Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Заменив столбец Ь свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ Ах = О> соответствующую неоднородной СЛА У Ах = Ь. Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ. Теорема 9.6. Пусть столбец хо — некоторое решение СЛАУ Ах = Ь. Произвольный столбец х является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление х = х'+ у, где у — решение соответствующей однородной СЛАУ Ау = О. М Если х — решение СЛАУ Ах = Ь, то А(х — хо) = Ах — Ах' = Ь вЂ” Ь = О.
Поэтому столбец у = х — х' является решением соответствующей однородной СЛАУ, и мы получаем представление х = =х'+ф. Обратно, если у — произвольное решение соответствующей однородной системы, то х = х'+ у — решение системы Ах = Ь, так как А(хо+ у) = Ахо+ Ау = Ь+ О = Ь Следствие 9.5. Пусть х' и хн — решения неоднородной системы Ах = Ь. Тогда их разность и = х' — хи является решением соответствующей однородной системы Ау = О. Теорема 9.6 сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной 258 в.
состкмы линкйных урдкнкний СЛАУ, достаточно знать одно ее решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ. Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме 9.1 Кронекера — Капелли), а во-вторых, найти частное решение х' этой системы, чтобы снести ее к однородной системе.
Следствием теорем 9.5 и 9.6 является теорема о структуре общего решения СЛАУ. Теорема 9.7. Пусть х' — частное решение СЛАУ Ах = Ь и известна яундаментальнал система решений хП>, ..., х(ь~ соответствующей однородной системы Ах = О. Тогда любое решение СЛАУ Ах = Ь можно представить в виде х = х'+с1х>П+сзх( 1+...+ сьх~ >, (9.13) где с; Е В, 1 = 1, Й. Как и в случае однородной СЛАУ, название теоремы отражает то, что формула х=х'+х,, х, =с1х +...+сьх (П (ь) (9.14) при произвольных постоянных с; Е В, 1= 1, й, описывает все множество решений СЛАУ Ах = Ь. Формулу (9.14) называют обивке решением СЛА У. Как найти частное решение неоднородной СЛАУ Ах = Ь? Пусть для соответствующей однородной системы Ах = О выбраны базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы А является базисным и для расширенной матрицы (А ~ Ь)> если СЛАУ Ах = Ь совместна. Поэтому строки базисного минора определяют те уравнения СЛАУ Ах = Ь, из которых следуют остальные.
Эти остальные можно отбросить. Итак, пусть есть СЛАУ аых1+ ашез+ ". + а1„хв = Ьы аыхз+ аззхг+...+ азнхн — Ьз> ат»1х1 + а»>2*2 + ° ° ° + а»»>я» = Ь»» 9.7. Как решать СЛАУ? и базисный минор матрицы СЛАУ сосредоточен вверху слева: а11 а12 ... а1„ ~0 а,1 а„з ... а„ Тогда исходная система эквивалентна следующей: а,>Х1+ а12Х2+ ." + а1аха = 61> а21Х1+ а22Х2+... + азаха = 62> а„1х1+ а„зх2+... + а,„х„= 6„, Зададим нулевые значения х,е1 — — ... —— х„= 0 для свободных неизвестных и получим СЛАУ с нееырохеденноб матрицей ам х1+ а12х2+... + а1„х„= 61, а21х1 + а22Х2+ ° .. + азтХт 62> ат1х1 + атзх2+ ° ° + а>тхт 6» имеющей единственное решение. Решая последнюю систему, находим значения х', ..., х„'.
Тогда частным решением будет столбец » 1 хь 9.7. Как решить СЛАУ т В принципе все уже изложено в предыдущих разделах. Однако описанная схема может быть достаточно трудоемкой из-за того, что некоторые вычисления будут несколько раз повторяться. Покажем, как этих повторений можно взбежать.
260 ц СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Пусть задана СЛАУАн = Ь. Запишем ее расширенную матрицу (А~Ь). Каждому элементарному преобразованию строк расширенной матрицы соответствует аналогичное преобразование уравнений в исходной СЛАУ: а) умножение 1-й строки матрицы на число л ф 0 означает умножение 1-го уравнения СЛАУ на это же число; б) перестановке 1-й и Ь-й строк в матрице отвечает перестановка 1-го и Ь-го уравнений СЛАУ; в) добавление к 1-й строке матрицы ее Ь-й строки равнозначно замене 1-го уравнения его суммой с Ь-м уравнением СЛАУ. Эти преобразования СЛАУ не меняют ее множество решений. Поэтому приведение расширенной матрицы системы с помощью элементарных преобразований ее строк к ступенчатому виду означает сведение СЛАУ к эквивалентной системе, имеющей ступенчатую матрицу.
Итак, сначала приводим расширенную матрицу (А~Ь) заданной СЛАУ с помощью элементарных преобразований строк к ступенчатому виду (А' ~ Ь'). При этих преобразованиях ранги мшприц не меняются, поэтому КЕ(А~Ь) = Кб(А'~Ь'), а КЕА = = КЕА'. Ранги матриц А' и (А'~Ь') равны количеству их ненулевых строк, Если зти ранги равны, то по теореме 9А Кронекера — Капелли СЛАУ совместна, а в противоположном случае — несовместна. В случае совместности в матрице А' ступенчатого вида выбираем, следуя 8.6, базисный минор и фнксируем соответствующие ему базисные и свободные неизвестные. В матрице (А'~Ь') ступенчатого вида отбрасываем нулевые строки (им соответствуют тривиальные уравнения) и по получившейся матрице восстанавливаем СЛАУ.
В уравнениях этой СЛАУ слагаемые со свободными неизвестными переносим в правые части и получаем систему, матрица которой является верянеб треугольной и невырожденной, так как ее определитель совпадает с базисным минором матрицы А'. Последовательно исключая неизвестные, выражаем базисные неизвестные через свободные.
261 9.7. Как решать СЛАУ? Свободные неизвестные обозначаем как произвояьные постоянные и записываем общее решение СЛАУ в виде линейной комбинации столбцов, выделяя в правых частях полученных выражений в отдельные столбцы: а) свободные члены; б) коэффициенты при каждой произвольной постоянной. В этой записи столбец свободных членов есть частное решение СЛАУ, а столбцы при произвольных постоянных образуют нормальную фундаментальную систему решений однородной СЛАУ, соответствующей заданной неоднородной системе. Если исходная СЛАУ является однородной, то изложенный метод решения чуть упрощается, поскольку в расширенной матрице последний столбец является всегда нулевым и не меняется при элементарных преобразованиях строк. Имея это в виду, его опускают, т.е.
все преобразования проводят с матрицей системы. Пример 9.2. Решим однородную СЛАУ х1 — хз+ хз — хе = О, х1+ хз+2хз+ Зха = О, 2х1+ 4хз+ 5хз+ 10х4 = О, 2х1 — 4хз+ хз — бха = О. Чтобы найти общее решение, запишем матрицу системы н преобразуем ее при помощи элементарных преобразований строк к ступенчатому виду: 1 — 1 1 — 1 1 -1 1 — 1 0 2 1 4 0 2 1 4 0 6 3 12 0 0 О 0 О -2 -1 -4 0 0 0 0 1 -1 1 -1 1 1 2 3 2 4 5 10 2 — 4 1 -6 Базисный минор в преобразованной матрице стоят вверху слева и имеет второй порядок.
Это значит, что ранг г матрицы системы равен двум, фундаментальная система решений 262 и системы линейных уРАВнений состоит из а — г = 4 — 2= 2 решений, а сама СЛАУ эквивалент- на следующей системе, которзл соответствует преобразованной матрице: х1 — хз+ хз — хя — — О, 2хз+ хз+ 4х4 — — О. Базисными неизвестными являются х1 и хз, а свободными — хз и х4. Выражаем базисные неизвестные через свободные: х1 = -1,5хз — хз, хз = -0,5хз — 2х4.
Вводим обозначения хз = см хл — сз и записываем общее реше- ние СЛАУ: х1 — — -1,5с1 — сз, хз = -0,5сз — 2сз, хз= см х4 = сз. Используя матричную форму записи, получаем = с1 где х(1) нормальная фундаментальная система решений, а с1, сз— произвольные постоянные. -1,5с1 — сз -0,5с1 — 2сз с1 сз — 1,5 -0,5 1 1 0 -1,5 -0,5 +сз 0 -1 -2 0 1 9.7. Как решать СаАУ 7 Пример 9.3, Решим неоднородную СЛАУ х1 — хг+ хз — хе — — 4, хг+ хг+2хз+ Зха — — 8, 2хг + 4хг + бхз + 10ха — — 20> 2х1-4хг+ хз — бха = 4. Преобразуем расширенную матрицу этой СЛАУ при помощи элементарных преобразований строк к ступенчатому виду: 1 — 1 1 — 1 1 1 2 3 2 4 5 10 2 — 4 1 — 6 1 — 1 1 -1 4 0 2 1 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Теперь видно, что для преобразованной матрицы минор М ' 1,г \ является базисным.
Поэтому КО А = йб(А~ Ь) = 2 = г, и, согласно теореме 9.1 Кронекера — Капелли, СЛАУ совместна. Кроме того, СЛАУ свелась к эквивалентной системе < хг-хг+хз- ха=4, 2хг+ хз+ 4хе — — 4, которая соответствует преобразованной матрице. Однако можно продолжить преобразования в матрице, упрощал базисные столбцы (1-й и 2-й) с помощью элементарных преобразований строк так, чтобы в каждом иэ них остался один ненулевой элемент, причем нулевые строки можно отбросить: 4 41 — 11-14101516 0 1 — 1 1 — 1 0 2 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 8 20 4 1 — 1 1 -1 0 2 1 4 0 6 3 12 0 -2 -1 — 4 4 4 12 264 и СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ По этой матрице восстанавливаем систему х1 +1,5хз+ х4 -— 6, хг+ 0,5хз+ 2х4 = 2.
Перенося свободные неизвестные хз, х4 в правые части урав- нений, получаем < хг — — 6 — 1,5хз — х4> хг = 2 — 0,5хз — 2х4. Для свободных неизвестных положим хз = с1, х4 — сг, и тогда х1 —— 6 — 1,5с1 — сг, хг — 2 — 0,5с1 — 2сг, хз =с11 х4 — — сг, или сг Полученное общее решение очень наглядно: 1-й столбец— частное решение неоднородной СЛАУ, а два последних — нормальная фундаментальная система решений соответствующей однородной СЛАУ (ср. пример 9.2).
Пример 9.4. Решим неоднородную СЛАУ х1 — хг+ хз — х4 — 4, х1+ хг+2хз+ Зх4 — — 8, 2х1+4хг+ бхз+10х4 — 20, 2х1-4хг+ хз- бх4= 5, отличающуюся от системы иэ примера 9.3 лишь одним коэффи- циентом. 6 — 1,5с1 — сг 2 — 0,5с1 — 2сг с1 6 -1 5 — 1 2 -0,5 -2 О +с1 1' +сг 0 0 0 1 265 9.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
