rpd000001879 (1011868), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Прикрепленные файлы:
Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:
1.Множество комплексных чисел. Алгебраические свойства операций над комплексными числами. Алгебраическая форма комплексного числа.
2.Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.
3.Модуль и аргумент комплексного числа. Показательная форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в показательной форме. Свойства модуля и аргумента комплексного числа.
4.Комплексное сопряжение. Свойства комплексного сопряжения. Свойства модуля и аргумента комплексного числа.
5.Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация операций над комплексными числами.
6.Метрика и окрестность на комплексной плоскости. Расширенная комплексная плоскость, сфера Римана. Открытое, связное, односвязное множество.
7.Функция комплексного переменного, ее вещественное представление. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Критерий непрерывности.
8.Вещественная и комплексная дифференцируемость функции комплексного переменного. Теорема Коши-Римана.
9.Свойства комплексно-дифференцируемых функций. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
10.Аналитичность функции комплексного переменного. Гармонические функции и их связь с аналитическими функциями.
11.Основные элементарные функции и их свойства (линейная функция, обратная функция).
12.Основные элементарные функции и их свойства (дробно-линейная функция, функция Жуковского).
13.Основные элементарные функции и их свойства (степенная функция, радикал, экспонента, логарифм).
14.Основные элементарные функции и их свойства (тригонометрические и гиперболические функции и обратные к ним).
15.Интеграл комплексной функции комплексного переменного по ориентированной кривой и его независимость от параметризации кривой.
16.Интеграл комплексной функции комплексного переменного по ориентированной кривой и его основные свойства.
17.Первообразная функции комплексного переменного. Формула Ньютона-Лейбница.
18.Основная теорема Коши для простого и составного контура.
19.Интегральная формула Коши.
20.Комплексные функциональные ряды, поточечная и равномерная сходимость. Комплексный целый степенной ряд, теоремы Абеля и Коши-Адамара.
21.Предел, непрерывность и интегрируемость суммы комплексного функционального ряда. Аналитичность суммы степенного ряда.
22.Разложение в ряд Тейлора функции, аналитической в круге. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции.
23.Единственность разложения аналитической функции в ряд Тейлора. Неравенства Коши. Теорема Лиувилля. Интеграл типа Коши.
24.Ряд Лорана. Теорема Лорана. Единственность разложения. Неравенства Коши.
25.Нуль функции комплексного переменного. Кратность нуля. Теорема о строении аналитической функции в окрестности нуля.
26.Изолированные особые точки функций, их классификация. Кратность полюса. Ряд Лорана в проколотой окрестности ИОТ.
27.Устранимая особая точка. Необходимое и достаточное условие устранимой особой точки.
28.Изолированная особая точка типа полюс. Кратность полюса. Необходимое и достаточное условие полюса и полюса кратности k.
29.Существенно особая точка. Необходимое и достаточное условие существенно особой точки.
30.Вычет функции и его связь с рядом Лорана. Нахождение вычетов относительно устранимой ИОТ, полюса и существенно особой точки.
31.Основная теорема о вычетах и ее приложения к вычислению контурных и несобственных интегралов.
32.Бесконечно удаленная изолированная особая точка. Вычет в бесконечно удаленной точке. Полная теорема о вычетах.
33.Функция-оригинал. Преобразование Лапласа и его обращение. Теоремы существования. Связь преобразования Лапласа с преобразованием Фурье.
34.Свойство линейности преобразования Лапласа и свойство подобия.
35.Свойства дифференцирования и интегрирования функции-оригинала.
36.Свойства дифференцирования и интегрирования функции-изображения.
37.Свойства запаздывания функции-оригинала и смещения функции-изображения.
38.Свертка оригиналов и ее свойства. Теорема умножения изображений. Формула Дюамеля.
39.Теорема умножения оригиналов. Вторая теорема разложения.
40.Применение преобразования Лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений и систем.
-
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
а)основная литература:
1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. Лань, 2002, 749 с.
2. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М., Эдиториал УРСС, 2009. 424 с.
3. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями. М., Эдиториал УРСС, 2012. 208 с.
4. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Операционное исчисление. Теория устойчивости. Задачи и примеры с подробными решениями. М. Эдиториал УРСС, 2009. 176 с.
б)дополнительная литература:
1. Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2007, 445 с.
2. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть 1. Функции одного переменного. Лань, 2004, 336 с.
3. Каменский Г.А. Лекции по теории функций комплексного переменного, операционному исчислению и теории разностных уравнений. М., Высшая школа, 2008, 156 с.
в)программное обеспечение, Интернет-ресурсы, электронные библиотечные системы:
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm
http://gen.lib.rus.ec/search
http://lib.mexmat.ru/
-
МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Для проведения занятий необходима доска с мелом (маркером).
Приложение 1
к рабочей программе дисциплины
«Теория функций комплексного переменного »
Аннотация рабочей программы
Дисциплина Теория функций комплексного переменного является частью Математического и естественно-научный цикл дисциплин подготовки студентов по направлению подготовки Системы управления летательными аппаратами. Дисциплина реализуется на 8 факультете «Московского авиационного института (национального исследовательского университета)» кафедрой (кафедрами) 804.
Дисциплина нацелена на формирование следующих компетенций: ПК-3.
Содержание дисциплины охватывает круг вопросов, связанных с: теорией функций комплексного переменного и операционное исчисление
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации учебного процесса: Лекция, мастер-класс, Практическое занятие.
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: промежуточная аттестация в форме Теоретический зачет c оценкой..
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 3 зачетных единиц, 108 часов. Программой дисциплины предусмотрены лекционные (34 часов), практические (16 часов), лабораторные (0 часов) занятия и (58 часов) самостоятельной работы студента. Дисциплина «Теория функций комплексного переменного» является частью математического и естественно-научного цикла дисциплин подготовки студентов по направлению подготовки специалистов 161101.
Дисциплина реализуется на факультете №3 МАИ кафедрой 804.
Дисциплина нацелена на формирование у будущего специалиста профессиональных компетенций: способности понимать основные проблемы в своей предметной области, выбирать методы и средства их решения (ПК-3).
Содержание дисциплины охватывает основные разделы классической теории функций комплексного переменного и операционное исчисление.
Цели и задачи преподавания курса теории функций комплексного переменного:
- дать студентам знания по основам теории функций комплексного переменного и операционному исчислению;
- научить методам теории функций комплексного переменного решения математических задач;
- создать необходимый фундамент для изучения других дисциплин математического и естественно-научного и профессионального циклов, использующих теорию функций комплексного переменного.
Для усвоения курса необходимы знания по математическому анализу (дифференциальное и интегральное исчисление, ряды), по дифференциальным уравнениям(теория линейных дифференциальных уравнений и систем).
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации учебного процесса: чтение лекций, проведение практических занятий, самостоятельную работу студентов.
Программой дисциплины предусмотрен следующий вид контроля: промежуточная аттестация в форме теоретического зачета с оценкой.
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов. Программой дисциплины предусмотрены: лекции (34 часа), практические занятия (16 часов), самостоятельная работа студентов (58 часов).
Приложение 2
к рабочей программе дисциплины
«Теория функций комплексного переменного »
Cодержание учебных занятий
-
Лекции
1.1.1. Множество комплексных чисел(АЗ: 2, СРС: 2)
Тип лекции: Информационная лекция
Форма организации: Лекция, мастер-класс
Описание: Множество комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Свойства операций над комплексными числами.
1.1.2. Топология множества комплексных чисел.(АЗ: 2, СРС: 2)
Тип лекции: Информационная лекция
Форма организации: Лекция, мастер-класс
Описание: Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация операций над комплексными числами. Метрика и окрестность. Предел комплексной последовательности. Бесконечно удаленная точка. Расширенная комплексная плоскость, сфера Римана. Открытое, замкнутое, связное, односвязное множество.
1.1.3. Функции комплексного переменного, предел и непрерывность(АЗ: 2, СРС: 2)
Тип лекции: Информационная лекция
Форма организации: Лекция, мастер-класс
Описание: Функции комплексного переменного. Вещественное представление функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
1.1.4. Элементарные функции комплексного переменного(АЗ: 2, СРС: 2)
Тип лекции: Информационная лекция
Форма организации: Лекция, мастер-класс
Описание: Элементарные функции комплексного переменного и их свойства. Линейная функция. Обратная функция. Дробно-линейная функция. Степенная функция и радикал. Функция Жуковского.
1.1.5. Элементарные функции комплексного переменного (продолжение).(АЗ: 2, СРС: 2)
Тип лекции: Информационная лекция
Форма организации: Лекция, мастер-класс
Описание: Элементарные функции комплексного переменного и их свойства. Экспонента и логарифм. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Гиперболические и обратные гиперболические функции.
1.1.6. Дифференцируемость и аналитичность функций комплексного переменного(АЗ: 2, СРС: 2)
Тип лекции: Информационная лекция
Форма организации: Лекция, мастер-класс
Описание: Вещественная и комплексная дифференцируемость функции комплексного переменного. Теорема Коши-Римана. Свойства комплексно-дифференцируемых функций. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Аналитическая функция. Связь аналитических функций с гармоническими.
1.1.7. Интеграл функции комплексного переменного(АЗ: 2, СРС: 2)
Тип лекции: Информационная лекция
Форма организации: Лекция, мастер-класс
Описание: Интеграл комплексной функции вещественной переменной. Интеграл комплексной функции комплексного переменного. Основные свойства комплексного интеграла, вещественное представление, теорема существования. Первообразная функции комплексного переменного. Формула Ньютона-Лейбница.
1.2.1. Основная теорема Коши. Интегральная теорема Коши.(АЗ: 2, СРС: 2)
Тип лекции: Информационная лекция
Форма организации: Лекция, мастер-класс
Описание: Основная теорема Коши для простого контура. Основная теорема Коши для составного контура. Интегральная формула Коши и ее приложения.
1.2.2. Комплексные числовые и функциональные ряды.(АЗ: 2, СРС: 2)
Тип лекции: Информационная лекция
Форма организации: Лекция, мастер-класс
Описание: Комплексные числовые и функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимость. Признаки сходимости. Комплексные целые степенные ряды. Теорема Абеля. Теорема Коши-Адамара. Предел, непрерывность и интегрируемость суммы равномерно сходящегося ряда. Аналитичность суммы степенного ряда.
1.2.3. Разложение функций в ряды Тейлора и Лорана.(АЗ: 2, СРС: 2)
Тип лекции: Информационная лекция
Форма организации: Лекция, мастер-класс
Описание: Ряд Тейлора функции аналитической в круге. Единственность разложения. Неравенства Коши. Теорема Лиувилля. Интеграл типа Коши. Разложение элементарных функций. Ряд Лорана функции аналитической в кольце. Теорема Лорана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
