rpd000004022 (1010469), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Математическое ожидание произведения некоррелированных случайных величин равно

• произведению их математических ожиданий

• нулю

• сумме их математических ожиданий

• полусумме их математических ожиданий

• квадратному корню из произведения их математических ожиданий

• может не существовать

Разность двух независимых случайных величин, распределенных по нормальному закону , распределена по закону

• равномерный

Формула определения частной плотности вероятности по заданной совместной плотности

Свойства ковариации

• , где - дисперсия

• , где - математическое ожидание

Свойства функции распределения случайного вектора

• Неубывание по

• Невозрастание по

• Неубывание по

• Невозрастание по

Свойства условного математического ожидания :

• Линейность по

• Линейность по

• Измеримость по

• Измеримость по

• Случайность

Формула полного математического ожидания:

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.doc

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

ПО «ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ»

1. Вероятностные распределения случайных процессов.

2. Моментные характеристики случайных процессов.

3. Гауссовский случайный процесс

4. Свойства траекторий случайных функций.

5. Непрерывность случайной функции.

6. Дифференцируемость случайных функций.

7. Интегрирование случайных функций.

8. Процессы с ортогональными приращениями. Белый шум.

9. Винеровский процесс.

10. Стохастический интеграл Ито.

11. Формула Ито.

12. Стохастические дифференциальные уравнения.

13. Линейные стохастические дифференциальные уравнения.

14. Стационарные случайные процессы (общие свойства).

15. Спектральные характеристики стационарных процессов.

16. Линейные преобразования стационарных процессов.

17. Потоки событий. Простейший поток.

18. Пуассоновский процесс.

19. Марковские процессы (общие свойства).

20. Цепи Маркова (общие свойства).

21. Эргодические цепи Маркова.

22. Дискретные марковские функции (общие свойства).

23. Эргодические дискретные марковские функции.

24. Марковские процессы в системах массового обслуживания (СМО).

25. Расчет характеристик обслуживания в марковских СМО.

Билеты-СП (ЭКЗАМЕН).doc

1. ВАРИАНТЫ БИЛЕТОВ ОСНОВНОГО ЭКЗАМЕНА ПО ТСП

«УТВЕРЖДАЮ»

Зав. кафедрой № 804

_________________А.И. Кибзун

Вариант 1 (Э).

1. Мартингалы с дискретным временем – определения, свойства, примеры.

2. Центрированный гауссовский СП имеет ковариационную функцию . Вычислить , если , (интегрируемость обосновать теоретически).

3. Матрица переходных вероятностей дискретной цепи Маркова (за 1 шаг) имеет элементы

. Вычислить неизвестные вероятности перехода, построить стохастический граф цепи, показать, что стационарное распределение вероятностей состояний цепи существует, и найти его явный вид.

4. Стационарный центрированный СП со спектральной плотностью , где >0, подвергается линейному преобразованию , где h>0. Найти спектральную плотность и дисперсию процесса .

5. Пусть , где - стандартный винеровский СП. Вычислить математическое ожидание и дисперсию стохастического интеграл .

«УТВЕРЖДАЮ»

Зав. кафедрой № 804

_________________А.И. Кибзун

Вариант 2 (Э).

1. Процессы с ортогональными и независимыми приращениями – определения, свойства, примеры.

2. Центрированный гауссовский СП имеет ковариационную функцию . Вычислить , если , а (дифференцируемость обосновать теоретически).

3. Система массового обслуживания состоит из двух параллельных каналов обслуживания с интенсивностями обслуживания . Входной поток заявок – простейший с интенсивностью . Требуется: построить стохастический граф процесса обслуживания, выписать уравнения Колмогорова для вычисления вероятностей состояний процесса и найти стационарное распределение вероятностей состояний.

4. СП имеет вид , где - независимые одинаково распределенные СВ с распределением , Изобразить на плоскости множество пар чисел таких, что - мартингал, и найти его квадратическую характеристику.

5. Пусть СП имеет стохастический дифференциал Ито , а .

Вычислить математическое ожидание и дисперсию стохастического интеграла .

«УТВЕРЖДАЮ»

Зав. кафедрой № 804

_________________А.И. Кибзун

Вариант 3 (Э).

1. Марковские процессы с непрерывным временем и дискретным пространством состояний – определения, свойства, примеры.

2. Центрированный гауссовский СП имеет ковариационную функцию . Вычислить , если , а (интегрируемость обосновать теоретически).

3. Матрица переходных вероятностей дискретной цепи Маркова (за 1 шаг) имеет элементы

Найти неизвестные вероятности перехода, привести стохастический граф цепи, показать, что стационарное распределение вероятностей состояний цепи существует. и найти его явный вид.

4. Стационарный центрированный СП с ковариационной функцией , где D, >0, подвергается линейному преобразованию , где h>0. Найти спектральную плотность и дисперсию процесса .

5. Пусть , где - стандартный винеровский СП. Вычислить математическое ожидание и дисперсию стохастического интеграла .

«УТВЕРЖДАЮ»

Зав. кафедрой № 804

_________________А.И. Кибзун

Вариант 4 (Э).

1. Цепи Маркова – определения, свойства, примеры.

2. Центрированный гауссовский СП имеет ковариационную функцию , . Вычислить , если (дифференцируемость обосновать теоретически).

3. Система массового обслуживания состоит из одного канала обслуживания с интенсивностью обслуживания и очереди на одно место. Входной поток заявок – простейший с интенсивностью . Требуется: построить стохастический граф процесса обслуживания, выписать уравнения Колмогорова для вычисления вероятностей состояний процесса и найти стационарное распределение вероятностей состояний.

4. СП имеет вид , где - независимые одинаково распределенные СВ с распределением . Изобразить на плоскости множество пар чисел таких, что - субмартингал. Найти его компенсатор для случая .

5. Пусть СП имеет стохастический дифференциал Ито , а . Вычислить математическое ожидание и дисперсию стохастического интеграла

2. ВАРИАНТЫ БИЛЕТОВ ПОВТОРНЫХ ЭКЗАМЕНОВ ПО ТСП

«УТВЕРЖДАЮ»

Зав. кафедрой № 804

_________________А.И. Кибзун

ВАРИАНТ 1 (ПЭ-1)

1. Доказать, что винеровский процесс интегрируем на промежутке и найти одномерный закон распределения интеграла для произвольного .

2. СМО состоит из одного канала обслуживания с распределением времени обслуживания и очереди на 3 места. Входной поток заявок – простейший с интенсивностью . Найти среднюю длину очереди в стационарном режиме работы СМО.

3. Пусть , где - независимые СВ с распределением . Доказать, что является субмартингалом, и найти его компенсатор.

4. Пусть является решением СДУ с начальным условием . Найти СДУ, которому удовлетворяет СП .

«УТВЕРЖДАЮ»

Зав. кафедрой № 804

_________________А.И. Кибзун

ВАРИАНТ 2 (ПЭ-1)

1. СП удовлетворяет дифференциальному уравнению вида , где - центрированный гауссовский СП с ковариационной функцией . Найти одномерный закон распределения при .

2. Поток отказов прибора – простейший с интенсивностью . Если прибор отказал, то отказ обнаруживается в течение случайного времени, имеющего распределение . Ремонт осуществляется сразу после обнаружения отказа и продолжается случайное время с распределением . Найти стационарную вероятность того, что прибор исправен.

3. Пусть , где - независимые СВ с распределением . Доказать, что является квадратично интегрируемым мартингалом, и найти его квадратическую характеристику.

4. Найти СДУ, которому удовлетворяет СП , где - стандартный винеровский СП.

«УТВЕРЖДАЮ»

Зав. кафедрой № 804

_________________А.И. Кибзун

Билет 1 (ПЭ-2)

1. СП удовлетворяет дифференциальному уравнению , , где СВ имеет нормальное распределение . Найти закон распределения сечения в точке .

2. Стационарный СП с ковариационной функцией подвергается линейному стационарному преобразованию вида . Найти спектральную плотность стационарного СП .

3. СМО состоит из трех одинаковых параллельных каналов обслуживания, работающих независимо друг от друга и имеющих интенсивности обслуживания . Входной поток заявок – простейший с интенсивностью . Найти среднее число заявок, находящихся в системе в стационарном режиме работы.

4. Пусть - стандартный винеровский процесс. Сравнить дисперсии следующих интегралов:

и .

«УТВЕРЖДАЮ»

Зав. кафедрой № 804

_________________А.И. Кибзун

Характеристики

Список файлов учебной работы