ТВлД для вертолёта (1006005), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В силу сложности формы деталей использовать аналитические методы решения такихзадач не удается, и приходится прибегать к численным методам. Наиболеераспространенным в инженерной практике решения задач прочности и колебаний стал методконечных элементов (МКЭ), реализованный в компьютерных cистемах инженерногоанализа.
Его основные достоинства: универсальность, широкий круг решаемых задач(статика, динамика, устойчивость, упругость, пластичность, ползучесть, контактные задачи,температурные напряжения и т.д.), простота алгоритмизации.В общих чертах, идея метода конечных элементов состоит в следующем.-Исследуемая деталь (тело) разбивается воображаемыми линиями или поверхностямина большое число конечных элементов простой формы (призмы, пирамиды, треугольники ит.д.), размеры которых значительно меньше размеров тела.-Перемещение в любой произвольной точке конечного элемента однозначноопределяется через перемещения в его вершинах (узловых точках) с помощью функцииперемещений.
Она выбирается линейной, параболической и т.д. таким образом, чтобыобеспечить необходимую точность аппроксимации перемещений и напряжений внутриэлемента.-Заданное с помощью функции перемещений поле перемещений внутри элемента даетвозможность выразить деформации и напряжения внутри элемента через узловыеперемещения. Например, при линейной аппроксимации перемещений деформация инапряжение в каждом элементе получаются постоянными.-Задача, состоявшая в решении системы дифференциальных уравнений в частныхпроизводных, сводится к решению системы алгебраических уравнений и отысканиюперемещений в узловых точках. Эта процедура перехода от неизвестных функций кнеизвестным их значениям в отдельных узловых точках называется дискретизацией.-Перемещения в узлах определяются из условии равновесия системы конечныхэлементов под действием приведенных к узлам внешних сил.-По найденным узловым перемещениям определяются поля напряжений и деформацийв элементах и детали в целом.Рассмотрим эту процедуру на самом простом примере расчета плоского напряженногосостояния в упругом теле.
Исследуемая конструкция представляет собой пластинку,нагруженную внешними силами на границе (см. Рис. 3) и закрепленную в нескольких точках.Рис.3 Разбиение исследуемой области на конечные элементыИсследуемую область разобьем на треугольные элементы, узлы типичного элемента еобозначим i, j, т. Перемещения δ в i-м узле имеют две составляющие (проекции на оси х и у)(7.1.)а вектор всех перемещении в элементе выглядит как:(7.2.)Примем простейшую линейную аппроксимацию перемещений внутри элемента (х,у координаты в пределах элемента):(7.3.)где a1..a6- коэффициенты аппроксимации.
Для их определения подстановкой в (7.3.)координат и перемещений узловых точек составляются две системы по три уравнения.Например, одна из них для перемещений в направлении оси X имеет вид:(7.4.)Решая их, получим для перемещений U и V внутри элемента выражения:(7.5.)где Δ - площадь треугольника ijm.
Коэффициенты а, b, с с индексами j и m получаютсяциклической перестановкой индексов в последовательности i,j,m.(7.6.)Продифференцировав уравнения (7.3.) и (7.4.), получаем в матричном виде:(7.7.)где матрица узловых координат:(7.8.)Обобщенный закон Гука, выражающий связь между напряжениями и деформациямипри упругом поведении материала, с учетом тепловых деформаций имеет вид:(7.9.)где {е0} - вектор начальной тепловой деформации;[D] - матрица упругости материала, которая для изотропного материала и плоскогонапряженного состояния имеет вид:(7.10.)Вектор тепловой деформации имеет вид:(7.10.)где α - коэффициент линейного расширения;T* - температура элемента.Подставляя (7.7.) в (7.9.), получим соотношение для расчета напряжений в элементе поизвестным узловым перемещениям:(7.11.)Внешние силы, действующие на тело, можно разделить на две категории: массовые(или объемные) и поверхностные.
Массовые характеризуются силой, приходящейся наединицу массы (или объема) тела. Пример массовых сил - центробежные, поверхностныесилы действуют на поверхности тела (см. Рис. 3), они обусловлены воздействиемконтактирующих тел или окружающей среды; пример поверхностных сил - давлениежидкости или газа.В узлах конечно-элементной сетки действуют три группы сил. Первая группа - силы,статически эквивалентные внешним поверхностным и массовым силам {F}ep, ониполучаются интегрированием внешних сил по поверхности или объему и распределению ихмежду соответствующими узлами. Вторая группа - силы, возникающие от начальнойeдеформации {F}eε0.Третья группа - силы, пропорциональные узловым перемещениям {δ} .Вектор узловых сил в элементе {F}e включает в себя по две силы в каждом узле:(7.12.)где V— объем элемента.Знак [ ]T означает транспортирование матрицы (строки и столбцы матрицы меняютсяместами).Просуммировав узловые силы по всем элементам, получают систему алгебраическихуравнений относительно неизвестных узловых перемещений:(7.13.)где [К] - матрица жесткости системы;{F} - вектор внешних нагрузок (включая тепловые).Система (7.13) включат в себя N = zn-s линейных алгебраических уравнений.
Здесь п число узлов конечно-элементной сетки, z - число степеней свободы в каждом узле (в плоскойзадаче z = 2), s - число степеней свободы по которым перемещения известны (закрепленныеузлы, например).Решение системы (7.13) позволяет определить перемещения узловых точек {<5}, а по ним деформации и напряжения в элементах рассчитываемой конструкции.Соотношения метода конечных элементов для трехмерного напряженнодеформированного состояния аналогичны рассмотренным выше.
Конечные элементы втрехмерном случае представляют собой объемное тело (призмы, пирамиды), число степенейсвободы в каждом узле — три.Соотношения (7.2.)-(7.11.), определяющие свойства элементов, были записаны впростейшем виде. При проведении расчетов часто используют элементы с более сложнымисвойствами.Возможно, в частности, использование вместо линейной аппроксимации перемещенийв элементе (7.11.) функции перемещений в виде полинома второго порядка. Такие элементыназываются элементами второго порядка и имеют дополнительные узлы в серединах сторон.Их использование приводит к более сложным соотношениям, но позволяет при том жеколичестве элементов существенно повысить точность результатов.Соотношения между напряжениями и деформациями, записанные в (7.11.) в видеобобщенного закона Гука, также могут быть более сложными и учитывать анизотропиюсвойств материала, пластические деформации, ползучесть.При моделировании трехмерного напряженно-деформированного состояния деталейавиационных двигателей используют объемные конечные элементы первого и второгопорядка в виде 6-гранника (гексаэдра).
Элемент первого порядка определен восьмью узламии имеет по три степени свободы в каждом узле, которые представляют собойпоступательные перемещения в направлениях координатных осей х, у, и z. Для такогоэлемента возможно задание пластических свойств и ползучести.
Элемент второго порядкатакже имеет форму шестигранника, но отличается большим количеством узлов — 20.Построение конечноэлементной модели -один из наиболее ответственных этаповпроведения расчетов методом конечных элементов, определяющий, наряду с принятымиграничными условиями, достоверность получаемых результатов.Конечно-элементная модель характеризуется типом применяемых конечных элементови густотой разбивки (размером элементов) в конкретных зонах. В одной модели могут бытьприменены разные типы элементов, выбор которых зависит от целей расчетногоисследования, сложности геометрической модели, возможностей вычислительной техники иопыта исполнителя.Густота разбивки конечноэлементной модели определяется одним общим правилом: взонах ожидаемой концентрации напряжений сетка элементов должна сгущаться.Рекомендуемый характерный размер элемента в зоне концентрации должен быть примернона порядок меньше типичного размера самого концентратора.
Например, для описанияконечноэлементной моделью галтели радиусом 2 мм необходимо применять элементы состороной около 0,2 мм. Отметим, что применение конечных элементов второго порядкапозволяет получить приемлемую точность результатов относительно меньшим количествомэлементов. При построении сеток следует избегать использования элементов с большимотношением размеров.При моделировании тонкостенных деталей следует иметь в виду, что при их изгибеградиент напряжений по толщине может быть большим (растяжение на одной поверхности исжатие на другой), следовательно, конечно-элементная сетка должна иметь несколько слоевэлементов по толщине.
В ряде случаев для таких конструкций рекомендуется использованиеспециальных элементов в форме четырехугольного элемента криволинейной оболочки. Втаких элементах используется специальная аппроксимация перемещений по толщине,позволяющая описывать деформацию изгиба в одном слое элементов.Широкое применение метода конечных элементов в инженерных расчетах началось споявлением достаточно мощной вычислительной техники в начале 70-х годов. Уже тогдаудавалось успешно моделировать напряженно-деформированное состояние и колебанияответственных деталей авиационных двигателей. К тому же времени относится развитиекоммерческих программных продуктов, проводящих вычисления на основе метода конечныхэлементов.Современнын программы, реализующие МКЭ позволяют решить множество задач.Перечислины некоторые из них.-Решение задач в одномерной, двумерной и трехмерной постановках.
Наличиеобширной библиотеки элементов различной формы с различными функциями перемещений.-Анализ статического и динамического напряженно-деформированного состояния,модальный анализ, решение задач устойчивости конструкций, расчет стационарных инестационарных тепловых полей, решение задач гидродинамики, электромагнитных полей иакустики.-Реализация различных моделей поведения материалов: упругости, пластичности,ползучести с зависящими от температуры свойствами материалов. Моделированиеповедения конструкций из композиционных материалов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
