Г.Г. Спирин - Механика, молекулярная физика и термодинамика (1012842), страница 25
Текст из файла (страница 25)
цикла Карно.177РАЗДЕЛ 5Распределения Максвелла и Больцмана.Явления переносаСуществует два подхода к описанию физических свойств систем,состоящих из большого числа частиц. С одной стороны, можноиспользовать термодинамическийметод,при которомнерассматриваются внутреннее строение изучаемой системы и характердвижения отдельных частиц.
При этом состояние системы описываетсянабором термодинамических параметров (давление, температура, объем,концентрация и т.д.), характеризующих состояние системы в целом.С другой стороны, можно использовать статистический метод,основанный на использовании теории вероятностей. С точки зрениямолекулярной физики термодинамические параметры есть некиесредние величины, характеризующие состояние системы в целом,которые могут быть определены из законов движения атомов илимолекул на основе статистической физики. Статистическиезакономерности изучаются с помощью теории вероятностей.В теории вероятностей существует понятие случайного события,которое в результате опыта (или какого-либо действия) может какпроизойти, так и не произойти.
Вероятность случайного события естьколичественная мера ожидаемой возможности его появления. Так, еслипроизведено N опытов, то при большом их числе вероятность wiкакого-либо событияN(5.1)w i lim i ,NNгде Ni - число опытов, в которых произошло данное событие.В молекулярной физике в качестве опыта можно рассматриватьизмерение той или иной физической величины (например, скорости,импульса, энергии и т.д.) и в этом случае событием будет являтьсяравенство результата измерений определенному значению.Поскольку для всех возможных событий в данных опытахNi N , то приходим к условию:wiNiN1NNi 1.(5.2)Формула (5.2) носит название условия нормировки вероятности.Перейдем к случаю, когда характеризующая событие случайнаявеличина х может принимать непрерывный ряд значений (например,скорость хаотического движения частиц). Теперь уже можно говоритьне о вероятности совершения того или иного события, а о вероятности178получения результата в диапазоне от х до х + dх.
Рассматривая малыйинтервал значений dx, имеемdN(5.3),Nгде dw - вероятность получения результата в интервале от х до х + dх,dN - число опытов, в которых получен результат от х до х + dx.Ясно, что вероятность dw пропорциональна ширине интервала dx,то естьdw f ( x )dx ,(5.4)dwгде функция f(x), с помощью которой можно аналитически рассчитатьвероятность dw, носит название функции распределения вероятностейили плотности вероятности.
ТогдаdN = N f(x)dx.(5.5)Свойства функции распределения:1. Условие нормировки. Согласно (5.2) дляраспределения результата получаем (если х меняется отf ( x )dx 1 .dwнепрерывногодо )(5.6)Из выражения (5.6) следует, что площадь под графиком функцииf(x) (рис.5.1) во всем диапазоне изменения х равна единице.2. Вероятность w получения результата, лежащего в диапазоне отх1 = а до х2 = b определяется по формуле:bf(x)wf ( x )dx.(5.7)aКакпоказанонарис.5.1,вероятность w представляет собойплощадь под графиком функции f(x) вдиапазоне изменения х от а до b.Для числа опытов N, в которыхполучаем интересующий нас результатот а до b, согласно (5.5) имеемwabxРис. 5.1bNN f ( x )dx.(5.8)aВообще говоря, интегрирование ведется во всем диапазоне значений х, вчастности, это может быть и (0, ∞) для модуля скорости или энергии и т.д.1793. Зная функцию распределения f(x), можно найти среднее значениерезультатов измерения величины х.
Среднее значение любой функции(х) вычисляется по формуле(x)( х ) f ( x ) dx.(5.9)5.1 Распределение МаксвеллаРассмотрим газ в состоянии теплового равновесия при температуреТ. Молекулы газа находятся в беспорядочном, хаотическом движении.Скорости молекул могут быть самыми различными и случайнымобразом изменяться при столкновении с другими молекулами.Перейдем к изучению закономерностей распределения молекул газапо скоростям. Рассмотрим распределение молекул по величине(модулю) скорости v.Согласно (5.3) и (5.4) вероятность dwv того, что величина скоростиу произвольно взятой молекулы находится в интервале от v до v + dv,равнаdN v(5.10)dw vf ( v)dv.NЗдесь dN v - число молекул, скорости которых лежат в интервале от vдо v + dv; N - суммарное число молекул в газе.Вид функции распределения f(v) был получен Максвеллом(см.рис.5.2)f ( v)m02 kT32expm0 v 22kT4 v2 ,где m0 - масса молекулы газа, Т - температура газа, k = 1,38 10- постоянная Больцмана.f(v)0dNNf(v)dvv v+dvvРис.5.2(5.11)23Дж/К180Для относительного числа молекул, имеющих величину скорости вдиапазоне от v до v + dv, согласно (5.10) получаем так называемоераспределение Максвелла по модулю скоростиdw vdN vNm02 kT32m0 v 22kTexp4 v 2dv.(5.12)С помощью распределения Максвелла можно рассчитатьхарактерные скорости молекул.1.
Наиболее вероятная скорость vв находится из условия, чтофункция f(v) максимальна, то естьdf ( v)0dvПодставляя (5.11) и производя преобразования, получаем2kTm0vв2RT,(5.13)где R = 8,31 Дж/(моль К) - универсальная газовая постоянная,молярная масса газа.2. Средняя арифметическая скорость молекул находится согласноформуле (5.9) интегрированиемv8kTm0v f ( v) dv08RT.(5.14)3. Средняя квадратичная скорость молекулы по определению равнаvср.квv2 .(5.15)Находим согласно (5.9) выражение для v2 :3kT.m00Следовательно, с учетом определения (5.15), имеемv2vср.квv2 f ( v) dv3kTm03RT.(5.16)5.2 Распределение БольцманаДо сих пор мы считали, что на молекулы газа не действуютвнешние силы.
Теперь рассмотрим распределение частиц во внешнемпотенциальном поле. Если поле отсутствует, то каждая молекула газа181может с равной вероятностью оказаться в любой точке пространства,занятого газом, то есть концентрация молекул будет везде одинакова.Как показал Больцман, при наличии внешнего потенциального полявероятность dw x, y,z того, что молекула (взятая наугад) окажется вэлементе объема dV = dxdydz вблизи точки с координатами x, y, zdw x , y, zdN x , y, zNB expU ( x , y, z )dxdydz ,kT(5.17)где dN x , y,z - число молекул, у которых координата х лежит в пределахот х до х + dx, при этом y лежит в пределах от y до y + dy и координатаz в пределах от z до z + dz; U(x,y,z) - потенциальная энергия молекулыво внешнем силовом поле.Из формулы (5.17) следует, чтоdN x , y, zdxdydzn ( x, y, z) BN expU( x, y, z),kTгде n(x, y, z) - концентрация молекул в в физически малом объемевблизи точки (x, y, z).Полагая n(x0, y0, z0) = n0, где n0 - концентрация газа там, гдеU(x0, y0, z0) = 0, получаем распределение Больцмана в общем видеn ( x, y, z) n 0 expU( x, y, z).kT(5.18)В качестве примера рассмотрим распределение газа в атмосфереЗемли (считая температуру постоянной).
Для молекулы газа вблизиповерхности ЗемлиU(x, y, z) = m0gz,где z - высота над поверхностью Земли.Тогда концентрация молекул на высоте z:n (z) n 0 expm0gz,kT(5.19)где n0 - концентрация молекул у поверхности Земли.Используя уравнение состояния идеального газа P = nkT, получимзависимость атмосферного давления от высотыP(z) P0 expm0gz,kTкоторая называется барометрической формулой.(5.20)1825.3 Физические основы явлений переноса в газахЯвления переноса обусловлены хаотическим движением молекулгаза, которые, переходя из одних точек пространства в другие,переносят присущие им импульс, энергию и массу.
К таким явлениямотносятся: внутреннее трение или вязкость (обусловленная переносомимпульса), теплопроводность (обусловленная переносом энергии) идиффузия (обусловленная переносом массы вещества).Определяющую роль в явлениях переноса играют столкновениямолекул в процессе их хаотического движения, вследствие чего всеявления переноса протекают со скоростями, существенно меньшимискорости теплового движения.Для изучения движения молекул газа удобно использовать модельдвижения твердых упругих шаров, которые в промежутках междустолкновениями перемещаются по инерции равномерно ипрямолинейно. В момент столкновения происходит изменениескорости их движения как по величине, так и по направлению.Введем некоторые количественные характеристики.Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновениицентры молекул, называют эффективным диаметром dэф молекул.
Приувеличении температуры газа эффективный диаметр молекулуменьшается, однако в первом приближении в небольшом интервалетемператур dэф можно считать величиной постоянной для данного газа.Другой характеристикой является средняя длина свободногопробега молекул, то есть среднее расстояние, которое молекулыпробегают между двумя последовательными столкновениями:1,(5.21)2 d 2эф nгде n - концентрация молекул газа, т.е. число молекул в единицеобъема. При известных температуре Т и давлении Р газа она можетбыть определена из уравнения состояния идеального газа:Pn.(5.22)kTЗа одну секунду молекула газа пробегает расстояние, равное еесредней скорости. Следовательно, среднее число столкновениймолекулы за одну секунду z будет равноv(5.23)z,где v - средняя арифметическая скорость теплового движениямолекул газа (5.14):183v8kTm08RT.Явления переноса возникают при нарушении равновесия в системе,носят необратимый характер и стремятся привести систему вравновесное состояние.
Они вызваны неодинаковыми значениямикакой-либо величины в пространстве. Так, внутреннее трение вызваноразными скоростями течения слоев газа, теплопроводность - разностьютемператур слоев, диффузия - переменной концентрацией частицвещества.Неоднородность в пространстве значений величины может бытьзадана с помощью ее градиента - вектора, характеризующегоизменение этой величины при перемещении на единичную длину инаправленного в сторону наиболее быстрого ее возрастания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
