Методические указания к выполнению РГР по математичскому анализу (1012831), страница 2
Текст из файла (страница 2)
11.y43y = x+3y = x221−20−11x2Рис. 11⎧− 2 x, − 3 ≤ x ≤ 0,⎪Пример 2. f ( x) = ⎨ 1⎪ , 0 < x < 2.⎩xРешение.Функция f (x ) непрерывна на множестве (−3;0) ∪ (0;2) , так как совпадает с непрерывными функциями −2 x и1x.Исследуем точки x = −3 , x = 0 , заметив, что точку x = 2 не исследуем, так как она не относится к областизадания функции.x = −3 :Вычисляем предел справа:f (−3 + 0) = lim f ( x) = lim (−2 x) = 6 ;x→ − 3 + 0x→ − 3 + 0f (−3) = 6 ⇒ f ( x) непрерывна справа в точке x = −3 , так как f (−3 + 0) = f (−3) .x = 0:Вычисляем односторонние пределы:lim f ( x) = lim (−2 x) = 0 ;x→ − 0x→ − 0⇒ x = 0 – точка разрыва II рода.1lim f ( x) = lim = +∞ ;x→ + 0x→ + 0 xГрафик f (x) изображен на рис. 12.y6y = −2 xy=1x1−3−2−10Рис. 121122x4.
Комплексные числа, действия над ними,решение уравнений в комплексной области(методические указания к п. III а, б)4.1. Основные определенияОпределение 1: Выражение вида z = x + yi , где x, y ∈ R , i 2 = −1 называется комплексным числом. Число iназывают при этом мнимой единицей, а саму форму записи – алгебраической.Из определения ясно, что число i обладает качественно новым свойством по сравнению с действительнымичислами, так как квадрат любого действительного числа - величина неотрицательная. Множество комплексныхчисел обозначают Ñ .Определение 2: В выражении z = x + yi действительное число x называется действительной частьюкомплексного числа и обозначается Re z (от слова "real" – действительный), а действительное число y - мнимойчастью комплексного числа и обозначается Im z (от слова "imaginaire" – мнимый).
При этом всегда соблюдаетсяуказанный порядок записи.Пример 1. Для числа z = −2 + 3i имеем Re z = −2 , Im z = 3 .Задачи:1. Для числа z = 5 − i найти Re z и Im z .Ответ: Re z = 5 , Im z = −1 .2. Записать комплексное число z , если известно, что Im z = −2 , Re z = −7 .Ответ: z = −7 − 2i .Определение 3: Комплексные числа z1 = x1 + y1i и z 2 = x 2 + y 2 i называются равными, если x1 = x 2 и⎧⎪ x1 = x 2. В частности, z = 0 означает: x = 0 и y = 0 .
Заметим, что понятия больше иy1 = y 2 , т.е. z1 = z 2 ⇔ ⎨⎪⎩ y1 = y 2меньше для комплексных чисел не существуют.Из определения следует, что числа z = x + 0i = x являются действительными числами, т.е. R ⊂ C . При этомчисла z = 0 + yi ( y ≠ 0 ) принято называть чисто мнимыми.Определение 4: Для комплексного числа z = x + yi число x − yi называется сопряженным и обозначается z ,т.е. z = x − yi .Пример 2. Для данных комплексных чисел записать сопряженные к ним.а) 2 − 3i = 2 + 3i ;б) − 1 + 2i = −1 − 2i ;в) − 5 − i = −5 + i ;г) 0 − 3i = 0 + 3i = 3i .4.2.
Арифметические действия над комплексными числамиДля чисел z1 = x1 + y1i и z 2 = x 2 + y 2 i сложение, вычитание, умножение и деление выполняются как наддвучленами вида a + bt , где a и b - данные числа. При этом роль величины t играет мнимая единица i иучитывается, что i 2 = −1 , а также, что результатом является комплексное число, записанное в алгебраическойформе.1) z1 + z 2 = x1 + y1i + x 2 + y 2 i = x1 + x 2 + ( y1 + y 2 )i ;2) z1 − z 2 = x1 + y1i − ( x 2 + y 2 i ) = x1 − x 2 + ( y1 − y 2 )i ;3) z1 z 2 = ( x1 + y1i )( x 2 + y 2 i ) = x1 x 2 + x1 y 2 i + x 2 y1i + y1 y 2 i 2 = x1 x 2 − y1 y 2 + ( x1 y 2 + x 2 y1 )i , так какy1 y 2 i 2 = − y 1 y 2 .Заметим, что число z z ∈ R .
Действительно, z z = ( x + yi)( x − yi) = x 2 − ( yi) 2 = x 2 − y 2 i 2 = x 2 + y 2 ∈ R . Яснотакже, что z z ≥ 0 . Это свойство помогает выполнить операцию деления.4)z1z2=x1 + y1ix2 + y2i; для получения результата в виде z = x + yi необходимо избавиться от мнимой единицы взнаменателе, что достигается домножением и числителя, и знаменателя на z 2 .
Итак,z1z2=x1 + y1ix2 + y 2i=( x1 + y1i )( x 2 − y 2 i )( x 2 + y 2 i )( x 2 − y 2 i )=x1 x 2 − x1 y 2 i + x 2 y1i − y1 y 2 i 2x 22+y 22=x1 x 2 + y1 y 2x 22+y 22+x 2 y1 − x1 y 2x 22 + y 22Заметим, что нет необходимости запоминать формулы для получения z1 z 2 илиz1z2i.. Эти действия дляконкретных z1 и z 2 выполняются непосредственно.Примеры: пусть z1 = 2 − i , z 2 = −3 + 2i .1.
Найти Re ( z1 z 2 ) .Решение.z1 = 2 + i , тогда z1 z 2 = (2 + i )(−3 + 2i ) = −6 + 4i − 3i + 2i 2 = −8 + i ⇒ Re ( z1 z 2 ) = −8 .⎛z ⎞2. Вычислить Im⎜ 1 ⎟ .⎜z ⎟⎝ 2⎠Решение.⎛zz1(2 − i )(−3 − 2i )(2 − i )(−3 − 2i ) − 6 − 4i + 3i + 2i 2 − 8 − i2−i8 1==== − − i ⇒ Im⎜ 1==⎜z131313 13z 2 − 3 + 2i (−3 + 2i )(−3 − 2i )(−3) 2 + 2 2⎝ 2⎞⎟=− 1 .⎟13⎠3. Вычислить z 2 − z1 .Решение.−3 + 2i − (2 − i ) = −3 + 2i − 2 + i = −5 + 3i .4.3.
Алгебраические действия над комплексными числами1. Операция возведения в степень ( z n ) вводится как и для действительных чисел: z n = z⋅ z⋅ ...⋅z , n∈ N .n ñîìíîæèòåëåéИнтересно рассмотреть степени числа i :i1 = i ,i 2 = −1 ,i 3 = i 2 i = −i ,i 4 = i 2i 2 = 1 .Тогдаi 4 n = (i 4 ) n = 1 ,ni 4 n +1 = i 4 i = i ,ni 4 n + 2 = i 4 i 2 = −1 ,ni 4 n +3 = i 4 i 3 = −i .При возведении z в степень естественно пользоваться формулами (a + b) 2 , (a − b) 2 , (a + b) 3 , (a − b) 3 .Пример 1. Вычислить (−1 + 2i ) 2 .Решение.( −1 + 2i ) 2 = ( −1) 2 + 2 ⋅ ( −1) ⋅ 2i + (2i ) 2 = 1 − 4i + 4i 2 = 1 − 4i − 4 = −3 − 4i .Пример 2.
Вычислить (2 + i ) 3 .Решение.( 2 + i ) 3 = 2 3 + 3 ⋅ 2 2 ⋅ i + 3 ⋅ 2 ⋅ i 2 + i 3 = 8 + 12i − 6 − i = 2 + 11i .⎛ z2 ⎞Пример 3. Найти Im⎜ 1 ⎟ , если z1 = −1 + i , z 2 = 1 + 3i .⎜z ⎟⎝ 2⎠Решение.z12 = (−1 + i ) 2 = 1 − 2i + i 2 = −2i ;z12z2=− 2i (1 − 3i )− 2i (1 − 3i ) − 2i + 6i 2− 2i==== − 0,6 − 0,2i ;1 + 3i (1 + 3i )(1 − 3i )1+ 910⎛ z2Im⎜ 1⎜z⎝ 2⎞⎟ = −0,2 .⎟⎠Задачи для самостоятельного решения⎛z ⎞1. Найти Im⎜ 1 ⎟ , если z1 = 2 − 3i , z 2 = 2 + i .⎜ z2 ⎟⎝ 2⎠17.Ответ:252. Вычислить z13 z 22 , если z1 = 3 + i , z 2 = 1 − 2i .Ответ: 18 + 26i .⎛z ⎞3. Найти Re⎜ 1 ⎟ , если z1 = −1 + i 163 , z 2 = 2 − i .⎜ z2 ⎟⎝ 2⎠7. Указание: число z1 надо сначала записать в алгебраической форме, используя степени числа i .Ответ: −25Из приведенных примеров ясно, что возведение в степень n > 3 потребует больших вычислений, поэтому втаком случае используют другие методы, которые мы рассмотрим дальше.2.
Операция извлечения корня n-ой степени из комплексного числа вводится как операция, обратнаявозведению в степень.Определение: Корнем n -ой степени из данного комплексного числа z называется такое число w , что w n = z ,w∈C .Таким образом, если z = x + yi и w = u + vi , то (u + vi ) n = x + yi . Здесь x и y - известные числа, а u , v искомые.Возводя в степень левую часть и используя определение равенства комплексных чисел, получаем системууравнений относительно неизвестных u , v . Однако решение этой системы часто бывает затруднительно. Поэтому,как и в случае возведения z в высокую степень, целесообразно использовать другие методы, связанные стригонометрической формой записи комплексного числа.4.4.
Тригонометрическая форма записи комплексного числаПри рассмотрении алгебраической формы записи комплексного числа z = x + yi отмечался определенныйпорядок записи. Поэтому упорядоченная пара чисел ( x; y ) однозначно определяет комплексное число z , но онатакже однозначно определяет точку плоскости, если на ней введена декартова прямоугольная система координат.Тогда естественно изображать комплексные числа точками плоскости, при этом плоскость называют комплексной.YyMr0Рис.
13ϕxXТочка M ( x; y ) изображает на комплексной плоскости комплексное число z = x + yi . Однако положение точкиM ( x; y ) на плоскости также можно задать длиной r вектора OM и величиной ϕ угла между положительнымнаправлением оси OX и вектором OM (рис. 13).Определение: Расстояние r = OMназывается модулем комплексного числа z (обозначение z ). Угол ϕназывается аргументом числа z (обозначение arg z ).Ясно, что z ≥ 0 , а −π < arg z ≤ π . Значение arg z на этом промежутке называют также главным значениемаргумента.
Заметим, что при повороте луча OM на угол 2πk ( k = ±1, ± 2,... ) по часовой стрелке или против нееточка M придет в исходное положение. В связи с этим вводится понятие – все значения аргумента (обозначаетсяArg z ). Тогда Arg z = ϕ + 2πk = arg z + 2πk , k = 0,±1,±2,... .Это понятие очень важно для операции извлечения корня n -ой степени из числа z .y( x ≠ 0 ). При определении arg zИз определения ясно, что для числа z = x + yi модуль z = x 2 + y 2 , tg ϕ =xиз последнего уравнения следует учитывать, в какой четверти расположена соответствующая точка:y⎧⎪arctg , x > 0,x⎪y⎪⎪π + arctg x , x < 0, y ≥ 0,⎪y⎪arg z = ⎨− π + arctg , x < 0, y < 0,x⎪⎪π⎪ , x = 0, y > 0,⎪2⎪ π⎪− , x = 0, y < 0.⎩ 2При решении примеров удобно пользоваться схемой, изображенной на рис.
14.yIIϕ = π + arctgIyxϕ = arctgIIIϕ = − π + arctgyxxIVyxϕ = arctgyxРис. 14Пример. Найти модули и аргументы комплексных чисел z1 = 1 − i и z 2 = −3 + 2i .Решение.1) z1 = 12 + (−1) 2 = 2 ;tg ϕ1 =−1π= −1 ; точка M (1;−1) ∈ IV-ой четверти ⇒ ϕ1 = − .14Итак, z1 = 2 , ϕ1 = arg z1 = −π4.2) z 2 = (−3) 2 + 4 = 13 ;2⎛ 2⎞; точка M (−3;2) ∈ II-ой четверти ⇒ ϕ 2 = arctg⎜ − ⎟ + π = π − arctg (см. рис. 14).−333⎝ 3⎠2Итак, z 2 = 13 , ϕ 2 = arg z 2 = − arctg + π .3tg ϕ 2 =2=−2Здесь следует учитывать, что для ∀b ∈ R справедливы свойства −π< arctg b <πи arctg(−b) = − arctg b .22Надо заметить, что декартовы координаты ( x; y ) точки M и ее полярные координаты (r ; ϕ ) связаны междусобой (см. рис. 13): x = r cos ϕ , y = r sin ϕ .Тогда z = x + yi = r cos ϕ + r sin ϕ ⋅ i = r (cos ϕ + i sin ϕ ) , т.
е.z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) .Последняя запись называется тригонометрической формой записи комплексного числа z .Примеры. Представить данные числа z ( z = x + yi ) в тригонометрической форме.1. z = −2 + 2i .а) r = z = (−2) 2 + 2 2 = 8 = 2 2 ;б) tg ϕ =2−2= −1 , так как точка (−2;2) ∈ II-ой четверти, то ϕ = π + arctg(−1) = π −в) z = 2 2 (cos3π4+ i sin3π4π 3π(см. рис. 14).=4 4).2. z = −1− 3i .а) r = z = 1 + 3 = 2 ;2ππ− 3= 3 , так как точка (−1;− 3 ) ∈ III-ей четверти, то ϕ = −π + arctg 3 = − π + = −(см.
рис. 14).33−1⎛ 2π ⎞⎛ 2π ⎞в) z = 2(cos⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ) .3⎝⎠⎝ 3 ⎠б) tg ϕ =3. z = 4 − 7i .а) r = z = 16 + 49 = 65 ;−77⎛ 7⎞, так как точка (4;−7) ∈ IV-ой четверти, то ϕ = arctg⎜ − ⎟ = − arctg .444⎝ 4⎠77в) z = 65 (cos(− arctg ) + i sin( − arctg )) .44б) tg ϕ ==−7Заметим, что в этой записи нельзя сделать упрощения с учетом четности функции cos x и нечетности функцииsin x , так как в этом случае нарушится тригонометрическая форма записи комплексного числа.Задачи для самостоятельного решенияПредставить данное число z = x + yi в тригонометрической форме.1. z = − 4 − 3i33Ответ: z = 5(cos(arctg − π) + i sin(arctg − π)) .442.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
