Методические указания к выполнению РГР по математичскому анализу (1012831)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ(государственный технический университет)Н. И. САВОСТЬЯНОВАМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯк выполнению расчетно-графической работыпо математическому анализуРекомендовано учебно-методической комиссиейкафедры "Математическая кибернетика" МАИдля студентов 4 факультетаI курс, I семестрМосква2009Оригинал-макет подготовлен Слободской П.С. и Никаноровой Е.А.Оглавление1. Типовой вариант расчетно-графической работы2.
Построение кривой, заданной в параметрической форме или в полярной системе координат (методическиеуказания к п. I расчетно-графической работы)2.1. Параметрические задание кривой2.2. Построение кривой в полярной системе координат3. Исследование функции f (x) на непрерывность3.1. Исследование функции f (x ) на непрерывность в точке (методические указания к п.
II а)3.2. Исследование функции f (x ) на непрерывность на промежутке (методические указания к п. II б)4. Комплексные числа, действия над ними, решение уравнений в комплексной области (методическиеуказания к п. III а, б)4.1. Основные определения4.2.
Арифметические действия над комплексными числами4.3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа4.4. Алгебраические действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Решениеуравнений5. Исследование функции и построение ее графика (методические указания к п. IV)6. Дифференцирование функций многих переменных и его приложения6.1. Исследование на экстремум функции u = f ( x, y , z ) (методические указания к п. V а)6.2. Геометрические приложения (методические указания к п. V б)7. Геометрические приложения определенного интеграла (методические указания к п.
VI)8. Отыскание области сходимости степенного ряда (методические указания к п. VII)Литература1. Типовой вариант расчетно-графической работыI.Построить кривую: x = 3 cos t , y = 2 sin t .IIа. Исследовать функцию f (x ) на непрерывность в указанной точке x 0 , если11, x0 = − .3x + 13Построить график f (x) в окрестности точки x 0 .f ( x) =IIб. Исследовать f (x) на непрерывность на данном промежутке; построить график f (x) на этомпромежутке, если⎧ x + 3, − 2 ≤ x < 0,⎪f ( x) = ⎨1, x = 0,⎪ 2⎩ x , 0 < x ≤ 2.⎛z ⎞IIIа. Вычислить: z1 z 2 , arg z 2 , Re( z1 z 22 ) , Im⎜ 1 ⎟ , если⎜z ⎟⎝ 2⎠z1 = 1 − i , z 2 = 3 + i .IIIб. Решить уравнение: z 3 = −2 + 2i .IV.
Исследовать функцию f ( x) и построить ее график, еслиf ( x) =x3x 2 −1.Vа. Исследовать функцию u ( x, y, z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + 4 xy − 4 yz − 4 x + 4 z .Vб. Найти grad f ( M ) и производную в направлении grad f ( M ) , еслиf ( x, y, z ) = x 3 + 2 xy 2 + 3 yz 2 , в точке M (0, 1, 1) .VI. Найти площадь, ограниченную осью OX и одной аркой циклоиды: x = a (t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) .VII.
Найти область сходимости степенного ряда∞( x − 2) n∑ (n + 1) ln(n + 1) .n =12. Построение кривой, заданной в параметрической формеили в полярной системе координат(методические указания к п. I расчетно-графической работы)Условие: построить кривую. Кривая задана либо в параметрической форме, либо в полярной системекоординат.2.1. Параметрическое задание кривой⎧ x = x(t ) → X — множество значений функции x(t ),⎪⎨ y = y (t ) → Y — множество значений функции y (t ),⎪t ∈ T— множество значений параметра t.⎩Для функции y (x) множество X есть область определения, множество Y — область значений.
Криваястроится в декартовой системе координат по точкам с использованием табл. 1.Таблица 1ytxt0x(t 0 )y (t 0 )………⎧ x = 3 cos t ,Пример 1. Построить кривую ⎨заданную в параметрической форме.⎩ y = 2 sin t ,Решение.Заметим, что t ∈ [0;2π ] , так как T = 2π — период для функций x(t ) и y (t ) .При этом: x = [− 3;3] , y = [− 2;2] , так как −1 ≤ cos t ≤ 1 и −1 ≤ sin t ≤ 1 .В данном случае можно получить дополнительные сведения о кривой, исключив параметр t :⎧x⎪⎪ 3 = cos tx2 y2⇒+= 1 , так как cos 2 t + sin 2 t = 1 .⎨y94⎪ = sin t⎪⎩ 2Пусть точка ( x; y ) лежит на этой кривой, т.е. для нее справедливо(− x) 2y2x2 y2+= 1 , но тогда точка (− x; y ) также94x2 y2+= 1 . Это означает, что кривая симметрична9494относительно оси OY . Аналогично точка ( x;− y ) также лежит на кривой, отсюда следует симметрия кривойотносительно оси OX .Эта двойная симметрия позволяет построить кривую в одной четверти плоскости OXY и затем отразитьотносительно осей OX и OY .Составим таблицу:лежит на этой кривой, так какТаблица 2ytx03π3 362π3 242π332π02+≈ 2,6012≈ 2,13 ≈ 1,732 ≈ 1,432= 1 , илиНайденные точки лежат в I-ой четверти: от точки (3;0) на оси OX до точки (0;2) на оси OY .
Строим поточкам график в первой четверти и отражаем симметрично. Результат изображен на рис. 1.y21−30x1 2 3−2Рис. 1⎧t3,⎪x =⎪1+ t2Пример 2. Построить кривую ⎨заданную в параметрической форме.t2⎪⎪⎩ y = 1 + t 2 ,Решение.Заметим, что t ∈ (−∞;+∞); x(0) = 0 ; y (0) = 0 ;Вычислим пределы:⎫t3lim x(t ) = lim= +∞ ⎪2t → +∞t → +∞ 1 + t⎪⎬ ⇒ X = (−∞;+∞) ;3t⎪lim x(t ) = lim= −∞ ⎪t → −∞t → −∞ 1 + t 2⎭⎫= 1⎪t →∞t →∞ 1 + t 2⎪⎬ ⇒ Y = [0;1) .2t⎪y (t ) =≥0⎪21+ t⎭lim y (t ) = limt2Составим таблицу:txy−28−54−11−215200011212Таблица 33282,7540,95Из табл.
3 видно, что кривая симметрична относительно оси OY . Строим график по точкам в первой четвертии отражаем симметрично. Результат изображен на рис. 2.yy =110,90,80,5−3- 2 −1,6 −1 −0,50 0,5Рис. 21 1,622,7 3x2.2. Построение кривой в полярной системе координатM (r; ϕ )rточка O — полюс, OP — полярная ось,r и ϕ — полярные координатыϕOPРис.
3r ≥ 0 - расстояние от точки M на плоскости до точки O (полярный радиус);0 ≤ ϕ < 2π , ϕ - угол между OM и OP (полярный угол). В точке O угол не определен.Уравнение кривой: r = r (ϕ ) , ϕ ∈ [a; b] .Кривая существует только для тех значений ϕ , для которых r (ϕ ) ≥ 0 . При построении на луче ϕ 0 от точки Oоткладывают расстояние r0 = r (ϕ 0 ) , повторяя эту процедуру для всех ϕ ∈ [a; b] .Пример 1. Построить кривую r = a (1 + cos ϕ ) , где a > 0 .Решение.Так как −1 ≤ cos ϕ ≤ 1 , то r ≥ 0 при всех ϕ ∈ [0;2π ) .Здесь можно также заметить, что r (−ϕ ) = r (ϕ ) : a(1 + cos(−ϕ )) = a (1 + cos ϕ ) , а это означает, что криваясимметрична относительно полярной оси (рис.
4).r (ϕ )ϕOP-ϕr (−ϕ )Рис. 4Поэтому можно составить таблицу для ϕ ∈ [0; π ] , а затем использовать симметрию относительно полярной оси.Таблица 4ϕ0r2aπ4a(1 +2)2≈ 1,7 aπ3π2a4a(1 −π2)20≈ 0,3aϕ=ϕ=3π2ϕ=4aϕ=πππ41,7 a0Рис. 5Полученная кривая называется кардиоидой (рис. 5).a2aPПример 2. Построить кривую r = sin 2ϕ .Решение.Найдем те значения ϕ , для которых sin 2ϕ ≥ 0 : 0 ≤ 2ϕ ≤ π ; 0 ≤ ϕ ≤π2, или на всей оси: πk ≤ ϕ ≤2+ πk , k ∈ Z .3πи π ≤ϕ ≤, так как полярный угол ϕ ∈ [0;2π ) .22Функция r = sin 2ϕ имеет период T = π , так как sin 2(ϕ + π ) = sin 2ϕ , поэтому значения для r на лучах ϕ иϕ + π одинаковы.На отрезке [0;2π ] получаем два промежутка: 0 ≤ ϕ ≤ππ⎡ π⎤Таблицу сделаем для ϕ ∈ ⎢0; ⎥ :⎣ 2⎦ϕrТаблица 50πππ6012124132π5ππ312203212На лучах (ϕ + π ) откладываем расстояние r (ϕ ) .ϕ=πϕ=2ϕ=5ππ3ϕ=12π4ϕ=ϕ=ϕ=ϕ=π12π6ϕ=01+π12+ππ4+πϕ=ϕ=π35π+π12+πϕ=Рис.
63π2=π2+ππ6π12ϕ =0P3. Исследование функции f (x) на непрерывностьПри исследовании функции на непрерывность следует вычислить ее односторонние пределы в точке разрыва иохарактеризовать разрыв.Разрыв I рода: односторонние пределы существуют и конечны. Если они при этом и равны, то разрывназывают устранимым (если функция не определена в точке).Разрыв II рода: хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.3.1. Исследование функции f(x) на непрерывность в точке(методические указания к п.
II а)Исследовать f (x) на непрерывность в указанной точке; начертить график функции f (x) вблизи точкиразрыва.Пример 1. f ( x) =11, x =− .3x + 1 03Решение.1Вычисляем односторонние пределы:⇒ x 0 = − – точка разрыва II рода.31lim f ( x) = lim= −∞;11x→ − − 0x→ − − 0 3x + 13lim1x→ − + 033f ( x) =1= +∞ ;1x → − + 0 3x + 1lim3График f (x) изображен на рис. 7.y−1130xРис. 7Пример 2. f ( x) =sin xx, x0 = 0 .Решение.Вычисляем односторонние пределы:sin xsin xlim f ( x) = lim= lim= −1 ;x→ − 0x→ − 0 xx→ − 0 − x⇒ x 0 = 0 – точка разрыва I рода.lim f ( x) = limx→ + 0x→ + 0sin xx= limx→ + 0sin xxГрафик f (x) изображен на рис. 8.=1;y10x−1Рис. 8xПример 3. f ( x) =22 9− x, x0 = 3 .Решение.xНайдем знаки функцииx9− x2-+:-+−3x30x→ −∞ при x → 3 + 0 .9− x9 − x2Тогда при вычислении односторонних пределов имеем:откуда ясно, что2→ +∞ при x → 3 − 0 иxf (3 − 0) = lim f ( x) = lim22 9− xf (3 + 0) = lim f ( x ) = lim22 9− xx→ 3 − 0x→ 3 − 0= +∞ ;⇒ x 0 = 3 – точка разрыва II рода.xx→ 3 + 0x→ 3 + 0= 0;График f (x) изображен на рис.
9.y03xРис. 9Пример 4. f ( x) =x 2 − 3x + 2x 2 −1, x0 = 1 .Решение.Заметим, что x 0 - точка разрыва, так как f (x) не определена в этой точке.Вычисляем односторонние пределы:( x − 1)( x − 2)x 2 − 3x + 21f (1 − 0) = lim= lim=− ;2x→1 − 0x → 1 − 0 ( x − 1)( x + 1)2x −1f (1 + 0) = limx→1 + 0x 2 − 3x + 22x −1= limx→1 + 0( x − 1)( x − 2)( x − 1)( x + 1)=−12.1Очевидно, f (1 − 0) = f (1 + 0) = − , следовательно, x 0 = 1 - точка устранимого разрыва I рода.2График f (x) изображен на рис. 10.y0−1x12Рис. 103.2. Исследование функции f(x) на непрерывность на промежутке(методические указания к п. II б)Исследовать f (x) на непрерывность на промежутке; построить график функции f (x) на этом же промежутке.Здесь следует исследовать точки, в которых f (x) не определена; точки, в которых f (x) слева и справа заданапо-разному, а также концы промежутка, если они входят в промежуток.⎧ x + 3, − 2 ≤ x < 0;⎪Пример 1.
f ( x) = ⎨2, x = 0;⎪ 2⎩ x , 0 < x ≤ 2.Решение.Исследуем поведение функции в точках x = 0 , x = −2 , x = 2 .Следует отметить, что f (x) непрерывна на (−2;0) и (0;2) , так как совпадает на этих интервалах снепрерывными функциями x + 3 и x 2 .x = −2 :Вычисляем предел справа:f (−2 + 0) = lim f ( x) = lim ( x + 3) = 1 ;x→ − 2 + 0x→ − 2 + 0f (−2) = 1 ⇒ f ( x) непрерывна справа в точке x = −2 , так как f (−2 + 0) = f (−2) .x = 0:Вычисляем односторонние пределы:lim f ( x) = lim ( x + 3) = 3⎫x→ − 0x→ − 0⎪⎬ ⇒ x = 0 – точка разрыва I рода.2lim f ( x) = lim x = 0 ⎪x→ + 0x→ + 0⎭x = 2:Вычисляем предел слева:lim f ( x) = lim x 2 = 4 ;x→ 2 − 0x→ 2 − 0f (2) = 4 ⇒ f ( x) непрерывна слева в точке x = 2 , так как f (2 − 0) = f (2) .Замечание. В точке x = −2 считаем только предел справа, так как слева от x = −2 функция f (x) не задана, а вточке x = 2 — только предел слева, так как справа от x = 2 функция не задана.График f (x) изображен на рис.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
