Решение задач по векторному анализу и теории поля (1013180), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

= 0xyz36(8.4)называется уравнением Лапласа, а его решение – гармоническими функциями. Скалярное поле u = u(x, y, z), удовлетворяющее уравнению (8.4), называется гармоническим полем.Операции grad div а и rot rot а связаны между собой соотношением rot rotа = grad div а - а,где a  Pi  Q j  Rk представляет собой вектор, проекции которого равны P,  Q,  R (P, Q, R – проекции векторной функции а ).Задача 8.1. Покпзать, что rot(u а ) = [grad u, а ] + u rot а , если u – скалярнаяфункция, а а - векторная.Решение. В символической записи на основании формулы (8.3) имеем rot(u а )= [  ,u а ].

Так как оператор  стоит перед произведением функций u и а , то,используя правило действия оператора на произведение функций, получаем[  , u а ] = [  , u а ] + [  ,u а ], где символ  указывает, на какой из сомножителей действует оператор  . В выражении [  , u а ] оператор действуеттолькона u, поэтому[  , u а ] = [  u , а ] = [  u, а ]. Здесь мы учли, что u является скалярной величиной, а значит, ее можно поставить в любое место. Однако она снабженасимволом  , поэтому u нельзя выносить за знак оператора.Рассматривая выражение [  ,u а ], мы можем скалярную величину u вынестиза знак набла и за знак векторного произведения, что дает [  ,u а ] = u [  , а ] = u[  , а ].

Таким образом, [  , u а ] = [  u, а ] + u [  , а ] или (по формулам (8.1),(8.3)) rot(u а ) = [grad u, а ] + u rot а .Задача 8.2. Доказать с помощью оператора набла, чтоdiv[ а , b ] = ( b ,rot а ) – ( а , rot b ).Решение. Учитывая формулу (8.2) и то, что оператор  действует на произведение двух функций как обычный оператор дифференцирования, имеем37div[ а , b ] = [ а ,(  , b ]) = (  ,[ а , b ]) + (  ,[ а , b ]).Слагаемые в правой части равенства представляют собой смешанное произведение трех векторов  , а и b . Воспользовавшись свойством смешанногопроизведения, получим(  ,[ а , b ]) = – (  ,[ b , а ]) == ( b ,[  , а ]) = ( b , [  , а ]) = ( b , rot а );(  ,[ а , b ]) = – ( а ,[  , b ]) = – [ а ,(  , b ]) – ( а , rot b ).Таким образом, div[ а , b ] = ( b ,rot а ) – ( а , rot b ).38СОДЕРЖАНИЕ1.

Поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент функции. 32. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения. 93. Поток векторного поля. Способы вычисления потока через незамкнутуюповерхность. ...................................................................................................114.

Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского. .......................185. Циркуляция векторного поля и линейный интеграл. .................................216. Ротор векторного поля. Формула Стокса. ...................................................257. Потенциальное векторное поле. ...................................................................318.Оператор Гамильтона.

Оператор Лапласа. .................................................. 353940.

Характеристики

Список файлов книги