rpd000003061 (1012241), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Пусть - оптимальное управление на всем интервале , , , - оптимальные управления соответственно на интервалах то есть

Покажем, что выполняется следующий принцип оптимальности:

а значит,

Действительно, если допустить что управление на каком-либо участке, например, на втором не совпадает с оптимальным управлением , тогда и, как следствие, , что противоречит смыслу как оптимального управления.

В соответствии с изложенным выше принципом оптимальности на каждом участке оптимальной траектории должны выполняться необходимые условия оптимальности. В частности:

1) для участка выхода на ограничения необходимые условия оптимальности имеют вид

,

В результате использования необходимых условий оптимальности получим

2) для участка движения вдоль границы области допустимых состояний необходимые условия оптимальности имеют вид

,

где - вектор, составленный из любых компонент вектора , таких, что матрица - неособенная (имеет отличный от 0 определитель), - гамильтониан.

В результате использования необходимых условий оптимальности для данного участка получим

3) для участка схода с границы области допустимых состояний необходимые условия оптимальности приобретают вид

,

В результате использования необходимых условий оптимальности получим

Для того, чтобы на основе приведенных выше необходимых условий оптимальности найти оптимальное управление и рассчитать оптимальную траекторию динамической системы необходимо определить условия, которым должен удовлетворять сопряженный вектор в точках перехода с одного участка траектории на другой. В теории оптимального управления строго доказано, что для рассматриваемого случая имеют место следующие условия:

,

где - вектор размера , значения которого определяются в процессе расчета оптимальной траектории.

.

Отсюда следует важная особенность задач с ограничениями в виде неравенств, которая проявляется в том, что сопряженный вектор претерпевает разрыв в момент выхода траектории на границу области допустимых состояний, поэтому условие, связывающее сопряженные векторы и называется условием скачка.

ТЕМА 7.doc

Тема 7. Вырожденные задачи оптимального управления. Особое управление.

В общем случае под вырожденной задачей понимают такую, в которой оптимальное управление не может быть получено из условия максимума гамильтониана. Однако, в некоторых задачах оптимальное управление, которое в подобном случае называется особым, может существовать.

Рассмотрим один из наиболее распространенных случаев вырожденной задачи, когда гамильтониан является линейной функцией управления. Пусть математическая модель динамической системы имеет вид:

,

где

- фазовый вектор размера , ;

- скалярное управление, на которое наложены ограничения

Полагаем, что конечный момент - не фиксирован. Требуется определить такое допустимое управление , которое обеспечивает минимум функции конечного состояния:

Таким образом, имеет место задача управления конечным состоянием. Составим гамильтониан

,

Предположим, что на некотором интервале времени величина . Очевидно, что гамильтониан на этом интервале не будет зависеть от управления, а значит, оптимальное управление не может быть определено из условия минимума гамильтониана. Допустим, что оптимальное (называемое в данном случае особым ) управление все же существует. Тогда структура оптимального управления в данной задаче определяется условиями:

Получим дополнительные условия, которым должно удовлетворять особое управление. Введем следующие обозначения.

Воспользуемся для определения особого управления свойством гамильтониана. Поскольку в рассматриваемой задаче конечный момент - не фиксирован (мы должны обеспечить минимум заданной функции конечного состояния, независимо от того, в какой момент времени это произойдет), то, как следует из свойств гамильтониана, на оптимальной траектории

.

Так как мы считаем, что на интервале , величина , то из условия следует, что на этом интервале . Это безусловно будет выполняться, если равны 0 производные от функций в любой точке этого интервала. То есть на оптимальной траектории должна выполняться следующая совокупность условий

где –порядок производной .

Вычислим первые производные ( )

Учитывая что,

,

,

получаем

Тогда

Вычислим теперь производную

Последнее равенство безусловно выполняется при любом управлении , если

,

что означает . То есть мы получили, что из условия обязательно следует :

Вычислив производные более высокого порядка можно убедиться в справедливости этого условия, т.е:

и т.д.

Это обстоятельство позволяет для поиска особого управления ограничиться только анализом производных функции

Запишем условие для второй производной .

Отсюда находим:

Если знаменатель в приведенном выражении отличен от нуля , то есть , то рассчитанное таким образом управление может быть особым управлением, если для него выполняется ограничение . При этом, сопряженный и фазовый вектор могут быть определены численно в результате решения сопряженной системы дифференциальных уравнений.

Однако, возможна ситуация , в этом случае особое управление не может быть определено. В этом случае продолжаем вычисление производных и проверяем условие .

Оказывается, что выражение, которое мы получили для второй производной сохраняет свою структуру и для производных более высокого порядка. Иными словами

Допустим, что для некоторого порядка k производных имеет место условие

, тогда управление

Это управление является особым, если оно удовлетворяет ограничению . Предположим теперь, что для всех производных, включая , выполняется . В этом случае можно составить систему алгебраических уравнений:

То есть в этом случае имеет место система из n линейных алгебраических уравнений относительно n компонент сопряженного вектора, решив которую можно определить искомый сопряженный вектор, а значит, и особое управление.

В матричной записи эта система алгебраических уравнений имеет вид:

,

где - блочная матрица с компонентами

Известно, что система однородных линейных алгебраических уравнений, подобная приведенной выше, может быть решена, если матрица - вырожденная, те . Определитель является функцией фазового вектора:

Дифференцируя это условие, имеем:

.

Отсюда находим управление

,

которое может быть особым при выполнении заданных ограничений.

Версия: AAAAAARxfOU Код: 000003061

Характеристики

Список файлов учебной работы