rpd000003197 (1012246), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Выполняя частотную фильтрацию данных с целью сглаживания и очистки от шума, необходимо правильно выбрать полосу пропускания ФНЧ. Если ее выбрать слишком большой, то степень сглаживания будет недостаточной, а шум будет подавлен не полностью. Если полоса пропускания будет слишком узкой, то вместе с шумом могут оказаться подавленными и изменения, несущие полезную информацию. Если в технических приложениях существуют строгие критерии для определения оптимальности характеристик фильтров, то в аналитических технологиях приходится использовать в основном экспериментальные методы.

Спектральный анализ является одной из наиболее эффективных и хорошо разработанных методов обработки данных. Частотная фильтрация – только одно из его многочисленных приложений. Кроме этого он используется в корреляционном и статистическом анализе, синтезе сигналов и функций, построении моделей и т.д.

Лекция 11.doc

Лекция 11. Методы обработки и анализа стохастических сигналов.

Стохастическими называются сигналы (процессы), развитие которых во времени или пространстве подчиняется вероятностным законам. Иными словами, в каждом новом опыте, проводимом в неизменных условиях, всякий раз процесс принимает новое значение, причем заранее неизвестно, какое. Существует большое число разнообразных классификаций случайных процессов. Представляется целесообразным выделить те их разновидности, которые встречаются в экспериментальных исследованиях или полезны как достаточно удобная математическая модель, адекватная реальным процессам.

С этих позиций целесообразно разделить все стохастические сигналы на две группы [23]:

• случайные процессы;

• случайные поля.

Ранее в главе 1 при обсуждении классификации экспериментальных данных были приведены определения каждого из этих типов стохастических сигналов. С целью сохранения связности изложения повторим их.

Скалярный случайный процесс X(t)- есть функция неслучайного скалярного аргумента t (времени), которая при каждом фиксированном значении последнего является случайной величиной. Векторный случайный процесс – это совокупность нескольких скалярных случайных процессов, рассматриваемых совместно X(t)=( X₁(t), X₂(t),…, X_n(t))^Т

Случайные функции, аргументом которых являются векторы, называются случайными полями, обозначаемыми как X(l₁,l₂,….,l_k,t). Причем, если аргументы случайного поля представлены только координатами пространства l₁,l₂,….,l_k, то такое случайное поле называется пространственным. Если же в состав аргументов случайного поля входит также и время t, то случайное поле называется пространственно-временным. Наиболее часто на практике встречаются двумерные X(l₁,l₂,), и трехмерные X(l₁,l₂,,l₃) случайные поля. К случайным полям такого типа относятся двумерные (плоские) и трехмерные изображения.

11.1. Основные характеристики случайных процессов.

Описание статистических свойств случайного процесса X(t) базируется на рассмотрении множества случайных величин X₁ =X(t₁), X₂ =X(t₂) ,…., X_n =X(t_n), соответствующих значениям процесса в различные моменты времени t_i,i=1,..n на интервале его изменения (рис. 5.4). Считается [23], что случайный процесс исчерпывающе описан в статистическом смысле, если известны:

p(X₁,t₁)- одномерная плотность вероятностей значений случайного процесса в момент времени t= t₁.

p(X₁,t₁; X₂,t₂)- двумерная совместная плотность распределения вероятностей значений случайного процесса в моменты времени t= t₁, t= t₂.

p(X₁,t₁;X₂,t₂;…. ;X_n,t_n)- многомерная совместная плотность распределения вероятностей значений случайного процесса в моменты времени t= t₁, t= t₂,….. t=t_n при n  ).

Одномерная плотность распределения вероятностей p(X₁,t₁)-определяет вероятность попадания значений случайного процесса X(t) в момент времени t= t₁ в интервал [₁,_1]:

Двумерная плотность p(X₁,t₁; X₂,t₂) позволяет определить вероятность того, что значения случайного процесса X(t) в моменты времени t= t₁ , t= t₂ будут лежать в интервалах [₁,₁], [₂,₂]:

Соответственно, многомерная плотность p(X₁,t₁;X₂,t₂;…. ;X_n,t_n) позволяет определить вероятность того, что значения случайного процесса X(t) в моменты времени t= t₁, t= t₂,….. t=t_n будут находится внутри n-мерного параллелепипеда, со сторонами [₁,₁], [₂,₂],….,[_n,_n]:

В отношении рассмотренных плотностей вероятностей имеют место следующие предельные свойства

lim p(X₁,t₁;X₂,t₂)= p(X₁,t₁),

t₂-t₁0

lim p(X₁,t₁;X₂,t₂)= p(X₁,t₁) p(X₂,t₂).

t₂-t₁

Для статистического описания случайных процессов могут также использоваться условные плотности распределения вероятностей. Условная плотность вероятностей p(X_j,t_j/X^*_i,t_i) характеризует распределение вероятностей случайного процесса в момент времени t= t_{j } t_i при условии, что в момент времени t= t_j наблюдалось конкретное значение (реализация) случайного процесса равное X(t_i)= X^*_i. Соответственно, условная плотность p(X_n,t_n / X^*₁,t₁;X^*₂,t₂;…. ;X^*_n-1,t_n-1) характеризует плотность распределения вероятностей значений случайного процесса в момент времени t=t_n при условии, что в предшествующие моменты времени t= t₁, t= t₂,….. t=t_n-1 наблюдались конкретные значения случайного процесса равные: X(t₁)= X^*₁, X(t₂)= X^*₂,….., X(t_n-1)= X^*_n-1.

Рассмотренное понятие плотности распределения вероятностей, как наиболее исчерпывающей характеристики статистических свойств случайных процессов позволяет провести их классификацию в зависимости от тех свойств, которыми обладают их совместные безусловные и условные плотности вероятностей.

1. Абсолютно случайный процесс. Процесс X(t) называется абсолютно случайным, если его значения X_i=X(t_i), X_j =X(t_j) независимы при сколь угодно малом t= t_i - t_j. Совместная плотность p(X₁,t₁;X₂,t₂;…. ;X_n,t_n) распределения значений абсолютно случайного процесса X(t) в моменты времени t= t₁, t= t₂,….. t=t_n равна произведению одномерных плотностей:

p(X₁,t₁;X₂,t₂;…. ;X_n,t_n)= p(X₁,t₁) p(X₂,t₂)…. p(X_n,t_n).

2. Марковский случайный процесс. Зададим на интервале [t₀,t_k] возможного изменения аргумента t случайного процесса X(t) временной ряд: t₀  t₁ ……  t_k. Случайный процесс X(t) называют марковским, если в отношении его справедливо соотношение для любых t_j:

p(X_j,t_j / X₀,t₀;X₁,t₁;…. ;X_j-1,t_j-1)= p(X_j,t_j / X_j-1,t_j-1).

То есть специфика марковского случайного процесса проявляется в том, что для него условная плотность случайной величины X_j= X(t_j) зависит только от того, каким было значение случайной величины X_j-1= X(t_j-1) в предшествующий момент и не зависит от того, какими были реализации случайного процесса в предыдущие моменты t_j-2,t_j-3,… t₀. Плотность p(X_j,t_j / X_j-1,t_j-1)называют переходной плотностью вероятностей марковского случайного процесса. Для марковского случайного процесса, учитывая его свойство, справедливо:

p(X₀,t₀;X₁,t₁;…. ;X_n,t_n)= p(X₀,t₀) p(X₁,t₁ / X₀,t₀) p(X₂,t₂ / X₁,t₁)… p(X_n,t_n / X_n-1,t_n-1).

Иными словами, для исчерпывающего описания марковского случайного процесса достаточно задать его начальную одномерную плотность вероятностей p(X₀,t₀) и переходные плотности p(X_j,t_j / X_j-1,t_j-1).Среди марковских случайных процессов выделяют марковские случайные процессы с независимыми приращениями. Случайный процесс X(t) называют процессом с независимыми приращениями, если для любых значений t₀  t₁ ……  t_k., выбранных на интервале [t₀,t_k] приращения X_j= X(t_j)- X(t_j-1), j=1,…,k – независимые случайные величины. Очевидно, что любой случайный процесс с независимыми приращениями также является марковским, поскольку значение случайной величины X(t_j) в конце каждого интервала t_j= t_j- t_j-1 определяется предыдущим значением X(t_j-1) и приращением на этом интервале X_j , не зависящим от приращений на предшествующих интервалах.

3. Гауссовский случайный процесс. В практических приложениях достаточно широкое распространение получили гауссовские случайные процессы. Процесс X(t) называется гауссовским, если совместная плотность распределения вероятностей p(X₁,t₁;X₂,t₂;…. ;X_n,t_n) при любом n и любых t₁,t₂,,….,t_n является гауссовской.

11.2. Корреляционный анализ случайных процессов.

При практической обработке экспериментальных данных для анализа случайных процессов , как и для описания случайных величин, часто используют их моментные характеристики, получение которых не сопряжено с такими трудностями, как получение на основе экспериментальных данных оценок многомерных плотностей распределения.

Простейшей моментной характеристикой случайного процесса X(t) является математическое ожидание m_X( t ), представляющее собой неслучайную функцию времени t. Математическое ожидание случайного процесса m_X(t) связано с одномерной функцией плотности p(X,t) следующим соотношением:

.

То есть математическое ожидание характеризует лишь среднее значение случайного процесса X(t) по времени. Оно не содержит в себе информацию ни о том, каков разброс значений возможных реализаций случайного процесса, ни о степени статистической взаимосвязи (корреляции) возможных реализаций случайного процесса в различные моменты времени. Предположим, что в результате проведенных экспериментальных исследований накоплены реализации Xⁱ(t), i=1,…,N случайного процесса X(t). Тогда выборочная оценка математического ожидания m*_X(t) может быть получена следующим образом:

Характеристики

Список файлов учебной работы