Решение задач по векторному анализу и теории поля (1013180), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Следовательно, в каждой точке пространства существует ротор поля, который можно определить по формуле (6.1):rot а =ijx3y  8 yz  zyyz  x 3  2 xk= (x3 – y) i - (3yx2 + +8y +z3yx  2 z 328+ 1) j + (2 – 3x2 – 3y2 +8z) k .В точке М(2, 1, -1) rot а (М) = 7( i - 3 j - 3 k ).Плотность циркуляции данного поля в точке М по направлению вектораn10 найдем по формуле (6.4):М 77(11  3  2  3  2)  .33Наибольшая плотность циркуляции поля в точке М равна длине ротора в этойточке, т.

е.max  М = |rot а( М ) | ==7 12  (3)2  (3) 2  7 19.Построим контур (рис.11). Этот контур –окружность с радиусом, равным 1 и с центром вточке (0, 0, 1). Так как окружность лежит в плоскости z = 1, то в качестве поверхности S, накрывающей контур L, выберем часть этой плоскости, ограниченную указанным контуром.

ВекторРис.11.нормали к этой плоскости есть n  k , а роторданного поляrot a = (x3 – y) i - (3yx2 + 8y + 1) j + (2 – 3x2 – 3y2 + +8x) k .Поэтому (rot a, n ) = 2 – 3x2 – 3y2+ +8z.Учитывая, что контур L следует обходить в положительном направлении поотношению к оси Оz и взятая поверхность S однозначно проецируется на плоскость хОу в круг х2 + у2  1,По формуле (6.3) получим ЦL( а ) = +  (10 –3x2 – 3y2)dxdy =D xy2=1 d  10  3r02)rdr  = 17  /2.029Задача 6.3. Дан вектор F = x2 i  z 2 j  y 2 k и задана плоскость Р уравнением2x + y + z = 2.

Плоскость Р вместе с координатными плоскостями образует поверхность пирамиды (рис. 5). Найти циркуляцию поля вектора F вдоль линии пере сечения плоскости Р с координатными плоскостями непосредственно ипо формуле Стокса, принимая в формуле Стокса за поверхность, по которойпроизводится интегрирование, три грани пирамиды, лежащие в координатныхплоскостях. Считать положительным то направление обхода линии  , при котором точка пробегает ее по ходу часовой стрелки, если смотреть на начало координат.Решение.

Вычислим искомую циркуляцию вектора F = = x2 i  z 2 j  y 2 kвдоль линии  , т. е. вдоль линии АВСА (направление обхода этой линии указано стрелкой на рис. 5). ТогдаЦ= Fds   Xdx  Ydy  Zdz  x 2dx  z 2dy  y 2dz ABCA=  x2dx – z2dy + y2dz +ABBCx2dx – z2dy + y2dz +  x2dx – z2dy + y2dz.CAВычислим каждый из этих интегралов.На линии АВ (х = 0, dx = 0) x изменяется от 1 до 0.

Поэтому0222x dx – z dy + y dz =AB1 x dx  – 3 .21На линии ВС (x = 0, y = 2 – z, dy = – dz) z изменяется от 0 до 2. ПоэтомуBC2– z dy + y dz =   z 2 (dz )  (2  z )2 dz =22016.3На линии СА (y = 0, dy = 0) x изменяется от 0 до 1. Поэтому1CA222x dx – z dy + y dz =1 x dx  3 .201 16 1 16Отсюда циркуляция Ц = –    .3 3 3 330x2dxВычислим циркуляцию, пользуясь формулой Стокса.

По формуле Стокса Ц = n  rot Fd .Вихрь поля вектора F равен rot F =Отсюда Ц =jxx2yz2k (2 y  2 z )i.zy2 ni  2 y  2 z  d  =  ni  2 y  2 z  d  +OCA+i ni  2 y  2 z  d  +  ni  2 y  2 z  d  .OABOBCВычислим каждый из этих интегралов по поверхности. При этом мы помним,что здесь n есть единичный вектор, направленный по нормали к соответствующей поверхности грани пирамиды.На поверхности OCA вектор n  j , поэтому ni  ji  0 ,и, следовательно,интеграл по этой поверхности равен нулю.На поверхности OAB вектор n  k , поэтому ni  ki  0,и, следовательно,интеграл по этой поверхности равен нулю.На поверхности OBC  2 y  2 z  d OBC=вектор n  i, поэтому ni  ii  1.22 z00  2 y  2 z  dydz =  dz   2 y  2 z  dy =OBCТогдаЦ =16.3Результат тот же. Так и должно быть.§7.

ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ.Векторное поле а  Pi  Q j  Rk , заданное в области V, называется потенциальным, если в области V существует такая скалярная функция u, что вектор аможно представить в виде градиента этой функции:а = grad u.(7.1)31Функция u называется потенциальной функцией или потенциалом векторного поля. Для силовых полей функция u называется силовой функцией, афункция –u - потенциалом.)Если векторное поле а потенциально в области V, то для его задания достаточно одной скалярной функции – потенциала этого поля, так как из формулы(7.1) следует, что в этом случае P uuu,Q ,R .

ОтсюдаxyzPdx + Qdy + Rdz = du.Таким образом, если векторное поле а потенциально, выражение Pdx ++ Qdy + Rdz есть полный дифференциал потенциала этого поля. Критерий потенциальности векторного поля следует из теоремы:Теорема 7.1. Для того, чтобы дифференцируемое векторное поле а , заданноев области V, было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы во всехточках этой области выполнялось условиеrot а = 0.(7.2)Следовательно, для того, чтобы векторное поле потенциальным, необходимои достаточно, чтобы оно было безвихревым.Выполнение условия (7.2) в области V приводит не только к потенциальности векторного поля, но и к следующим результатам.1.

В области V существует потенциал u = u(x,y,z), который может бытьопределен с точностью до произвольного постоянного слагаемого по формулеxu(x,y,z) = P( x, y , z0x00yz)dx   Q( x, y, z0 )   R( x, y, z )dz  C.y0(7.3)z0где  x0 , y0 , z0   V - любая фиксированная точка;  x, y, z  - переменная точка вобласти V; С – произвольная постоянная.2. Циркуляция векторного поля а по произвольному замкнутому контуруL  V равна нулю.

Если же хотя бы в одной точке, внутренней по отношению кконтуру L, поле а не определено, циркуляция по этому контуру может и не обратиться в нуль, хотя поле потенциально.323. Для любых двух точек А и В в области V значение линейного интегралавекторного поля а , т. е. (а, dr ),не зависит от вида контура интегрированияАВАВ, соединяющего точки А и В и расположенного в области V, а зависит только от положения этих точек в области.4. Если u(x,y,z) – потенциал векторного поля а , то линейный интеграл этогополя вдоль любого контура АВ  V, соединяющего точки А(x0,y0,z0,) и В(x1,y1,z1),равен разности значений потенциала в конечной и начальной точках контураинтегрирования:W= (а, dr ), = u(x1,y1,z1) - u(x0,y0,z0,).(7.4)АВФизический смысл этого результата состоит в том, что еслиа - силовое поле,то разность потенциалов между точками В и А равна работе, которую поле совершает по перемещению материальной точки из А в В.Задача 7.1.

Установить потенциальность поля а = (3x2y2z –1 - 2x3) i ++ (2x3yz –1 + 3y3) j+ (z3 – x3y2z –2) k , найти его потенциал и вычислить линей-ный интеграл W поля вдоль контура L = АВ, где А(1, 2, 2),В(1, 3, 1).Решение. Данное векторное поле определено и дифференцируемо во всехточках пространства, за исключением точек плоскости z = 0, так как в этих точках координаты вектора а не определены. Исключив эти точки, получим неодносвязную область, в которой проекции вектора а непрерывны и имеют непрерывные частные производные.Так как rot а = 0, данное поле является потенциальным там, где z  0.

Найдемпотенциал поля по формуле (7.3), выбрав в качестве точки (x0,y0,z0) точку (0, 0,1): u(x,y,z) =yxz= – 2  x dx   (2 x y  3 y )dy   ( z 3  x3 y 2 z 2 )dz  C = 303031331 43x + + y4 +24+1 41z + x3y2z-1 + C1, где С1 = С - - произвольная постоянная.44Вычислим линейный интеграл W поля а вдоль линии АВ от точкиА(1, 2, 2) до точки В(1, 3, 1) по формуле (7.4):3131 1  1W =   14  34  14  13 3211  С1     14  24  24 4444 2  2 13 22 21  С1   52Следует отметить, что если точки А и В расположены по разные стороныплоскости z = 0, то формула (7.4) неприменима, так как на любой линии, соединяющей точки А и В, имеется такая точка, в которой поле а не определено.Задача 7.2. Доказать, что плоское векторное поле а = xln(1+y2) i ++ yx2(1 + y2) -1 j является потенциальным. Найти его потенциал и вычислитьлинейный интеграл W поля а от точки А(2, 3) до точки В(-4, 7).Решение.

Так как для данного поля а функции Р = x ln(1+ +y2) иQ = yx2(1 + y2) определены и дифференцируемы в любой плоскости хОу и равенство rot а = 0 выполняется тождественно, то поле а является потенциальнымна плоскости хОу. Найдем потенциал поля , выбрав в качестве точки (х0, у0)начало координат:yxu(x, y) =  x ln(1  y ) | y 0 dx   yx 2 (1  y 2 )1 dy  C 200y=x2 y(1  y2 1) dy  C =1 2x ln(12+ y2) + C.0Линейный интеграл W поля а от точки А(2, 3) до точки В(-4, 7) вычислим по21 1формуле (7.4): W =   4  ln(1  72 )  C    22 ln(1  32 )  C  =2 2= 2(4ln50 – ln10).Задача 7.3. Показать, что поле F = (x2 – 2yz) i + (y2 – 2xz) j +34+ (z2 – 2xy) k является потенциальным. Найти его потенциал.Решение. Находим rot F =ijxx 2  2 yzyy 2  2 xzkzz 2  2 xy  2  2 2 2  z  2 xy    y  2 xz   i    z  2 xy    x  2 yz   j zz y  x +   y 2  2 xz    x 2  2 yz   k = (–2x + 2x) i – (–2y + 2y) j +y x+(–2z + 2z) k = 0.Следовательно, данное поле потенциальное.Потенциал поля находим по формуле (7.3):xu(x, y, z) = x2 2 y0 z0  dx x0y y2 2 xz0  dy + z2 2 xy  dz z0y0xzyz111=  x3  2 xy0 z0    y 3  2 xyz0    z 3  2 xyz  =3 x0  3 y0  3 z0= 13 (x3 + y3 + z3) –2xyz + C,111где С = – x03  y03  z03  2 x0 y0 z0 .333§ 8.

ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА. ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА.Основные характеристики векторного анализа – градиент, дивергенция, роторназываются дифференциальными операциями первого порядка. Операции надними удобно представить с помощью оператора Гамильтона (оператора набла)ij  k.xyz35Справедливы следующие правила действий с оператором набла:1.Произведение оператора  на скалярную функцию u = u(x, y, z) дает гра-диент этой функции: u = grad u.2.(8.1)Скалярное произведение оператора  на векторную функциюa  Pi  Q j  Rk дает дивергенцию этой функции:(  , а ) = div а .3.(8.2)Векторное произведение оператора  на векторную функциюa  Pi  Q j  Rk дает ротор этой функции:[  , а ] = rot а .(8.3)Если в области V заданы скалярное поле u и векторное поле a  Pi  Q j  Rk ,причем функции u, P, Q, R дважды дифференцируемы в области V, то в этойобласти grad u и rot а представляют собой дифференцируемые векторные поля,а div а - дифференцируемое скалярное поле.

В этом случае возможны следующие операции второго порядка в векторном анализе:grad div а ; div grad u; div rot а ; rot grad u; rot rot а .С помощью оператора  можно показать, что div rot а = 0 и rot grad u = 0.Одной из основных операций второго порядка являетсяdiv grad u. Кратко эту операцию обозначают u, причем символ222  (, )  2  2  2xyzназывают оператором Лапласа. Таким образом 2u  2u  2udiv grad u =  u = 2  2  2 .xyz2u 2u 2uУравнение  u rot а = 0 или 2  2  2 .

Характеристики

Список файлов книги