rpd000007963 (1011526), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

,

, .

Подставляя в правые части соотношений выбранные значения , получим приближение , используемое, в свою очередь, для нахождения . Итерации продолжаются до выполнения условия , где

.

Результаты вычислений содержатся в таблице.

k
0	0.25000 0.75000	0.06875 0.04375		1.01250 0.02500	0.30000 0.97500	0.05391	0.04258	0.97969
1	0.19498 0.70654	-0.00138 0.00037		1.00760 0.00734	0.28262 0.98050	-0.00146	0.00038	0.98588
2	0.19646 0.70615	0.00005 0.00000		1.00772 0.00797	0.28246 0.98035	0.00005	0.00000	0.98567
3	0.19641 0.70615

.

Пример 2. Найти положительное решение системы из примера 1 методом простой итерации с точностью .

Решение. Преобразуем исходную систему уравнений к виду

Проверим выполнение условия , в области : , . Для этого найдем

Так как , ,

, ,

то в области имеем

.

Следовательно, если последовательные приближения не покинут области (что легко обнаружить в процессе вычислений), то итерационный процесс будет сходящимся.

В качестве начального приближения примем . Последующие приближения определяем как

где ,

Вычисления завершаются при выполнении условия

,

где .

Результаты вычислений содержатся в таблице.

k
0	0.25000 0.75000	0.18125 0.70702
1	0.18125 0.70702	0.19674 0.70617
2	0.19674 0.70617	0.19639 0.70615
3	0.19639 0.70615	0.19641 0.70615
4	0.19641 0.70615

.

Practice5.doc

Практическое занятие 5. Решение нелинейных уравнений (2 ч, СРС – 1 ч, тема 2, лекция 5).

Пример 1.

Решить уравнение

с точностью .

Решение.

Для локализации корней применим графический способ. Преобразуем исходное уравнение к следующему эквивалентному виду:

Построив графики функций и , определяем, что у решаемого уравнения имеется только один корень, который находится в интервале .

Метод половинного деления. В качестве исходного отрезка выберем [0.4, 0.6]. Результаты дальнейших вычислений, согласно приведенному выше алгоритму содержатся в таблице.

Метод Ньютона. Для корректного использования данного метода необходимо, в соответствии с теоремой 2.2 (лекции), определить поведение первой и второй производной функции на интервале уточнения корня и правильно выбрать начальное приближение .

Для функции имеем:

, - положительные во всей области определения функции. В качестве начального приближения можно выбрать правую границу интервала , для которой выполняется неравенство (2.3, лекции):

Дальнейшие вычисления проводятся по формуле , где , .

Итерации завершаются при выполнении условия .

Результаты вычислений содержатся в таблице.

Метод секущих. В качестве начальных точек зададим: и .

Дальнейшие вычисления проводятся по формуле ,

где .

Итерации завершаются при выполнении условия .

Результаты вычислений содержатся в таблице.

Метод простой итерации. Исходное уравнение можно записать в виде

или

Из двух этих вариантов приемлемым является второй, так как, взяв за основной интервал (0.4,0.55) и положив , будем иметь:

1)

2) . Отсюда, на интервале (0.4,0.55) .

Условия теоремы 2.3 (лекции) выполнены.

В качестве начального приближения положим .

Вычисляем последовательные приближения с одним запасным знаком по формуле , где .

Достижение требуемой точности контролируется условием .

Результаты вычислений приведены в таблице

Practice10.doc

Практическое занятие 10. Численное дифференцирование (2 ч, СРС – 1 ч, тема 3, лекция 10).

Пример 1.

Вычислить первую и вторую производную от таблично заданной функции в точке . .

	0	1	2	3	4
	0.0	0.1	0.2	0.3	0.4
	1.0	1.1052	1.2214	1.3499	1.4918

Решение.

Вычислим производную, используя отрезок , т.к. точка в которой требуется найти значение производной, совпадает с правой границей отрезка, то такую производную еще называют левосторонней: .

Характеристики

Список файлов учебной работы