Г.Г. Спирин - Механика, молекулярная физика и термодинамика (1012842), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Призаписи уравнений переноса будем полагать, что изменение этойвеличины происходит только вдоль одной из координат, например,вдоль оси ОХ.5.4 Вывод уравнений переноса на основе молекулярнокинетической теории газовВнутреннее трение (вязкость)Если скорость потока газа меняется от слоя к слою, то на границемежду смежными слоями действуют силы внутреннего трения,которые стремятся выровнять скорости слоев.Рассмотрим поток газа, распространяющийся вдоль оси ОY(рис.5.3). Его скорость изменяется непрерывно от слоя к слою позакону u = u(x). Каждая молекула газа обладает двумя типамидвижения: упорядоченным со скоростью u и хаотическим тепловымдвижением со скоростью v .Выделим воображаемую поверхность площадью S, параллельнуюскорости течения слоев газа.
За счет хаотического движения молекулыболее “быстрого” слоя, расположенного слева от поверхности,переходят в более “медленный” слой, находящийся справа, и пристолкновении передают часть своего “упорядоченного” импульсамолекулам “медленного” слоя, ускоряя их движение. Это означает, чтослой газа, расположенный справа от поверхности площадью S, будетподвергаться действию силы, направленной вдоль оси OY (по скоростиупорядоченного движения слоев газа).В то же время молекулы “правого” слоя, переходя в левый, пристолкновении забирают часть “упорядоченного” импульса у более“быстрых” молекул этого слоя, тормозя их движение.
Соответственно184на слой газа, расположенный слеваот поверхности, будет действоватьYduсила, направленная в сторону,dxпротивоположнуюскоростиuупорядоченного движения (то естьSпротивоположно оси OY). Этисилыиявляютсясиламивнутреннего трения.FКаждая молекула, проходящаяFчерез поверхность площадью S,имеет импульс m0u, определяемыйскоростьюупорядоченногодвижения в том месте, гдеX0 ххх+произошло последнее столкновениеэтой молекулы с другой. В среднемu = u(x)это соударение происходит нарасстоянии от поверхности, равномсредней длине свободного пробега.Рис. 5.3Поэтомудлямолекул,движущихся в направлении осиОХ, примем, что их скорость будет u u x , а для молекул,движущихся в противоположном направлении, - u u x , тогдаимпульс, переносимый через поверхность за одну секунду, будетppNm 0 (u xux),где N - число молекул, проходящих через поверхность площадью S ввыбранном направлении за одну секунду.Согласно второму закону Ньютона, это и есть сила внутреннеготрения, действующая между слоями газа вдоль поверхности площадьюS.
То есть силу внутреннего трения можно записать следующимобразом:(5.24)F Nm0 u xux .Найдем число молекул, проходящих за одну секунду черезповерхность S. Упрощенно представим, что молекулы движутся вдольтрех взаимно перпендикулярных осей ОХ, OY, OZ со среднейарифметической скоростью v хаотического движения. Так какнаправления движения равновероятны, то одна треть всех молекулдвижется вдоль оси ОХ, причем половина из них - в положительномнаправлении. Соответственно, через поверхность площадью S за одну185секунду как справа налево, так и слева направо будет проходитьследующее число молекул:1(5.25)Nn v S.6Подставляя (5.25) в (5.24), получаем выражение для силывнутреннего трения в виде:F1n v Sm0 u x6ux.(5.26)Так как средняя длина свободного пробега молекул очень мала,разность скоростей в выражении (5.26) можно представить черезградиент скорости газа du dx :du.dxУчитывая, что произведение nm0 равно плотности газазаписать1duFvS.3dxВеличина1v .3называется коэффициентом вязкости (внутреннего трения).С учетом (5.28) выражение (5.27) принимает видuxux2, можно(5.27)(5.28)duS,(5.29)dxи называется формулой Ньютона для силы внутреннего трения.Из уравнения (5.29) следует, что коэффициент вязкости численноравен силе внутреннего трения, действующей на единицу площадиповерхности соприкасающихся слоев газа при единичном градиентескорости.
В СИ коэффициент вязкости измеряется в кг/(м с).Поскольку сила трения направлена вдоль поверхности,разделяющей слои газа, то направления силы трения и градиентаскорости всегда взаимно перпендикулярны (рис.5.3). Поэтомууравнение (5.29) определяет только величину (модуль) силы трения.Следует заметить, что формула Ньютона (5.29) справедлива также идля жидких сред, однако в этом случае вместо выражения (5.28)необходимо использовать другие зависимости для расчетакоэффициента вязкости .F186ТеплопроводностьЭто процесс передачи теплоты от более нагретого слоя газа к менеенагретому за счет хаотического теплового движения молекул.РассмотримявлениеQтеплопроводности.Пустьтемпература газа изменяется вдольdTоси ОХ по закону Т = Т(х), как этоdxпоказано на рис.5.4.
ВследствиеТ=Т(х)различия температуры слоев средняякинетическая энергия молекул газаSбудеттакжеразлична.Присоударении молекул в процессе иххаотического теплового движенияпроисходит обмен кинетическойэнергией, что и обуславливаетпередачу тепла в направленииубывания температуры.Выделим поверхность площадью0 х–Xхх+S, перпендикулярную оси ОХ.Рис. 5.4Посколькупроцесстеплопроводности не сопровождается макроскопическим движениемсреды, то количество молекул, пересекающих эту поверхность за однусекунду слева направо и справа налево, будет одинаковым.
Оноопределяется формулой (5.25).Согласно закону равномерного распределения энергии по степенямсвободы, каждая молекула обладает средней кинетической энергией,вычисляемой по формуле (4.27):ikT2c Vудm 0T,(5.30)где i - число степеней свободы молекулы, c Vуд - удельная теплоемкостьгаза при постоянном объеме.Как видно из выражения (5.30), средняя энергия молекулысоответствует температуре газа в том месте, где произошло еепоследнее столкновение с другой молекулой. Следовательно,молекулы, движущиеся в направлении оси ОХ, обладают энергией, соответствующей температуре Т х , а молекулы, движущиесяxв противоположном направлении, - энергией х , соответствующейтемпературе Т х . Тогда количество теплоты, переносимое черезповерхность S за одну секунду (тепловой поток), запишется в виде187Q N(xx)1удn v Sc Vm 0 (Tx6Tx).(5.31)Разность температур в уравнении (5.31) можно выразить черезградиент температуры dT dx :ТхТх2dT.dxУчитывая, что n m0 = , выражение (5.31) можно записать в виде1уд dTv cVS.3dxОтсюда имеем формулу для определениятеплопроводности в газах:Q(5.32)коэффициента1уд(5.33)v cV.3Подставляя (5.33) в (5.32), получаем закон Фурье, определяющийколичество теплоты Q, переданное вследствие теплопроводности черезповерхность площадью S, перпендикулярную оси ОХ, за время :dT(5.34)S ,dxИз закона Фурье следует, что коэффициент теплопроводностичисленно равен количеству теплоты, проходящему через единицуплощади поверхности за единицу времени при единичном градиентетемпературы.ВСИединицейизмерениякоэффициентатеплопроводности является Вт/(м К).Знак минус в уравнении (5.34) обусловлен тем, что переносколичества теплоты всегда осуществляется в сторону уменьшениятемпературы.
Градиент же по определению всегда направлен в сторонуувеличения соответствующей величины.QДиффузияЭто процесс выравнивания концентраций газов, которыйсопровождается переносом массы соответствующего компонента газаиз области с большей в область с меньшей концентрацией.Рассмотрим простейший случай диффузии газов, когда компонентыдвух газов мало отличаются друг от друга по массе молекул и ихэффективному диаметру. Такой процесс называется самодиффузией.Предположим, что концентрация одного из компонентов газаизменяется вдоль оси ОХ по закону n = n(x) (рис.5.5).
Выделимповерхность площадью S, перпендикулярную оси ОХ. Вследствие188Mddxn=n(х)Sнеодинаковости концентраций числомолекулэтогокомпонента,проходящих в процессе хаотическоготепловогодвижениячерезповерхность S за одну секунду вположительном (N ) и отрицательном(N ) направлениях, будет различно.Соответственно, масса компонентагаза, переносимая через поверхностьS за одну секунду, запишется в видеM = m0(N – N ).Исходяизупрощенныхпредставлений,числомолекул,0 х–X пересекающих поверхность S за однухх+секундуврассматриваемомнаправлении, определяется формулойРис.
5.5(5.25).Посколькувсреднемпоследнее соударение молекул происходит на расстоянии отповерхности, равном длине свободного пробега, молекулы,движущиеся в положительном направлении, будут иметьконцентрацию n x , а молекулы, движущиеся в противоположномнаправлении, - концентрацию n x .Следовательно,1(5.35)Mv Sm 0 (n xn x ).6Зная, что n m0 = , выражение (5.35) можно представить в видеM1v S(6xx).Выражая разность плотностей рассматриваемого компонента газаdчерез градиент плотности:dxd2,xxdxполучаем уравнение диффузии1d(5.36)МvS.3dxСогласно (5.36) можно записать формулу для расчета коэффициентадиффузии D1891(5.37)v .3Подставляя (5.37) в (5.36), получаем закон Фика, определяющиймассу компонента газа, переносимую через поверхность площадью S,перпендикулярную оси ОХ, за времяd(5.38)MD S.dxКоэффициент диффузии численно равен массе данного компонента,переносимой через единицу площади поверхности за единицу временипри единичном градиенте плотности.
В СИ коэффициент диффузииизмеряется в м2/с.Знак минус в уравнении (5.38) обусловлен тем, что перенос массыосуществляется в сторону уменьшения концентрации (плотности) газа,а градиент по определению всегда направлен в сторону увеличениясоответствующей величины.D5.5 Зависимость коэффициентов переноса оттермодинамических параметров газаВыражения (5.28), (5.33) и (5.37) позволяют с учетом соотношений(5.14), (5.21) и (5.22) найти зависимости коэффициентов вязкости,теплопроводности и диффузии от давления и температуры газа.Например, зависимость коэффициента вязкости от температуры идавления получаем, подставляя выражения для v (5.14) и (5.21) вформулу (5.28)1 8RT1.32 d 2эфnУчитывая, что= n mo, имеемm0const T.(5.39)2 πd 2эфФормула (5.39) показывает, что от давления газа коэффициентвязкости не зависит.С помощью формул (5.33), (5.21) и (5.14) можно доказать, чтозависимость коэффициента теплопроводности от параметров газа такаяже, как и коэффициента вязкости.Для коэффициента диффузии, подставляя в формулу (5.37)выражения для v (5.14) и (5.21), имеемη1 8RT3 πμ190D1 8RT31,2 d 2эфnили с учетом (5.22):D1 8RT3T3 2const.тkT2 d 2эф P(5.40)Определив опытным путем любой коэффициент переноса, можнооценить среднюю длину свободного пробега , число соударений заодну секунду z, а также эффективный диаметр молекул газа d эф .ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 29(к)Распределение МаксвеллаЦель работы: экспериментальное подтверждение с помощьюкомпьютерной модели распределения молекул идеального газа поскоростям и определение молярной массы исследуемого газа.Методика измеренийРаспределение молекул газа по скоростям согласно (5.10) имеет видdN vNF( v)dv ,(5.41)где dNv – число молекул, скорость которых находится в интервале от vдо v + dv, F(v) – функция распределения Максвелла (5.11):F( v)m02 kT32expm0v22kT4 v 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
