Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Вычитая нз 1-й строки матрицы А линейную комбинацию первых г ее строк с коэффициентами 6м Ьз, ..., 6„, получаем нулевую строку, не меняя при этом ранга матрнцы А. Проделав это для всех 1 = г+1, п1, получим матрицу с теми же первыми г строками, но нулевыми остальными строками. Ранг полученной матрицы равен рангу исходной матрицы А и, очевидно, равен г, так как в ней есть неравный нулю минор М порядка г, а любой минор с+1 или большего порядка будет иметь хотя бы одну нулевую строку и, следовательно, будет равен нулю.
Это означает, что минор М является базисным в исходной матрице А. в 236 н оирлтнля млтрицл и рлнг млтрицы На первом шаге выбираем любой ненулевой элемент матрицы, например левый верхний элемент, т.е. 2. Это ненулевой минор первого порядка. На втором шаге строим окаймляющий минор второго порядка. Добавляем 2-ю строку и 2-й столбец и вычисляем получающийся окаймляющий минор Это окаймление не подходит. Меняем 2-й столбец на З-й.
Получаем минор второго порядка Это окаймление подходит. Третий шаг: добавляем к этому минору 3-ю строку и можно снова попытаться использовать 2-й столбец. Оказывается, что 2 — 4 3 1 — 2 1 0 1 — 1 =4+3 †4 †2, значит, выбранный минор третьего порядка подходит. Четвертый шаг: добавляем 4-ю строку (других нет) и 4-й столбец н вычисляем определитель четвертого порядка 0 1 9 1-1 3 1 012 1,2,ЗД Выбранный окаймляющий минор не подходит.
Меняем 4-й столбец на 5-й: 0 1-4 1-1 1 1 0 — 3 1,2,ЗД М1,'2,'З,'4 = 2 — 4 3 1 1 — 2 1-4 0 1 — 1 3 4 — 7 4 — 4 2 — 4 30 1-2 12 0 1-11 4-7 45 0 0 1 9 1-2 1-4 0 1 — 1 3 0 1 0 12 0 0 1 — 4 1 — 2 1 2 0 1-1 1 0 1 0-3 237 8.б. Вычисление ранга матрицы Итак, ненулевой минор третьего порядка М ' ' имеет два цг,з окаймляющих минора четвертого порядка и оба они равны нулю.
Других окаймляющих миноров четвертого порядка нет. цг,з Поэтому делаем вывод, что М~' ' — базисныи минор, а ранг матрицы равен трем. Метод элементарных преобразований. При элементарных преобразованиях строк ~столбцов) матрицы ее ранг, согласно теореме 8.6, не меняется. С помощью этих преобразований можно так упростить матрицу, чтобы ранг новой матрицы легко вычислялся.
Например, согласно теореме 6.3, с помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Ранг же слпупеннатой матрицы равен количеству ненулевых строк. Базисным в ней является минор, расположенный на пересечении ненулевых строк со столбцами, соответствующими первым слева ненулевым элементам в каждой из строк. Действительно, этот минор ненулевой, так как соответствующая матрица является верхней треугольной, алюбое его окаймление содержит нулевую строку. Поэтому приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк позволяет вычислить ранг матрицы. Пример 8.8.
Найдем ранг матрицы методом элементарных преобразований. Для этого достаточно привести матрицу к ступенчатому виду, воспользовавшись, например, алгоритмом из доказательства теоремы 6.3 (см. с. 178). Отметим, что вычисления удобно проводить, если текущий элемент равен единице. Поэтому операцию 2* алгоритма (перестановка строк) будем выполнять не только для замены нулевого текущего элемента (так было заложено в алгоритме), но также и для того, чтобы в качестве текущего элемента получить единицу или другое небольшое целое число. Отметим также, что можно в любое время умножать ту или иную строку матрицы на ненулевое число, в частности сокращать элементы строки 238 8.
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ а общий множитель, хотя это и е предусматривается алгоритмом. Эта дополпительпая операция позволяет упростить вычисления: 2 — 2 — 4 3 1 О 1 — 1 — 2 1 — 4 2 — о з 1 -(ЕЯ2- 4 -3 -7 4 — 4 5 1 — 1 -2 1 -4 2 2 -2 -4 3 1 0 (2) -> (2) — 2(1) 0 1 1 -1 3 1 (4) -+ (4) — 4(1) 4 -3 — 7 4 -4 5 1 — 1 -2 1 -4 2 0 0 0 1 9 -4 0 1 1 — 1 3 1 0 1 1 0 12 -3 'с2) й~(3)] 1 -1 -2 1 -4 2 -К- ч4):И- 0 1 1 -1 3 1 0 1 1 0 12 -3 1 -1 -2 1 -4 2 Е-~ ~4ЯВ~~ 0 1 1 -1 3 1 0 0 0 1 9 — 4 1 -1 -2 1 — 4 2 0 1 1 — 1 3 1 0 0 0 1 9 -4 о о а о о о Полученная матрица ступенчатого вида имеет три ненулевые строки, поэтому ранг этой матрицы и, следовательно, матрицы А равен трем.
Базисным минором в последней матрице являц2,4 ется М,','з. 239 Воеросм н эаяечи 2 О 3 1 О 1 О 1 -1 2 -2 3 1 — 1 1 О 1 -1 =1~ О. Следовательно, он является одним из базисных миноров мат- рицы А. Вопросы и задачи 8.1. Для заданной матрицы выяснить, существует ли обратная матрица, и, если существует, найти ее: а);б);в)232;г)-14-1 Сделать проверку ответов.
Замечание 8.1. Приведенные два метода существенно отличаются друг от друга. Прн нахождении ранга конкретной матрицы методом окаймляющих миноров может потребоваться большое количество вычислений. Это связано с тем, что метод требует вычисления определителей, порядок которых может возрасти до минимального иэ размеров матрицы. Однако в результате будет найден не только ранг матрицы, ио и один из ее базисных миноров. При нахождении ранга матрицы методом элементарных преобразований требуется гораздо меньше вычислений.
Причем разница в объемах вычислений возрастает с ростом размеров матрицы и усложнением ее вида. Но этот метод позволяет найти базисный минор лишь для матрицы ступенчатого вида, полученной в результате элементарных преобразований. Чтобы найти базисный минор исходной матрицы, нужны дополнительные вычисления с учетом уже известного ранга матрицы. В примере 8.8, вычислив наудачу минор третьего порядка, стоящий в тех же строках и столбцах, что и в преобразованной матрице ступенчатого вида, получим 240 8. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МА ТРИЦЫ 8.2. При каких а Е В следующие матрицы имеют обратные: а) ; б) ; в) 2 3 а 8.3.
Пусть А — невырожденнзл матрица. Что можно утверждать о виде матрицы А ' и (или) ее элементах, если матрица А является: а) единичной; б) диагональной; в) симметрической; г) кососимметрической; д) нижней треугольной; е) верхней треугольной? 8.4. Доказать, что матричное уравнение ХА = В с невырожденной матрицей А имеет единственное решение. 8.5. Решить матричные уравнения; а) Х=; б)Х 8.6. Найти матрицу Х из матричного уравнения: а) А (Х вЂ” В ')А ' =(АВ) з; б) ВА(ЗХ+2В ) 'А ' = АВ 'А.
8.Т. Найти определитель матрицы А, если известно, что т 1 т А А = 4А 'А . Зависит ли он от порядка матрицы А? Привести пример матрицы второго (и-го) порядка, удовлетворяющей укаэанному равенству. 8.8. Какой порядок имеет невырожденная матрица, если она удовлетворяет условию Аз + ЗА = 9? 8.9. Методами окаймляющих миноров и элементарных преобразований найти ранг матрицы: 31 — 2 0 2 13 б) а) 12 1-1 55 0-2 4 3 -1 — 1 2 1 01 1 3-12 1 -1 -2 0 4 3-33 1 -1 1 0 11 241 Воиросм и задачи 8.10. При всех а б К найти ранг матрицы: а) 3 О 1; б) Π— 2 2; в) О 2а 1 8.11.
Доказать, что если для матриц А и В определено их произведение АВ, то всегда Кп(АВ) < щах(КпА, КяВ). 8.12. Привести примеры таких матриц А и В, что: а) Кя(АВ) < щах(К8А, КиВ); б) Кя(АВ) =щах(КиА, КяВ). 8.13. Пусть матрицы А и В имеют один и тот же тип.
Всегда ли выполнены следующие неравенства: а) Кя(А+В) < КпА+КиВ; б) Ки(А — В) < КОА+КОВ? 8.14. Привести примеры таких матриц А и В, что: а) К8(А+В) < КОА+КОВ; б) Кя(А- В) < КОА+КОВ; в) К8(А+В) = КОА+КОВ; г) Кя(А — В) = КОА+КОВ. 8.15. Доказать, что ранг матрицы А не изменится, если ее умножить слева (справа) на любую невырожденную матрицу. 8.16. Пусть А — квадратная матрица, элементы которой являются функциями, непрерывными на отрезке (а; о). Можно ли утверждать, что ранг этой матрицы является функцией, непрерывной на этом отрезке? Привести иллюстрирующие примеры.
8.17. Найти все матрицы Х второго порядка, удовлетворяющие условию: а) Хз = Е; б) Хз = -Е; в) Хз = 9; г) Хз = Х; д) ХХ =Е;е) Х Х= — Е. 8.18. Доказать, что если невырожденнал матрица А перестановочна с матрнцей В, то и матрица А ~ перестановочна с матрицей В. 8.19. Доказать, что если некоторал квадратная матрица А удовлетворяет равенству Аз — Аз + А+ Е = 9, то она невырожденная. Выразить матрицу А ~ через матрицу А с помощью многочлена второй степени. 9.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 9.1. Основньле определения Систпема тп линейных алеебраичесяих уравнений с п неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида ам х1 + вглх2+... + втп хи = 61, в21х1+ в22х2+... + а2пхп — 62~ (9.1) ат1Х1 + ап12Х2+ ° ° ° + атппяп Ь~п. Уравнения системы (9.1) называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть мноеочлен опт п переменНЫХ Х1, ..., Хп, а ЛИНЕЙНЫМИ ПОТОМУ, Чта Зтн МНОГОЧЛЕНЫ ИМЕЮТ первую сотепень. Числа в; б Е называют яоэффициентпами СЛАУ.
Их нумеруют двумя индексамн: номером уравнения 1 и номером неизвестного т'. Действительные чвсла 61, ..., Ь„, называют свободными членами уравнений. Запись СЛАУ в виде (9.1) будем называть яоординатпной. СЛАУ называют однородной, если Ь1 —— Ь2 = ... = Ьн = О. Иначе ее называют неоднородной. Решением СЛА У, да и вообще всякой свстемы уравнений, называют такой набор значений неизвестных хт,...,х„', при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
