rpd000007963 (1011526), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Р е ш е н и е
Заменой переменных 
сведем дифференциальное уравнение второго порядка к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка.
Задачу Коши для системы с начальными условиями на левом конце 
будем решать методом Рунге-Кутта 4-го порядка точности с шагом 
до удовлетворения условия на правом конце 
где 
и 
- значение решения задачи Коши в правом конце отрезка при 
- значение первой производной к решению в левом конце отрезка на k – ой итерации.
Примем в качестве первых двух значений параметра 
следующие: 
=1.0, 
=0.8. Дважды решим задачу Коши с этими параметрами методом Рунге-Кутта с шагом 
=0.1, получим два решения 
= 3.168894836, 
= 2.97483325. Вычислим новое приближение параметра по формуле (4.34)
;
Решая задачу Коши с параметром 
, получим решение 
= 1.953759449 и так далее.
;
= 2.001790565; 
;
;
= 2.000003115; 
;
Вычисления заносим в таблицу
| j |
|
|
|
| 0 | +1.000000000 | 3.168894836 | 1.168894836 |
| 1 | +0.800000000 | 2.974483325 | 0.974483325 |
| 2 | -0.204663797 | 1.953759449 | 0.046240551 |
| 3 | -0.159166393 | 2.001790565 | 0.001790565 |
| 4 | -0.160862503 | 2.000003115 | 0.000003115 |
Приближенным решением краевой задачи будем считать табличную функцию, полученную в результате решения задачи Коши с параметром 
и приведенную в следующей таблице.
|
| 0.0 | 0.10000 | 0.20000 | 0.30000 | 0.40000 | 0.50000 | 0.60000 | 0.70000 | 0.80000 | 0.90000 | 1.000 |
|
| 1.0 | 0.99328 | 1.00601 | 1.03942 | 1.09497 | 1.17434 | 1.27944 | 1.41236 | 1.57528 | 1.77045 | 2.000 |
Practice16.doc
Практическое занятие 16. Решение краевых задач для ОДУ методом конечных разностей (2 ч, СРС – 1 ч, тема 4, лекция 16).
Пример 1.
Решить краевую задачу 
с шагом 
Решение.
Здесь 
, 
, 
, 
, 
Во всех внутренних узлах отрезка 
после замены производных их разностными аналогами получим
, 
На левой границе 
, на правой границе аппроксимируем производную односторонней разностью 1-го порядка:
.
С помощью группировки слагаемых, приведения подобных членов и подстановки значений 
и с учетом получим систему линейных алгебраических уравнений.
В данной трехдиагональной системе выполнено условие преобладания диагональных элементов и можно использовать метод прогонки.
В результате решения системы методом прогонки получим следующие значения: 
,
,
,
,
.
Решением краевой задачи является табличная функция
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
| 0 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 1.0 |
|
| 1.0 | 0.77191 | 0.58303 | 0.43111 | 0.31265 | 0.22332 |
Версия: AAAAAARxP0E Код: 000007963
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
