Решение задач по векторному анализу и теории поля (1013180), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Найти векторные линии поля а  yi  x j  2k .10Решение. Данное поле определено и дифференцируемо во всем пространстве,так как функции P = y, Q = – x, R = – 2 (проекции вектора а ) имеют непрерывные частные производные в любой точке.Уравнение (2.3) для заданного поля принимает видdx dy dzy  x 2Интегрируя уравнениеdydx ,yxdy dz .x2dydx  , находим x2 + y2 = C2yx(C  0). Если вве-сти параметр t, получим x = C cos t,y = C sin t. С учетом этого уравнениеdy dzпримет видx2C cos tdt dz dz = 2dt  z = 2t + C1.С cos t2Таким образом, x = C cos t, y = C sin t, z = 2t + C1 - параметрическое уравнение векторных линий поля а .При фиксированном С получаем уравнение винтовой линии, расположеннойна цилиндре радиусом С с осью, совпадающей с Оz.

Вдоль каждой векторнойлинии вектор а имеет постоянную длину, которая определяется выражением|а| =y 2  x2  4  C sin t 2  C cos t   4  4  C 2 .2Если считать данное поле а полем скоростей текущей жидкости, то каждаячастица жидкости будет двигаться вдоль своей траектории с постоянной линейной скоростью.11§3.

ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОТОКАЧЕРЕЗ НЕЗАМКНУТУЮ ПОВЕРХНОСТЬ.Пусть в пространственной области V задано векторное поле а == P(x,y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k и некоторая ориентированная поверхность S.Обозначим через n 0 = cos  i + cos  j + cos  k единичный вектор нормали квыбранной стороне поверхности в ее произвольной точке. Рассмотрим поверхностный интеграл первого рода по поверхности S от скалярного произведениявектора а на вектор n 0 :  a, nS0ds =   P cos   Q cos   R cos   ds(3.1)SИнтеграл (3.1) для произвольного векторного поля а называется потокомвекторного поля через ориентированную поверхность S и обозначаетсяПs( а ):Пs( а ) =  a,n0ds(3.2)SВ случае замкнутой поверхности S в качестве n 0 берется вектор к внешнейстороне этой поверхности, а поток записывается в видеПs( а ) =  a,n0dsS12Воспользовавшись формулами (3.1), (3.2) и формулой, связывающей поверхностные интегралы первого и второго рода, будем иметьПs( а ) = Pdydz  Qdxdz  RdxdySПриведем основные свойства потока.1.

П s  ( а ) = - П s  ( а ), где S+ и S  - две стороны поверхности S.m2. Если S состоит из частей S1 , S2 , …, Sm, то Пs( а ) = =  Пsi (a) (аддитивi 1ность).Физический смысл потока зависит от природы поля а . Если, например, а поле скоростей текущей жидкости в области V и S  V – незамкнутая поверхность с выбранным направлением нормали n 0 , то Пs( а ) равен количеству жидкости, проходящей в единицу времени через поверхность S в направлении n 0 .Если а - силовое поле, то говорят, что Пs( а ) выражает количество силовых(векторных) линий, пронизывающих в единицу времени поверхность S внаправлении n 0 . Если S – замкнутая поверхность, ограничивающая некоторуюобласть G , с внешней нормалью n 0 , то Пs( а ) равен разности числа векторныхлиний, выходящих из области G , и числа векторных линий, входящих в эту область.

Когда Пs( а ) = 0, в область входит столько же линий, сколько и выходит.Если Пs( а ) > 0, из области G выходит больше линий, чем входит. Это означает,что в области G имеются источники, т.е. места, которые как бы порождаютвекторные линии. Если же Пs( а ) < 0, это указывает на наличие в области Gстоков – мест, где векторные линии исчезают.Так как поток векторного поля определяется поверхностным интегралом,способы вычисления потока сводятся к известным способам вычисления поверхностных интегралов. В некоторых случаях удобнее использовать цилиндрические и сферические координаты.13Если S – часть цилиндрической поверхности x2 + y2 = a2, ограниченной поверхностями z = z1(x, y), z = z2(x, y) (z1(x, y)z2(x, y)), то, выбирая в простран-стве цилиндрические координаты r, , z и учитывая, что на данной цилиндрической поверхности координата r = a (x = a cos, y = a sin , z = z), поток векторного поля а = P i + Q j + R k через рассматриваемую поверхность вычисляетсяпо формуле2Пs( а )= d0z2 ( a cos , a sin  ) xP  yQ  dz.(3.3)z1 ( a cos , a sin  )Пусть S –часть сферы x2 + y2 + z2 = a2, ограниченной коническими поверхностями    () и    () ( 1 ()  2 ()) и полуплоскостями    и121  2 ( 1  2 ).

Здесь  и  - сферические координаты. Тогда поток векторно-го поля а = P i + Q j + R k через рассматриваемую поверхность вычисляется поформуле22 (  )Пs( а ) =  a  d 1  xP  yQ  zR  sin d .(3.4)1 (  )В формулах (3), (4) плюс или минус берется в соответствии с выбором внешней или внутренней стороны поверхности.Задача 3.1. Вычислить поток векторного поляF= (x + у) i + 2(y + z) j +(2x+ z) k через треугольник  , вырезанный из плоскости 3x – 2y + 2z – 6 = 0 координатными плоскостями, в том направлении нормали к данной плоскости,которая образует с осью Оу острый угол (рис. 1).14 Решение. Поток П =  F , n d  .

Определим единичный вектор n , направленный понормали к данной плоскости 3x – 2y + 2z – 6 =0 и образующий с осью Оу острый угол. Дляэтого вспомним, что коэффициенты при x, y и zв уравнении плоскости являются координатамивектора, перпендикулярного к ней. Таким обра-Рис. 1зом вектор 3 i - 2 j +2 k перпендикулярен кнашей плоскости. Но он имеет отрицательную проекцию на ось Оу и, следовательно, образует с этой осью тупой угол.Возьмем противоположный вектор– 3 i + 2 j –2 k и разделим этот векторна его длину. Получим искомый единичный вектор.n = cos(n,x) i + cos(n,y) j + cos(n,z) k =3i  2 j  2k.17 Найдем теперь скалярное произведение F , n : F , n  = 3( x  y)  4( y17 z)  2(2x  z)  7 x 17y  2 z .Отсюда П =  F , n  d  = 7 x  y  2 zd.17Чтобы вычислить этот интеграл по поверхности  , заменим его двойным интегралом по проекции D поверхности  на плоскость xOy.

Элемент площадиповерхности равенd=dxdy17dxdy и на поверхности  2z = 6 – 3x+ +2y. Cледова=2cos(n, z )тельно, П = 7 x  y  (6  3x  2 y)17317dxdy =  dx   5 x  y  3  dy  5, 5.2230x 320215Если речь идет о потоке жидкости, то знак “ минус” указывает, что за единицу времени в выбранном направлении через поверхность протекает меньшееколичество жидкости, чем в противоположном.Задача 3.2. Вычислить поток векторного поля a = x i + y j - z k через верхнююсторону части поверхности z = 2 – x2 –y2, отсеченной плоскостью z = 0.Решение. Поверхность z = 2– x2 – y2 является параболоидом вращения (рис.2).

Она однозначно проецируется на плоскость xOy в область Dxy – круг радиусом R =2с центром в начале координат. Поэтому для вычисления потока применимформулу Pdydz  Qdxdz  Rdxdy =S=  a, n  |z = z(x,y)dxdy.(*)DxyТак как верхняя сторона параболоида видна состороны положительного направления оси Oz,если смотреть на плоскость xOy, то перед интегралом по области Dxy надо взять плюс.

Исходя изуравнения z = 2 – x2 – y2, находим вектор норма-Рис. 2.ли к поверхности S: n  2 xi  2 y j  k. Определимподынтегральную функцию для интеграла (*): a, n  |z  2 x 2  y 2= (2x2 +2y2- z)| z 2 x2  y2 = 3(x2 + y2) – 2.Следовательно, Пs( а ) = +  (3(x2 + y2) – 2)dxdy =D xy(перейдя2к2полярным=  d    3r 2  2  rdr  2.0016Рис.3.координатам)Задача 3.3. Вычислить поток вектора а = (4x – 3y) i + (2y – 6x) j - y2z3 k черезвнутреннюю сторону боковой поверхности части цилиндра x2 + y2 = 4, ограниченной плоскостью z = 0, параболоидом z = x2 + +y2 и расположенной в первомоктанте (рис.3).Решение.

Выберем в пространстве цилиндрические координаты: r,  , z. Тогдадля точек поверхности S (части цилиндра) r = 2, поэтому x = 2 cos  , y = 2 sin , z = z. Так как для точек поверхности S угол  изменяется от 0 до  , а ко2ордината z –от 0 до 4 (до плоскости, на которой пересекаются цилиндр x2 ++ y2 = 4 и параболоид z = x2 + y2 ), то по формуле (3.3) с учетом выбора внутренней стороны цилиндра получим2Пs( а ) = - d 02=-2(x(4x – 3y) + y(2y – 6x))dz =04 d 04(8 cos2   4 sin 2  - 18 cos  sin  ) dz = 24 (3 -  ).0Задача 3.4. Вычислить поток вектора а = x3 i - y3 j + z k через внешнюю сторону части сферы x2 + y2 + z2 = 1, которая вырезана конической поверхностью z =x 2  y 2 (рис.4).Решение.

Выберем в пространстве сферическиекоординаты: , , . Тогда для точек поверхностиS координата  = 1, поэтому x = cos  sin  , y ==sin  sin  , z = cos  . Так как для точек поверхноРис.4.сти S угол  изменяется от 0 до 2  , а при каждомфиксированном  угол  изменяется от 0 (  = 0 соответствует точке (0, 0, 1),лежащей на оси Оz) до  4 (  =  4 соответствует точкам, лежащим на конусеz=x 2  y 2 ), то с учетом выбора внешней стороны сферы по формуле (3.4)172получим Пs( а ) = + d    xx024 y ( y   zz ) sin d  =3304=  d    sin 4  cos 2  cos 2 ) sin d   = 2  (1 – 0,2502)/3.0§4.ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО.Если векторное поле а = P i + Q j + R k дифференцируемо в замкнутой области V, ограниченной гладкой или кусочно-гладкой поверхностью S, то имеетместо формула ОстроградскогоPi + Q j + Rk =S P Q R  dxdydz,xyzV где S - положительно ориентированная поверхность.Дивергенцией векторного пола а в точке М называется предел отношенияпотока поля через замкнутую поверхность S, окружающую точку М, к объемуv тела, ограниченного этой поверхностью, при стремлении диаметра dтела кнулю:div а (M) =  a, nlim0 dsSd 0.vПо знаку дивергенции можно судить о наличии источника или стока векторного поля в рассматриваемой точке М.

Так, если div а (M) > 0, то в точке М источник, а если div а (M) < 0, - то сток. Если div а (M) = 0, то источников и стоковв точке М нет. Абсолютная величина | div а (M)| характеризует мощность источника или стока в точке М.18Если векторное поле а = P i + Q j + R k дифференцируемо в области V, то влюбой точке М  V существует div а , причемdiv а =P Q R,x y z(4.1)где частные производные вычислены в точке М.С учетом равенств (3.2) и (4.1) формулу Остроградского можно записать ввекторной форме:  a,nS0ds =  divadv.(4.2)VВекторное поле называется соленоидальным (или трубчатым) в области V ,если его дивергенция равна 0 в каждой точке области. Для соленоидального поля в области V характерно следующее: в области V отсутствуют источники истоки; Пs( а ) = 0 для любой замкнутой поверхности S  V; векторные линииполя являются замкнутыми или имеют концы на границе области V.Задача 4.1.

Дан вектор F = x2 i  z 2 j  y 2 k и задана плоскость Р уравнением2x + y + z = 2. Плоскость Р вместе с координатными плоскостями образует поверхность пирамиды (рис. 5).С помощью формулы Остроградского найти потокполя вектора F через поверхность пирамиды в направлении внешней нормали.Решение. Поток поля F выражается формулойП= F nd  .Пользуясь формулой Остроградского, находимП= divFdV ,Vdiv F = 2x     z 2    y 2   2 x.xyzСледовательноРис. 519П= 2 xdV   dx V22 x  y22 x10dy0012 xdz  .3Задача 4.2.

Характеристики

Список файлов книги