.е.
такой вектор a = {a0 , a1 ,..., am }T , который обеспечивает минимум величины Δ .В соответствии с постановкой задачи найдем коэффициенты a0 , a1 ,..., amобобщенного многочлена, обеспечивающие минимум критерия:bΔ=∫[ ϕ0 ( x) a 0+ ϕ1 ( x) a1 + ... + ϕ m ( x) a m − f ( x) ] dx → min .2a 0 ,a1 ,...a maТак как на коэффициенты не наложено никаких ограничений, применимнеобходимые условия безусловного экстремума:∂Δ= 0,∂ajj = 0,1,..., m .В результате получаем системуb∂Δ= 2 [ ϕ 0 ( x) a 0 + ϕ1 ( x) a1 + ... + ϕ m ( x) a m − f ( x) ] ⋅ ϕ 0 ( x) dx = 0 ,∂ a0a∫b∂Δ= 2 [ ϕ 0 ( x) a 0 + ϕ1 ( x) a1 + ... + ϕ m ( x) a m − f ( x)] ⋅ ϕ1 ( x) dx = 0 ,∂ a1a∫...................................................................................................b∂Δ= 2 [ ϕ 0 ( x) a 0 + ϕ1 ( x) a1 + ... + ϕ m ( x) a m − f ( x) ] ⋅ ϕ m ( x) dx = 0 .∂ ama∫Для компактной записи полученного результата удобно использовать скалярноепроизведение.Скалярным произведением функций ϕ k (x ) и ϕl ( x ) на отрезке [a, b] называетсяинтеграл от их произведения на этом отрезкеb∫(ϕ k , ϕ l ) = ϕ k ( x) ϕ l ( x) dx .abЧисло ϕ k = (ϕ k , ϕ k ) =∫ϕ2k ( x ) dxявляется нормой функции ϕ k (x ) на отрезке [a, b] .aТогда полученную систему можно переписать в форме:(ϕ 0 , ϕ 0 ) a0 + (ϕ 0 , ϕ1 ) a1 + ...
+ (ϕ 0 , ϕ m ) am = ( f , ϕ 0 ) ,(ϕ1 , ϕ 0 ) a0 + (ϕ1 , ϕ1 ) a1 + ... + (ϕ1 , ϕ m ) am = ( f , ϕ1 ) ,.................................................................................(ϕ m , ϕ 0 ) a0 + (ϕ m , ϕ1 ) a1 + ... + (ϕ m , ϕ m ) am = ( f , ϕ m ) ,115bгде ( f , ϕ k ) = ∫ f ( x) ϕ k ( x) dx . Таким образом, получена система (m + 1) линейныхaуравнений с (m + 1) неизвестными a0 , a1 ,..., am . В силу равенства (ϕ k , ϕl ) = (ϕl , ϕ k )матрица(ϕ 0 , ϕ1 ) .......... (ϕ 0 , ϕ m ) ⎞⎛ (ϕ 0 , ϕ 0 )⎜⎟(ϕ1 , ϕ1 ) .......... (ϕ1 , ϕ m ) ⎟⎜ (ϕ1 , ϕ 0 )A=⎜⎟⎜ .....................................................
⎟⎜ (ϕ , ϕ ) (ϕ , ϕ ) ......... (ϕ , ϕ ) ⎟m1mm ⎠⎝ m 0системы является симметрической. Если базисные функции ϕ 0 , ϕ1 ,..., ϕ m линейнонезависимы, то определитель матрицы А не равен нулю (он называется определителемГрама). Тогда решение системы существует и единственно. Аналогичный выводможно сделать и о задаче определения обобщенного многочлена.ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙВ качестве базисных функций используем степенные: ϕ j ( x ) = x j , j = 0, m . Вэтом случае обобщенный многочлен имеет видf m ( x, a ) =m∑ajxj= a 0 + a1 x + ... + a m x m .j =0bТогда ( f , ϕ j ) =∫ f ( x) xbj∫dx , (ϕ k , ϕ l ) = xak +lb∫dx , (ϕ k , ϕ k ) = x 2 k dx и системаaaимеет вид⎛b⎞⎛b⎞⎛b 2 ⎞⎛b m ⎞⎜ 1 dx ⎟ a 0 + ⎜ x dx ⎟ a1 + ⎜ x dx ⎟ a 2 + ...
+ ⎜ x dx ⎟ a m =⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝a⎠⎝a⎠⎝a⎠⎝a⎠∫∫∫∫b∫ f ( x) dx ,a⎛b⎞⎛b 2 ⎞⎛b 3 ⎞⎛ b m +1 ⎞⎜ x dx ⎟ a 0 + ⎜ x dx ⎟ a1 + ⎜ x dx ⎟ a 2 + ... + ⎜ x dx ⎟ a m =⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝a⎠⎝a⎠⎝a⎠⎝a⎠∫∫∫∫b∫a f ( x) x dx ,.............................................................................................⎛b m ⎞⎛ b m+1 ⎞⎛ b m+ 2 ⎞⎛ b 2m ⎞⎜ x dx ⎟ a 0 + ⎜ xdx ⎟ a1 + ⎜ x dx ⎟ a 2 + ... + ⎜ x dx ⎟ a m =⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟aa⎝⎠⎝⎠⎝a⎠⎝a⎠∫∫∫∫Обозначимbs0 = b − a ,sk =∫x k dx , k = 1,...,2m ;abt0 =∫ f ( x) dx ,abtk =∫ f ( x) xa116kdx , k = 1,..., m .b∫ f ( x) xamdx .Тогда полученная система преобразуется к видуs 0 a0 + s1a1 + ...
+ s m am = t 0 ,s1a0 + s 2a1 + ... + s m +1am = t1 ,(5.6)#s m a0 + s m +1a1 + ... + s 2m am = t m .Решая систему линейных алгебраических уравнений, находим неизвестныекоэффициенты a0 , a1 ,..., am .Методика решения задачи аппроксимацииШаг 1. Вычислить коэффициенты s k , k = 0,2m; t k , k = 0, m , по заданнойфункции и записать систему (5.6).Шаг 2. Решить полученную систему одним из методов решения СЛАУ и найтикоэффициенты a0 , a1 ,..., am .Шаг 3.
Записать искомую функцию f m ( x, a ) = a 0 + a1 x + ... + a m x m .З а м е ч а н и я.1. К недостаткам описанного метода относится необходимость вычисленияопределенных интегралов, которые могут быть весьма сложными. Для их нахождениячасто используются методы численного интегрирования.2. Реализация интегрального метода наименьших квадратов с использованиемстепенных функций связана с решением системы линейных алгебраических уравненийотносительно неопределенных коэффициентов. Этот недостаток устраняется выборомортогональных базисных функций ϕ j (x ) .ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙПри нахождении коэффициентов обобщенного многочлена с помощьюортогональных базисных функций нет необходимости решать систему (5.6).Функции ϕ k (x ) и ϕl ( x ) называются ортогональными на отрезке [a, b] , если ихb∫скалярное произведение равно нулю: (ϕ k , ϕ l ) = ϕ k ( x) ⋅ ϕ l ( x) dx = 0,k ≠l.aСистема функций{ϕj ( x)} , j = 0,1,..., m , называется ортогональной на отрезке[a, b] , если все функции этой системы попарно ортогональны на этом отрезке.
Приb∫этом (ϕ k , ϕ k ) = ϕ k ( x) ⋅ ϕ k ( x) dx ≠ 0 .aТак, если в обобщенном многочленеf m ( x, a ) = Q m ( x) = a 0 ϕ 0 ( x) + a1 ϕ1 ( x) + ... + a m ϕ m ( x)система базисных функций ортогональная, то система (5.6) перепишется в виде117(ϕ 0 , ϕ 0 ) a0 = ( f , ϕ 0 ) ,(ϕ1 , ϕ1 ) a1 = ( f , ϕ1 ) ,.............................(ϕ m , ϕ m ) am = ( f , ϕ m ) ,т.е. все недиагональные элементы в матрице системы становятся равными нулю.Следовательно, коэффициенты обобщенного многочлена находятся по формулеbaj =( f ,ϕ j )=(ϕ j , ϕ j )( f ,ϕ j )ϕj2=∫f ( x) ⋅ ϕ j ( x) dxabj = 0,1,..., m .,∫ ϕ j ( x) dx2aКоэффициенты обобщенного многочлена называются коэффициентами Фурьефункции y = f ( x) относительно ортогональной на отрезке [a, b] системы функций.ПРИМЕНЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛПодбирается одна из двухпараметрических формул:f ( x, a 0 , a1 ) = a 0 +f ( x, a 0 , a1 ) = a 0 a1x ;a1xf ( x, a 0 , a1 ) =;1x; f ( x, a 0 , a1 ) =;a 0 + a1 xa 0 + a1 xf ( x, a 0 , a1 ) = a 0 e a1x ;f ( x, a 0 , a1 ) = a 0 + a1 ln x ;f ( x, a 0 , a1 ) =f ( x, a 0 , a1 ) =a0a1 + x,1a 0 + a1e − xf ( x, a 0 , a1 ) =a0 xa1 + x;, ....,где a0 , a1 – неизвестные коэффициенты.Требуется найти коэффициенты a0 , a1 , обеспечивающие минимум погрешностиаппроксимации на основе метода наименьших квадратов:bΔ=∫ [ f ( x, a0 , a1 ) −af ( x) ] dx → min .2a 0 ,a1Для нахождения коэффициентов a0 , a1 применяются необходимые условия∂Δ∂Δэкстремума:= 0,= 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
