Методические указания к выполнению РГР по математичскому анализу (1012831), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой L : r = a cos ϕ (0 ≤ ϕ ≤π2), вокругполярной оси.Решение. Кривая задана в полярной системе координат, поэтому используем формулу из пункта 3). Здесьr = a cos ϕ , r ′ = −a sin ϕ , тогдаr 2 (ϕ ) + (r ′(ϕ )) 2 = a 2 cos 2 ϕ + a 2 sin 2 ϕ = a > 0.Поэтомуππ22ππ21S p = 2π a cos ϕ sin ϕ a dϕ = 2πa 2 sin ϕ cos ϕ dϕ = πa 2 sin 2ϕ dϕ = πa 2 (− ) cos 2ϕ | 2 =02000∫∫=−πa 22(cos π − cos 0) = −∫πa 22(−1 − 1) = πa 2 .8. Отыскание области сходимости степенного ряда(методические указания к п. VII)Условие: найти область сходимости степенного ряда.Для решения этой задачи следует:1) записать ряд из абсолютных величин u n ;найти интервал сходимости, применяя к ряду из абсолютных величин либо признак Даламбера, либо2)∞признак Коши.
Известно, что эти признаки применимы для рядов∑ u n , где u n > 0. При этом, по признакуn =0Даламбера вычисляют limu n +1n →∞un= q , а по признаку Коши lim n u n = q. Полученный предел для сходимостиn →∞ряда должен быть меньше единицы.3) исследовать граничные точки интервала.∞Пример 1. Найти область сходимости ряда( x − 3) 2 n.2nn =2 (3n − 5n) 4∑Решение.1.
Общий элемент ряда из абсолютных величин имеет вид:un =x−32n(3n 2 − 5n)4 n.2. Применим признак Даламбера. Так какu n+1 =x −32 ( n +1)(3(n + 1) 2 − 5(n + 1))4 n +1=x−32n+2=(3n 2 + 6n + 3 − 5n − 5)4 n+1x−32n+2(3n 2 + n − 2)4 n +1,то вычислимlimn →∞=u n +1n →∞unx−3= limx−32n+2(3n 2 + n − 2)4 n +1⋅(3n 2 − 5n)4 nx−32n= limn →∞x−324⋅3n 2 − 5n3n 2 + n − 2= lim3n 2 − 5nn →∞ 3n 2+n−2=1 =24сходимости.2< 1; x − 3 < 4 ⇒ x − 3 < 2, или −2 < x − 3 < 2 ⇒ 1 < x < 5 − интервал сходимости, R = 2 − радиус3. Исследуем граничные точки.Подставляя x = 5 в исходный степенной ряд, получим числовой ряд∞(5 − 3) 2 n∞2 2n∞1∑ (3n 2 − 5n)4 n ∑ (3n 2 − 5n)2 2n ∑ 3n 2 − 5n ;n=2=n=2=n=2123n − 5n> 0, n ≥ 2.Для исследования этого ряда на сходимость применим признак сравнения. Возьмем ряд с общим элементом1Vn = 2 .
Этот ряд сходится. Вычислимn11n21 ⎞⎛⎟⎟ = limlim ⎜⎜:= ≠ 0 ⇒ изучаемый ряд сходится.222n → ∞⎝ 3n − 5n n ⎠n →∞ 3n − 5n3Подставляя x = 1 в исходный степенной ряд, получим числовой ряд∞∞(1 − 3) 2 n∞(−2) 2 n∞(−1) 2 n 2 2 n1∑ (3n 2 − 5n)4 n = ∑ (3n 2 − 5n)4 n = ∑ (3n 2 − 5n)2 2n = ∑ 3n 2 − 5n ;n=2n=2n=2n=2Этот ряд уже изучен: он сходится.Ответ: 1 ≤ x ≤ 5 - область сходимости ряда.∞Пример 2. Найти область сходимости ряда( x − 2) n.n =1 ( n + 1) ln(n + 1)∑Решение.1. Общий элемент ряда из абсолютных величин имеет вид:un =x−2n(n + 1) ln(n + 1).2.
Применим признак Даламбера. Вычислимu n+1 =limx−2и(n + 2) ln(n + 2)u n +1n→∞n +1x−2= limn →∞unn +1(n + 1) ln(n + 1)(n + 2) ln(n + 2) x − 2n= lim x − 2 ⋅n →∞n + 1 ln(n + 1)⋅= x − 2 < 1, R = 1, тогда −1 < x − 2 < 1, илиn + 2 ln(n + 2)1 < x < 3 − интервал сходимости.3. Исследуем граничные точки.Подставляя x = 3 в исходный степенной ряд, получим числовой ряд с общим элементомun =(3 − 2) n(n + 1) ln(n + 1)=1n(n + 1) ln(n + 1)=1(n + 1) ln(n + 1)≥ 0.Применим интегральный признак:11f ( n) =⇒ f ( x) => 0, непрерывная, невозрастающая на [1;+∞].(n + 1) ln(n + 1)( x + 1) ln( x + 1)Вычислим∞1∫ ( x + 1) ln( x + 1)b1b → + ∞ ∫ ( x + 1) ln( x + 1)dx = lim1b11bd (ln( x + 1)) = lim (ln ln( x + 1) ) | =1b → + ∞ ∫ ln( x + 1)b→ +∞dx = lim1= lim (ln ln(b + 1) − ln ln 2 ) = ∞ ⇒ интеграл расходится, следовательно, изучаемый ряд расходится.b→ +∞Подставим x = 1.
Общий элемент ряда u n имеет вид:(1 − 2) n(−1) n=− ряд с таким общим элементом - знакочередующийся; сначала изучим(n + 1) ln(n + 1) (n + 1) ln(n + 1)его на абсолютную сходимость.un =un =(−1) n(n + 1) ln(n + 1)=1(n + 1) ln(n + 1)− ряд с таким общим элементом изучен, он расходится. Тогда исходный∞ряд изучим на условную сходимость: так как ряд1∑ (−1) n (n + 1) ln(n + 1)n =1un =1(n + 1) ln(n + 1)→ 0 при n → ∞, то сравним u n и u n +1 .
Здесьзнакочередующийся иu n +1 =11<= u n ⇒ по признаку Лейбница ряд условно сходится.(n + 2) ln(n + 2) (n + 1) ln(n + 1)Ответ: 1 ≤ x < 3 − область сходимости ряда.∞Пример 3. Найти область сходимости ряда(2n − 1) 2 n∑ (−1) n+1 (3n − 2) 2n ( x − 1) n ;n =1Решение.1. Общий элемент ряда из абсолютных величин имеет вид(2n − 1) 2 nnun =x −1 > 0 ;2n(3n − 2)2. Применим признак Коши, так как все выражение в степени, зависящей от n.(2n − 1) 249lim n u n = lim x − 1= x −1 < 1 ⇒ x −1 < ,2n →∞n→∞94(3n − 2)9R=;−9< x −1 <9⇒−5<x<13− интервал сходимости.4 44443. Изучим граничные точки.13Подставляя x =в исходный степенной ряд, получим числовой ряд с общим элементом4n(2n − 1) 2 n ⎛ 9 ⎞⎜ ⎟ − ряд с таким общим элементом – знакочередующийся.(3n − 2) 2 n ⎝ 4 ⎠Изучим его на абсолютную сходимость:u n = (−1) n +12nn⎛ 2n − 1 ⎞ ⎛ 9 ⎞=⎜⎟ ⎜ ⎟ ;⎝ 3n − 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠un⎛ 2n − 1 ⎞u n = lim ⎜⎟n →∞⎝ 3n − 2 ⎠n→∞Тогда вычислимlimn2nlim u nn→∞=elim2n9⎛ 2n − 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞= lim ⎜⎟ ⎜ ⎟n →∞⎝ 3n − 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠2nn→∞ 6n −4=2e3= 1, т.
е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости.42n⎛ 6n − 3 ⎞= lim ⎜⎟n →∞⎝ 6n − 4 ⎠2n⎛ 6n − 4 + 1 ⎞= lim ⎜⎟n → ∞⎝ 6 n − 4 ⎠2n1 ⎞⎛= lim ⎜1 +⎟n → ∞⎝6n − 4 ⎠(6 n − 4)12n6n −4=≠ 0 ⇒ ряд расходится, так как для сходящегося ряда lim u n = 0.n →∞5Подставляя x = − в исходный степенной ряд, получим числовой ряд с общим элементом4u n = (−1) n+1n2n(2n − 1) 2 n ⎛ 9 ⎞⎛ 2n − 1 ⎞⎛3⎞⎜ − ⎟ = (−1) n+1 ⎜⎟ (−1) n ⎜ ⎟2n−432n(3n − 2) ⎝⎠⎝⎠⎝2⎠2n⎛ 2n − 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞= −⎜⎟ ⎜ ⎟⎝ 3n − 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠2n2n2n⎛ 2n − 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞= (−1) 2 n +1 ⎜⎟ ⎜ ⎟⎝ 3n − 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠2n=2n− общий элемент знакоотрицательного ряда, который получен из ряда с общим2n⎛ 2n − 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞элементом ⎜⎟ ⎜ ⎟ , рассмотренным в первой граничной точке, умножением на (−1).
Известно, что⎝ 3n − 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠умножение ряда на число, не равное 0, не меняет его поведения в смысле сходимости. Поэтому изучаемый рядрасходится.Ответ: −513< x < − область сходимости ряда.44Литература1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление.- М: Наука, 1988.2.Методические указания по математике «Действительные и комплексные числа» для слушателейподготовительных курсов и подготовительного отделения / Молодожникова Р.Н., Якимова А.С.; под ред.Р.Н.
Молодожниковой. - М.: МАИ, 1985.3.Задачи и упражнения по математическому анализу (для ВТУЗОВ) // Под ред. Б.П. Демидовича. М: Наука, 1969..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
