Решение задач по векторному анализу и теории поля (1013180), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Дано векторное поле а = x i - y j + z2 k . Вычислить дивергенциюполя а в точке М(-1, -2, 1) и поток векторного поля через внешнюю сторонузамкнутой поверхности S, состоящей из части парпболоида x2+ y2 = 3z и частисферы x2+ y2 + z2 = 4, накрывающей параболоид (рис.6).Решение. Данное векторное поле определено и дифференцируемо во всемпространстве. Поэтому, воспользовавшись формулой (4.1), получимdiv а =P Q R= 1 – 1 + 2z = 2z,x y zа следовательно, в точке М(-1, -2, 1) div а (M) = 2. Последний результат говорито том, что в точке М есть источник, мощность которого равна 2.Анализируя полученное выражение для дивергенции данного векторного поля, приходим к выводу, что в любой точке, расположенной выше (ниже) плоскости xOy, имеется источник (сток) векторногополя а . В точках плоскости xOy (здесь z == 0) нет источников и стоков.Найдем поток данного поля по формуле (4.2)Пs( а ) =  a,n0Sds =  2zdv.VВычисляя тройной интеграл по области VРис.6.(рис.6) в цилиндрических координатах (x = rcos, y = r sin , z = z), получаем2Пs( а ) = 234r2 d   rdr 00r2 33zdz  2   4  r 2  r 2 9  rdr = 6,50(При расстановке пределов интегрирования учтено, что уравнения параболоидаи сферы в цилиндрических координатах имеют вид соответственно r2 = 3z и z20= 4  r 2 , а также то, что параболоид и сфера пересекаются по окружности r= 3 , которая получается исключением z из уравнения данных поверхностей.)Задача 4.3.

Вычислить поток векторного поля а = 2xy i - y2 j + z3 k черезвнешнюю сторону замкнутой поверхности S, состоящей из частей сферы x2 +y2 + z2 = 2Rz и конусаx 2  y 2  z 3.Решение. Данное поле а определено и дифференцируемо во всем пространстве, поэтому поток поля а можно вычислить по формуле (4.2). Согласно формуле (4.1), div а = 3z2, следовательно, Пs( а ) == 3z2dxdydz, где область V изображена на рис.7. Полученный тройной инте-Vграл удобно вычислять в сферических координатах , , , для которых элемент0 объема dv = 2 sin d d d , а уравнения сфе-ры и конуса имеют вид   2R cos  и    3соответственно. Учитывая, что для области Vугол  изменяется от 0 до 2  , угол  от 0 до 3 , а  от 0 до 2R cos  , получаем Пs( а ) =32=3  d   d 002 R cos 03=6   cos  sin d Рис.7.20192R5=530cos7  sin d  =2 cos 2   2 sin d  =153R5.32Задача 4.4.

Проверить соленоидальность поляzF  xyi  yz j  z  y   k .2Решение. Вычислим div F :212 R cos 04 d  =div F = z  xy    yz     z  y     y  z  y  z  0.xyz  2 Так как div F = 0, то поле соленоидальное.§ 5. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ.Пусть в области V заданы непрерывное векторное поле а = P i + Q j + R k иориентированная гладкая линия L (на линии указано направление ее обхода).Обозначим через 0 единичный вектор касательной к линии L , направление которого совпадает с выбранным направлением на линии.Линейным интегралом W векторного поля а вдоль линии L называетсякриволинейный интеграл первого рода от скалярного произведения векторов аи 0 :W=  a, 0 dl,(5.1)Lгде dl – дифференциал дуги линии.Линейный интеграл (5.1) может быть записан в различных видах.

Например,если ввести в рассмотрение вектор d r = 0 dl ( r - радиус-вектор точки, описывающей линию L) и обозначить его проекции на координатные оси через dx, dy,dz, то формулу (5.1) можно записать в видеW=  a, d r    Pdx  Qdy  Rdz,L(5.2)LГде вектор d r направлен по касательной к L (направление d r согласовано снаправлением обхода вдоль линии L). Правая часть равенства (5.2) есть криволинейный интеграл второго рода.Если а - силовое поле, то линейный интеграл равен работе, которую поле совершает по перемещению материальной точки вдоль ориентированной линии.22Если а = P i + Q j + R k - произвольное векторное поле, а L – замкнутая линия, линейный интеграл называется циркуляцией векторного поля а вдользамкнутой линии L и обозначается ЦL( а ):ЦL( а ) =  a, d r    Pdx  Qdy  Rdz.L(5.3)LВ дальнейшем будем считать, что в интеграле (5.3) линия L всегда обходитсяв положительном направлении.Циркуляция векторного поля характеризует вращательную способность поляна линии.

Поэтому часто говорят, что если ЦL( а ) > 0 (ЦL( а ) < 0), то линия L,расположенная в поле а , под действием силы а вращается в положительном(отрицательном) направлении. В случае, если ЦL( а ) = 0, линия L не вращается.Задача 5.1. Вычислить линейный интеграл плоского векторного поляа = (2x – y2 + 1) i + (3x + 2y2 – 10) j по линии L , соединяющей точкиА(-1, -2) и В(2, 1), если линия L есть: а) парабола x = 3 – y2 (L1 = ACB); б)прямая, соединяющая точки А и В (L2 = AB) (рис.8). Чему равна циркуляциявекторного поля по замкнутой линии АСВА?Решение. а) Согласно формуле (5.2), для данного плоского векторного поляимеемW1 =  2x  y2 1 dx  (3x  2 y 2  10)dyL1где линия L1 = ACB (рис.

6) задана явным уравнением x = 3 – y2 . Подставляя x= 3 – y2 в выражение для W1 и учитывая, что у изменяется вдоль L1 от –2 до 1,получаем1W1 =  ((2(3  y 2 )  y 2  1)(2 y )  (3(3  y 2 )  2 y 2  10))dy = - 7,5.223б) Линия L2 = AB – отрезок прямойy = x – 1, причем х изменяется от –1 до 2, следовательно,2W2=  ((2 x  ( x  1)2  1)  (3x  2( x  1) 2  10)dx = 1Рис.8.16,5.Из полученных результатов следует, что зна-чения линейного интеграла данного векторного поля а по различным линиямL1 и L2 , соединяющим одни и те же точки А и В, не совпадают.

Это обстоятельство характерно для большинства векторных полей.Для вычисления циркуляции поля сложим линейные интегралы вдоль линийL1 и L2, которые составляют замкнутую линию АСВА:ЦL( а ) = W1 + (- W2) = -7,5 + 16,5 = 9.Минус перед W2 взят потому, что направление ВА противоположно направлению АВ.Задача 5.2. Вычислить циркуляцию векторного поляа = y2 i  z 2 j  ( x 2  2 y)k вдоль линии L,получающейся в результате сечения полусферы z = = 4  x 2  y 2 цилиндромx2+ y2 = 2x.Решение. Данная линия L проецируетсяна плоскость хОу в окружностьх2 + у2 = 2х (рис.9), параметрическоеуравнение которой имеет вид x = 1 + cos t,Рис.9.y = sin t (0сфере z =линии L аппликата z =2  ). Линия L лежит на полу-4  x 2  y 2 , поэтому для точекt4  (1  cos t )2  (sin t ) 2  2 sin .224Таким образом, параметрическое уравнение линии L имеет вид: x = 1 + cos t;y = sin t; z = 2 sint2(0  t  2).Следовательно, ЦL( а ) = y dx  z22dy  ( x 2  2 y )dz =L2=  (sin 2 t ( sin t )  4 sin 20tt6  16cos t  ((1  cos t ) 2  2 sin t ) cos ) dt  .223Задача 5.3.

Вычислить работу силового поля F  (a  cos ti  b  sin t j ) вдольx2 y 2дуги эллипса 2  2  1 , z = 0abот точки А(а, 0, 0) до точки В(0, b, 0).Решение. Параметрическое уравнение данного эллипса имеет вид x == a cos t, y = b sin t, z = 0, причем точке А соответствует значение параметра tA= 0, а точке В – значение tB = =.

Так как dx = –a sin t dt, dy =2= b cos t dt, dz = 0, то по формуле (5.2) получаем:2W=–  a  cos t  a  sin t   b  sin t  b  cos t  dt=02= – (b2 – a2)  sin t cos tdt =22a b.20§6. РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ФОРМУЛА СТОКСА.Если векторное поле а = P i + Q j + R k дифференцируемо в точке М, торотором (или вихрем) векторного поля а в точке М называется вектор R Q   P R  Q P rot а = i  k, j yzzxxy25где частные производные вычислены в этой точке.В символической форме ротор записывается так:rot а =ijxPyQk.zR(6.1)Векторное поле а называется безвихревым в области V, если в каждой ееточке rot а = 0.Если векторное поле а дифференцируемо в пространственной области V и вэтой области расположен некоторый замкнутый контур L , то для любой незамкнутой поверхности S  V, опирающейся на контур L, имеет место формулаСтокса  a, d r     rota, nL0 ds,(6.2)Sгде ориентация незамкнутой поверхности S согласована с направлением обходаконтура L, т.

е. на S берется та сторона, в точках которой вектор нормалиn 0 направлен так, чтобы видимый с его конца обход контура L совершался про-тив часовой стрелки.Формула Стокса позволяет свести вычисления циркуляции векторного поляа по контуру L к вычислению потока поля rot а через незамкнутую поверх-ность S, опирающуюся на контура L (L – граница незамкнутой поверхности S).Заметим, что от этой поверхности S требуется только то, чтобы она опираласьна контур L, поэтому на практике ее следует выбирать наиболее простой формы (если есть возможность, то плоскость).

При вычислении ПS(rot а ) через выбранную поверхность S можно использовать все формулы для вычисленияПs( а ) (§3), если заменить в них вектор а на rot а . В частности, если замкнутыйконтур L накрыт незамкнутой поверхностью S, уравнение которой z = z(x, y),то26ЦL( а ) =   rota, n |z  z ( xy ) dxdy,(6.3)DxyГде плюс (минус) в том случае, если контур L обходится в положительном (отрицательном) направлении, если смотреть со стороны положительного направления оси Ох; Dxy – проекция S на плоскость хОу; n   zx i  z y j  k - векторнормали к поверхности S.Пусть векторное поле а дифференцируемо в области V и точка М V.

Есличерез точку М провести плоскость, перпендикулярную к некоторому заданномувектору n 0 , и описать в этой плоскости замкнутый контур L  V, окружающийточку М (направление обхода на L согласовано с ориентацией плоскости), топредел, к которому стремится отношение ЦL( а ) /s (s – площадь области, ограниченной L) при стягивании контура L к точке М, называется плотностью М циркуляции поля а в точке М в направлении вектора n 0 .Если к поверхностному интегралу в формуле (6.2) применить теорему осреднем, то можно показать, что М = (rot а(М ), n0 ).(6.4)Из последней формулы следует, что плотность циркуляции в точке М будетнаибольшей в том случае, когда направление вектора n 0 совпадает с направлением rot а (М).

Это значит, что направление ротора – то направление, по которому плотность циркуляции в точке максимальна, а длина ротора равна этоймаксимальной плотности циркуляции.Задача 6.1. Тело вращается вокруг оси и имеет угловую скорость  в данный момент времени t Найти ротор (вихрь) поля скоростей v точек тела в этотмомент времени.Решение. Примем ось вращения за координатную ось Ozи отложим на нейвектор  , численно равный угловой скорости  (рис.

10 ) Скорость v произвольной точки M(x, y, z) тела равна векторному произведению вектора  =  k27на радиус-вектор r  xi  y j  zk точки М.ijkv  , r   0 0   yi  x j.x y zРотор вектора v  yi  x j найдем по формуле v v y   vx vz  v y vx jrot v   z i  k.yzzxxy У нас vx  y, vy  x, vz  0. Отсюдаrot v  (  ())k  2k  2.Итак, в каждый момент времени t роторполя скоростейvточек твердого тела,вращающегося вокруг некоторой оси, равенудвоенному вектору угловой скорости тела.Задача 6.2.

Для векторного поляа = (y3 – 8yz – z) i + (yz – -x3 + 2x) j + (yx3 –2z3) k найти ротор; плотность циркуляции вточке М(2, 1, -1) по направлению единич-Рис. 10ного вектораn10 = ( i  2 j  2k )/3; наибольшую плотность циркуляции в точке М; циркуля-цию поля вдоль контура L, получаемого пересечением параболоида z = x2 + y2плоскостью z = 1 и ориентированно положительно по отношению к оси Оz.Решение. Данное поле а определено и дифференцируемо во всем пространстве.

Характеристики

Список файлов книги