rpd000003061 (1012241), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Таким образом, с учетом с учетом полученных соотношений убеждаемся, что для задачи Больца вида

с критерием оптимальности

необходимые условия оптимальности управления записываются в виде

,

, ,

Гамильтониан

Условие оптимальности управления:

, если конечный момент времени - фиксирован.

, если конечный момент времени - свободен.

4.4. Различные типы граничных условиях в задачах оптимального управления.

Для отыскания оптимального управления с помощью необходимых условий оптимальности необходимо решить каноническую систему дифференциальных уравнений, для чего должно быть задано 2n краевых условий. Если начальное состояние динамической системы задано, то в начальный момент времени имеется n условий. Недостающие n условий определяются в зависимости от конкретного типа конечных условий исходной задачи. Выделим наиболее характерные случаи.

1. Задача с фиксированным концом траектории.

Если конечное состояние динамической системы задано, то есть задан вектор , то совместно с имеем 2n условий, которые замыкают каноническую систему уравнений, образуя, так называемую двухточечную задачу. Граничные условия при этом выполняются автоматически, поскольку вариация .

2. Задача со свободным концом траектории.

Если конечное состояние динамической системы не фиксируется, то для выполнения граничных условий

необходимо, чтобы

.

Снова имеем краевую задачу, которая отличается от предыдущей тем, что на правом конце траектории (в точке ) вместо вектора задан сопряженный вектор

3. Задача приведения траектории динамической системы на заданную поверхность.

В этом случае полагается, что вектор должен принадлежать некоторой поверхности, заданной уравнением

,

где - вектор-функция, размера k < n.

Приведенное условие означает, что вариация траектории в конечный момент времени связана условием:

.

Сравнивая это условие с равенством, непосредственно следующим из необходимого условия оптимальности

,

замечаем, что их одновременное выполнение наступает, если найдется постоянный вектор V размера k х 1 , такой что

.

Последнее условие называется условием трансверсальности.

Таким образом, снова приходим к краевой задаче, в которой заданными являются вектор , , но вектор задан с точностью до постоянного вектора V. Для нахождения последнего необходимо к канонической системе уравнений добавить уравнение поверхности

,

которое дает дополнительные k условий для определения вектора V.

4. Задача выбора начального состояния динамической системы.

Во всех рассмотренных ранее задачах программирования оптимального управления мы исходили из того, что начальное состояние динамической системы задано. Однако, на практике встречаются задачи, в которых вектор подлежит выбору в процессе оптимизации управления. В этом случае к граничным условиям

в конечный момент времени необходимо добавить начальное условие

в начальный момент времени .

ТЕМА 2.doc

Тема 2. Программирование оптимального управления детерминированными динамическими системами Необходимые условия оптимальности управления для случая дискретной динамической системы. Принцип минимума (максимума).

Рассмотрение дискретных систем в настоящее время приобретает все большее значение в связи с широким использованием средств вычислительной техники в процессе управления динамическими системами (ДС), предполагающих потактовую обработку информации.

Постановка задачи. Рассматривается задача программирования оптимального управления динамической системой, описываемой разносным уравнением вида:

(2.1)

где - вектор состояния динамической системы на текущем шаге ее функционирования размера ((индекс в (2.1) указывает на конкретный шаг функционирования ) - вектор управления размера ; - непрерывно-дифференцируемая вектор-функция, описывающая изменение состояния динамической системы в процессе функционирования. Предполагается, что начальное состояния ДС (вектор ), число шагов заданы, а конечное состояние системы (вектор ) не фиксировано (свободно). На каждом шаге функционирования ДС на управления накладываются ограничения .

Поскольку речь идет о получении оптимального управления необходимо выбрать критерий оптимальности управления. Наиболее распространенными в практических задачах являются следующие критерии оптимальности:

(2.2)

Подобный критерий может использоваться в тех случаях, когда искомое оптимальное управление должно обеспечивать выполнение требований к конечному состоянию ДС с учетом суммарных затрат на управление.

(2.3)

При использовании критерия такого вида управление будет находиться с учетом суммарных затрат на управление

(2.4)

Задачи программирования управления с таким критерием известны как задачи управления конечным состояние. В этом случае качество управления оценивается с точки зрения выполнения требований к конечному состоянию ДС.

Можно показать что задачи оптимизации управления с критериями вида (2.2),(2.3) всегда могут быть сведены к задаче управления конечным состоянием с критерием вида (2.4).

Рассмотрим задачу программирования оптимального управления для системы (2.1) с критерием оптимальности (2.2):

Введем новый расширенный вектор состояния , где компонента определяется на основе модели с начальным условием . Очевидно, что конечное значение . Тогда критерий оптимальности с учетом перехода к расширенному вектору может быть записан как

Таким образом, исходная задача оптимизации управления ДС с вектором состояния и критерием оптимальности общего вида сведена к задаче управления конечным состоянием динамической системы с расширенным вектором состояния .

Аналогичным образом можно убедиться в том, что задача программирования оптимального управления для системы (2.1) с критерием оптимальности (2.3) также водится к задаче управления конечным состоянием

Учитывая проведенный анализ в дальнейшем, не ограничивая общность изложения, будем искать оптимальное управление для системы

из условия минимума критерия

полагая при этом, что начальное состояние и число шагов заданы, а конечное состояние - свободно.

Очевидно, что конечное состояние системы зависит от выбора управляющих воздействий на каждом шаге, то есть

В данной записи - блочный вектор, компонентами которого являются векторы управления на каждом шаге функционирования ДС, то есть

.

Если - оптимальное управление (оптимальная последовательность управлений), доставляющая минимум критерия :

,

тогда условие

будет выполняться для любого допустимого управления , отличного от оптимального Применим прием, известный как игольчатая вариация управления, полагая, что везде кроме шага с номером i , управление оптимальное:

Вариацию критерия можно выразить следующим образом:

,

где

, .

То есть в скалярной записи вариация критерия

Поскольку мы рассматриваем игольчатую вариацию управления на единственном шаге с номером i, то

.

Тогда вариация критерия как результат игольчатой вариации управления

.

Приведенное условие справедливо для любого шага, а значит, может рассматриваться как необходимое условие оптимальности управления. Иными словами, если последовательность управлений - оптимальная, то для любого шага i функционирования системы любая допустимая вариация управления должна удовлетворять вышеприведенному условию.

К сожалению, приведенное необходимое условие оптимальности выражено в достаточно общем виде и не предлагает практического инструмента для определения оптимального управления. Проблема заключается в том, что критерий являющийся функцией конечного состояния, явным образом не зависит от управления на шаге i. То есть непосредственное вычисление производной для проверки необходимого условия оптимальности невозможно. Связь критерия оптимальности с управлением не явная, она устанавливается через последовательность следующих соотношений:

……………………………….

.

Тогда, используя правило дифференцирования неявной функции можно записать:

или

Перепишем последнее равенство в виде

Введем вектор , определяемый на основе следующего рекуррентного выражения

Характеристики

Список файлов учебной работы