УМК (1013374), страница 21
Текст из файла (страница 21)
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯПОСТАНОВКА ЗАДАЧИЕсли функция f ( x) непрерывна на отрезке [a, b] и известна ее первообразнаяF ( x) , то определенный интеграл от этой функции может быть вычислен по формулеНьютона–Лейбницаb∫a f ( x)dx = F (b) − F (a) ,где F ′( x) = f ( x) .Однако во многих случаях возникают большие трудности, связанные с нахождением первообразной, или эта задача не может быть решена элементарными способами. На2пример, в элементарных функциях не выражается интегралdx∫ ln x .1Кроме того, в вычислительной практике часто требуется находить значения определенных интегралов от сеточных функций, заданных в общем случае на неравномернойсетке Ω n = {x 0 , x1 ,..., x n }, xi +1 = xi + hi +1 , i = 0, n − 1, hi +1 = xi +1 − xi .В связи с этим в численном анализе имеется специальный математический аппаратчисленного интегрирования, отличный от соответствующего аппарата математическогоанализа.Пусть на отрезке [a, b] на равномерной сетке Ω n ( hi +1 = h = const ) или на неравномерной сетке Ω n = {x 0 , x1 ,..., x n } ( hi +1 = x i +1 − x i = var ) заданы:124а) сеточная функция y i = f ( xi ), i = 0, n , своими значениями f i = f ( xi ) или сеточноепредставление формульной функции y = f ( x) ;б) желаемый порядок t точности (аппроксимации) относительно величины шагаh.Требуется с заданным порядком точности вычислить значение интегралаIˆab ≅ I ab =b∫ f ( x) dx .aИначе требуется получить аппроксимационный оператор интегрирования Iˆab ,удовлетворяющий условию Iˆb − I b ≤ C h t , где C = const , не зависящая от h .aaОтметим, что символом «^» здесь и далее обозначаются операторы интегрирования.Одним из классических методов вычисления определенных интегралов являетсяприменение функциональных квадратурных формулI abb=∫f ( x)dx ≅N∑ q j f ( x j ) ≡ Iˆab ,j =1aгде q j – весовые коэффициенты; x j , j = 1, N ,– некоторые точки отрезка [a, b] ; N – числоточек (узлов квадратурной формулы).Квадратурная формула называется точной для многочленов степени m , если призамене функции f ( x) на произвольный алгебраический многочлен степени не выше mприближенное равенство становится точным.
В этом случае говорят, что квадратурнаяформула обладает m-свойством.При приближенном вычислении интеграла, как правило, отрезок [a, b] представляется в виде объединения l непересекающихся частичных отрезков вида [ xi − r , xi + s ] , ко-торым соответствует шаблон Ш k , i = ( xi − r ,… , x i ,..., x i + s ) , где i – номер базового узласетки; r и s – количество узлов левее и правее узла с номером i ; k = r + s + 1 – общеечисло узлов (точек) в шаблоне (рис.
1). На каждом частичном отрезке с номеромj = 1,..., l вычисляется интеграл по соответствующей квадратурной формулеI ii−+rs , j =xi + s∫f ( x)dx ≅ Iˆii−+rs, j ≡ Iˆ j ,j = 1,..., l ,xi − rа затем полученные значения суммируются по всем частичным отрезкам, т.е.Iˆab =l∑Iˆ j =j =0l∑ Iˆii−+rs, j .j =0125yfi −rfi + sfiy = f ( x)I ii −+rs , jI10aIlxi − rxib xxi + sРис. 1Далее в силу использования описанного представления проблеме вычисления интеграла на частичном отрезке уделяется основное внимание. По заданной сеточной функции или сеточному представлению формульной функции на частичном отрезке строитсяинтерполяционный многочлен некоторой степени.
Значение Iˆi + s определяется величиi −rной интеграла от этого многочлена.Как следует из замечаний, для вычисления интеграла могут использоваться различные частичные отрезки и соответствующие им шаблоны.А. ПРИМЕНЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНОГО ШАБЛОНАПусть задана сеточная функцияf ( x i ), i = 0, n , на регулярном шаблоне приh = const .
На частичном отрезке [ x i , x i +1 ] , которому соответствует двухточечный шаб-лон Ш 2, i = ( xi , xi +1 ) , где r = 0, s = 1 , функция f ( x) заменяется тремя способами, порождающими соответствующие методы интегрирования. В каждом методе значение интегралаI ii +1x i +1=∫xf ( x)dx аппроксимируется величиной Iˆii +1 , равной площади между графи-iком интерполяционного многочлена и осью абсцисс и получаемой по одноинтервальнойформуле. Нижние индексы соответствуют названию квадратурной формулы, рядом сформулами приводятся оценки порядка (точности) аппроксимации.Подчеркнем, что данные формулы справедливы как для регулярного, так и для нерегулярного шаблона, хотя последующее их суммирование по всем частичным отрезкам[ xi , xi +1 ] традиционно выполняется при h = const .Искомые интегралы определяются не на частичных отрезках, а на всем отрезке[a, b ] , и поэтому путем суммирования левых и правых частей одноинтервальных формулполучаются так называемые составные квадратурные формулы.А1.
Метод прямоугольников (немодифицированный). Функция f ( x) заменяется интерполяционным многочленом нулевой степени L0 ( x) = f ( x i ) , построенным по126значению функции f i = f ( x i ) в левой точке частичного отрезка (рис. 2,а). Величина интеграла на частичном отрезке принимается равной площади между графиком интерполяционного многочлена и осью абсцисс - площади прямоугольника. В результате получимпростейшую одноинтервальную квадратурную формулу второго порядка точности:+1Iˆii,пр=x i +1∫x L0 ( x) dx = hi+1 ⋅ f i .O(h 2 )iСоставная квадратурная формула метода прямоугольников (немодифицированного) на регулярном шаблоне с h = const имеет видIˆab,пр = h ( f 0 + f 1 + ...
+ f n −1 ) = hn −1fi .∑i =0Формула метода прямоугольников (немодифицированного) является точной длямногочленов нулевой степени и обладает первым порядком аппроксимации. Для неесправедлива оценка:MI ab − Iˆab,пр ≤ 1 ( b − a ) h ,2где M 1 = max f ′( x) .[ a ,b ]А2. Метод прямоугольников (модифицированный). Функция f ( x) заменяется⎛ x + x i +1 ⎞интерполяционным многочленом нулевой степени L0 ( x) = f ⎜ i⎟ , построенным по2⎝⎠x + x i +1значению функции f 1 = f ( x 1 ) в середине частичного отрезка x 1 = i(рис.i+i+i+22222,б). Величина интеграла на частичном отрезке принимается равной площади между графиком интерполяционного многочлена и осью абсцисс - площади прямоугольника.
В результате получим простейшую одноинтервальную квадратурную формулу третьего порядка точности:1Iˆii+,пр (мод) =x i +1x i +1∫ L0 ( x) dx = x∫xii⎛ x + x i +1 ⎞f⎜ i⎟ dx = hi +1 f i + 1 .2⎝⎠2O(h 3 )Составная квадратурная формула метода прямоугольников (модифицированного)на регулярном шаблоне с h = const имеет видn −1⎛⎞Iˆab,пр (мод) = h ⎜ f 1/2 + f 3/2 + ... + f 1 ⎟ = hf 1.⎜n− ⎟i+=0i2 ⎠2⎝∑Формула метода прямоугольников (модифицированного) является точной длямногочленов первой степени и обладает вторым порядком аппроксимации. Для нее справедлива оценка:MI ab − Iˆab,пр (мод) ≤ 2 ( b − a ) h 2 ,24где M 2 = max f ′′( x) .[ a ,b ]127yf i +1f ( x)fiyyfL0 ( x )L0 ( x )i+f i +112L1 ( x)fixxi +1f i +1fixxif ( x)x 1i+xixixi +12hi +1xx i +1hi +1hi +1бваРис. 2А3.
Метод трапеций. Функция f ( x) заменяется интерполяционным многочленом первой степени L1 ( x) с узловыми значениями xi , xi +1 (рис. 2,в). Величина интегралана частичном отрезке принимается равной площади между графиком интерполяционногомногочлена и осью абсцисс – площади трапеции (произведению полусуммы основанийна высоту). В результате получим простейшую одноинтервальную квадратурную формулу третьего порядка точности:Iˆii+,тр1x i +1=∫xL1 ( x) dx = hi +1f i + f i +1i2.O(h 3 )Составная квадратурная формула метода трапеций на регулярном шаблоне сh = const имеет видf + fn ⎞ h⎛ f + f1 f1 + f 2Iˆab,тр = h ⎜ 0++ ...
+ n −1⎟ = ⎡⎣ f 0 + 2 ( f 1 + f 2 + .. + f n −1 ) + f n ⎤⎦ =22⎝ 2⎠ 2n −1⎞h⎛f i + f n ⎟⎟ .= ⎜⎜ f 0 + 22⎝i =1⎠∑Формула метода трапеций является точной для многочленов первой степени и обладает вторым порядком аппроксимации. Для нее справедлива оценка:где M 2 = max f ′′( x) .MI ab − Iˆab, тр ≤ 2 (b − a ) h 2 ,12[ a ,b ]Заметим, что порядок аппроксимации составных квадратурных формул прямоугольников и трапеций на единицу меньше порядка аппроксимации одноинтервальнойформулы.128Б. ПРИМЕНЕНИЕ ТРЕХТОЧЕЧНОГО ШАБЛОНАПусть отрезок [a, b] разбит на четное количество одинаковых частичных отрезков,т.е. n = 2k , где k − число пар.
На частичном отрезке [ x i −1 , x i +1 ] , которому соответствуеттрехточечный шаблон Ш 3,i = ( xi −1 , x i , x i +1 ) (по одной паре отрезков при r = 1, s = 1 ),функция f ( x) заменяется параболой (интерполяционным многочленом L2 ( x) второйстепени), проходящей через три заданные на шаблоне точки. В каждом методе значениеинтегралаI ii−+11x i +1=∫f ( x)dx аппроксимируется величиной Iˆii−+11 , равной площади междуx i −1графиком интерполяционного многочлена и осью абсцисс и получаемой по двухинтервальной формуле.Метод парабол. На регулярном шаблоне при h = const , подсчитывая площадь подпараболой (рис.
3), можно получить двухинтервальную квадратурную формулу парабол,или формулу Симпсона:1Iˆii+−1,пар=x i +1∫Lx i −12 ( x ) dx=h( f i −1 + 4 f i + f i +1 ) .3O(h 5 )Составная квадратурная формула метода парабол имеет видhIˆab, пар = [ f 0 + 4( f1 + f 3 + ... + f 2k −1 ) + 2( f 2 + f 4 + ... + f 2k − 2 ) + f n ] =3kk −1⎤h⎡= ⎢ f 0 + 4 ∑ f 2i −1 + 2 ∑ f 2i + f 2k ⎥ .3 ⎢⎣⎥⎦i =1i =1Подчеркнем, что в составной квадратурной формуле парабол индекс « k » указывает на число пар отрезков разбиения, которое предполагается четным ( n = 2k ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
