Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Любое конкретное решение СЛАУ также называют ее частпным решением. Решить СЛАУ вЂ” значит решить две задачи: — выяснить, имеет ли СЛАУ решения; — найти все решения, если они существуют. 243 9.1. Основнме определения СЛАУ называют соемествмоб, если она имеет какие-либо решения. В противном случае ее называют месоемесоэмоб. Однороднзл СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений ее неизвестных всегда является решением. Как показывает следуюший пример, для неоднородных СЛАУ возможны различные случаи. Пример 9.1.
Рассмотрим трн системы двух уравнений с двумя неизвестнымн: х~+яз=3,, х~+хз — — 3,, х~+ хз=3, ~ х~ — хэ = 1; ~(я~ + хэ = 4; ~2я~ + 2хз —— 6. С геометрической точки зрения уравнения каждой нэ этих СЛАУ задают прямые на плоскости х~Охз (рис. 9,1). Решениям СЛАУ соответствуют точкн пересечения указанных прямых. Складывал почленно уравнения в первой системе, получаем я~ —— 2, яэ = 1 — единственное ее решение. Геометрически это подтверждается тем, что соответствующие прямые пересекаются в единственной точке (2; 1) (рис. 9.1, а). Из уравнений второй системы следует, что 3 = 4.
Следовательно, эта СЛАУ несовместна, и геометрически это соответствует двум параллельным несовпадающим прямым (рис. 9.1, б). Наконец, третья СЛАУ такова, что второе ее уравнение является следствием первого: оно получается иэ первого умножением на 2. Рве. в.1 244 н системы линейных уРАВнений Геометрически это означает, что уравнения задают одну и ту же прямую (рис.
9.1, в). Следовательно, координаты любой точки этой прямой удовлетворяют каждому из уравнений системы, т.е. третья СЛАУ совместна и имеет бесконечно много решении. Если СЛАУ (9.1) имеет решение, и притом единственное, то ее называют оаределенной, а если решение неединственное— то неоаределенноб. При т = и, т.е. когда в (9.1) количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадрангноб.
9.2. Формы записи СЛАУ Кроме координаганой формы (9.1) записи СЛАУ часто используют и другие ее представления. Рассматривая коэффиииеногы аб СЛАУ при одном неизвестном х как элементы столбца, а х как коэффициент, на который умножается столбец, иэ (9.1) получаем новую форму занеси СЛАУ: аы а12 а1» Ь, аг1 агг 122» Ь2 х1+ . х2+ ° + . х»вЂ” Ь а а,1 нли, обозначая столбцы соответственно а1, ..., а„, Ь, (9.2) х1а1+...+ х„а„= Ь. Таким образом, решение СЛАУ (9.1) можно трактовать как представление столбца Ь в виде линейной комбинации столбцов а1, ..., а„. Соотношение (9.2) называют вемгггорноб эааисью СЛА У. Обратим внимание на то, что слева в каждом уравнении системы (9.1) стоит сумма попарных произведении — так же, 245 9.3. Критерии соииестиости СЛАУ как и в произведении двух матриц.
Если взять за основу произведение матриц, то СЛАУ (9.1) можно записать так (см. пример 6.5): аы агг .. а1„Х1 1 агг агг " аг хг г атю1 аыг ° ° аыо Х Ь или Ах = Ь, где А — матрица типа тхп; х — столбец неизвестных; Ь вЂ” столбец свободных членов: Ь1 Ь Ь= а1 Х1 аг„ Х2 х= а11 а12 а21 агг А= а,о1 а,„г ...
а„,„ Поскольку А, х и Ь являются матрицами, то запись СЛАУ (9.1) в виде Ах = Ь называют мапгринноб. Если Ь = О, то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид Ах = О. Приведенные рассуждения показывают, что задачи: а) решения СЛАУ (9.1); б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов; в) решения матричных уравнений вида Ах = Ь являются просто различной формой записи одной и той же задачи.
0.3. Критерий совместности СЛА'У „Триединство" форм записи СЛАУ позволяет легко получнть критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны). 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 246 Матрицу ап аш .. аь аз~ аяя .. ая« аы а«з ... а~« называют мапярицей (коэффициентов) СЛАУ (9.1), а мат- рицу Ь~ Ь аы аш " аг« (А ~Ь) аы гя " ая« ат«1 ат«2 ° ° ат««Ьт расяниренной мапярицей СЛАУ (9.1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.
Критерий совместности СЛАУ дает следующая пяеорема Кронекера — Капелли (Л. Кронекер (1823 — 1891) — немецкий математик, А. Капелли (1855-1910) — итальянский математик). Теорема 9.1. Для совместности СЛАУ Ах = Ь необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы А был равен рангу ее расширенной матрицы (А~Ь). < Необходимость. Отметим, что ранг матрнцы А СЛАУ Ах = Ь не превосходит ранг расширенной матрицы (А~Ь). Поэтому нам достаточно показать, что ранг матрицы А системы не меньше ранга ее расширенной матрицы (А ~ Ь). Если система совместна, то, записывая ее в векторной форме, делаем вывод, что существуют такие значения неизвестных хя, ..., х„, для которых а~х~+...
+а„х„= Ь, где а; — столбцы матрицы А, Ь вЂ” столбец свободных членов. Это означает, что последний столбвц Ь в расширенной матрице системы является линейной комбинацией остальных столбцов. Выберем каков-либо Базисный минор матрицы А. Для простоты пусть он содержит 247 9.З. Критерий совместности СЛАу строки с номерами 1, 2, ..., Й и столбцы с теми же номерами, т.е. аы а1т ... а19 аю атт ...
ать аы аьт ... аья Согласно теореме 8.7 о базисном миноре> базисные стполбиы линейно независимы, в то время как для каждого у > й сушествуют такие Л; Е 1ь, 1= 1,Ь, что ай — — Л11а1+... + Лыау,. Поэтому столбец Ь = а1х1+... + аьхь + аь+1 х я+1 +... + а„х„= = а1х1+... + аьхь+ (Лць+1а1+... + Л~,,ь+1аь)хе+1+ +...
+ (Лгоа~+... + Ль„аь)х„ является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. Это означает, что М является также базисным минором и в расширенной матрице (во-первых, он ненулевой; во-вторых, если взять какой-либо окаймляющий минор М', то либо он будет минором матрицы А, т.е. нулевым, либо он будет содержать столбец Ь и, следовательно, не может быть ненулевым, так как его столбцы линейно зависимы). Поэтому В8(А ~ Ь) = Н8А. Достаточность. Пусть К8(А~Ь) = К8А.
Выберем в А базисный минор М (как и выше). Тогда он будет базисным и в матрице (А~Ь). Значит, столбец Ь можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов ам ..., аь. Ь=х1а1+...+хьаь. Полагая х~+ — — х~+ —— ... — — х,', = О, получаем решение х1, ..., х'„ исходнон СЛАУ, поскольку Ь = х1а1+...
+ х;,аь = х1а1+... + х ~ ал+ бал+1+ ...+ Оа . Это означает, что СЛАУ совместна. ~ 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 9.4. слзормулы Крамера 248 АыЬ1+ А21Ь2+" + А»1Ь« х1 — о11Ь1+ о12Ь2+ + о1»Ь»вЂ” с1еФ А Числитель представляет собоЙ раэлоэсеиие по 1-му столбцу определителя Ь1 а ге ... а1„ Ь2 а22 ° ° ° а2» Ь» ат»2 ° ° ° а~а» получающегося, если в матрице А заменить 1-й столбец на столбец сеободиыс членов. Аналогично находим, что Ь,. деСА' у =1, и, (9.3) где 93 — определитель матрицы, получающейся из матрицы А заменой у'-го столбца на столбец свободных членов. Таким образом, установлено следующее правило Крамера. Теорема 9.2.
СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера (9.3). Рассмотрим СЛАУ(9.1) с квадратной иееырозкдениой матрицеб А в матричной эаниси Ах = Ь. В такой форме СЛАУ представляет собой частный случай матричного уравнения АХ = В при В =Ь и Х = х (см.
8.3). Поэтому она имеет единственное решение х= А 1Ь, где А 1 — матрица, обратная к А. Чтобы выразить это единственное решение через коэффициенты СЛАУ, запишем А 1 в виде: А 1 = (об), где о;. = = А;/деФА, а Ач — алгебраическое дополнение элемента а; матрицы А. Перейдем от матричного равенства х = А 1Ь к его координатной записи. Тогда для первых элементов в столбцах левой и правой частей последнего равенства имеем 249 9.5.
Однородные системы Следствие 9.1. Однороднал СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое. Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится испольэовать другие методы нахождения решений. 9.5, Однородные системы Следующая теорема описывает важнейшее свойство множества решений однородной системы т линейных алгебраических уравнений с н неизвестными аых1+ агахэ+...+ а1„х„= О, аэ1х1+ аээхэ+... + ааох„= О, (9.4) аы1х1+ а„ахи+... + а~„х„= О.
Теорема 9.3. Если столбцы х111, х111, ..., х1Π— решения однородной СЛАУ Ах = О, то любая их линейная комбинация также является решением этой системы. < Рассмотрим любую линейную комбинацию данных решений: Льх1~1, Ла б яь. Ьм1 Тогда 8 е 8 Ах = А(~> Лах~~~) = ~~) ЛьАз~~> = ~) ЛьО = О Ме1 Ям 1 ям 1 т.е. столбец и является решением однородной СЛАУ. ~ Следствие 9.2.
Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений. 250 з. системы линейных уРАВнений ~ Если х — ненулевое решение однородной СЛАУ, то для любого Л Е И решением однородной СЛАУ является и Ах. Ге Естественно попытаться найти такие решения хП1, ..., х91 системы Ах = О, чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом.
Оказывается, что зто всегда возможно и приводит к следующему определению. Определение 9.1. Любой набор из к = и — г линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ Ах = О, где н — количество неизвестных в системе, а г — ранг ее матрицы А, называют фундамента вьноб систпемоб решений этой однородной СЛАУ.
При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице А однородной СЛАУ Ах = О фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисныма, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независамыма. Теорема 9.4. Пусть дана однородная СЛАУ Ах = О с и неизвестными и К8А = г. Тогда существует набор из к = и — г решений хП1, ..., х1"1 этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решенин.
а Не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор матрицы А сосредоточен в верхнем левом углу, т.е. расположен в строках 1, 2, ..., г и столбцах 1, 2, ..., г. Тогда остальные строки матрицы А, согласно теореме 8.7 о базисном миноре, являются линейными комбинациями базисных строк. Для системы Ах = О зто означает, что если значения хм ..., х„ удовлетворяют уравнениям, соответствующим строкам базисного минора, т.е, первым г уравнениям, то они удовлетворяют и остальным уравнениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
