МУ-Э-80 (1003818), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В практических приложениях, как правило,рассматривают «малые» контуры с «большим» током: в этих случаях упрощаютсязависимости для магнитного поля, образованного контуром с током, и легче описываютсяэффекты воздействия стороннего магнитного поля на контур с током.Если для рассматриваемого контура известны параметрические уравненияпространственной кривой(9)x x(t ), y y(t ), z z(t ) ,и сила тока является постоянной величиной, то, используя соотношение для проекцийвекторного произведения (5), можно определить проекции вектора p m на оси декартовойсистемы координат:I dz (t )dy (t ) pmx y (t ) z (t ) dt ,2 dtdt I dx(t )dz (t ) (10)pmy z (t ) x(t ) dt ,2 dtdt I dy (t )dx(t ) pmz x(t ) y (t ) dt.2 dtdt 3.
Магнитный диполь во внешнем магнитном поле.Элемент проводника dl с током I испытывает во внешнем магнитном поле с магнитнойиндукцией B воздействие силы Ампера: (11)dF A I dl B ,направление вектора dl при этом совпадает с направлением электрического тока.Располагая выражением для элементарной силы Ампера, можно определитьэлементарный момент этой силы относительно начала координат: (12)dM r dFA .Для расчёта силового взаимодействия произвольного контура с током можновоспользоваться принципом суперпозиции. В случае, когда характерный размеррассматриваемого контура с током значительно меньше характерного размеранеоднородности внешнего магнитного поля, достаточную точность вычисленийобеспечивает «дипольное приближение»:F ( pm ) B ,(13) M pm B ,(14) U pm B .(15)Здесь p m - магнитный дипольный момент системы, - оператор Гамильтона (оператор«набла»), F - сила, M - момент, U - потенциальная энергия, приобретаемая магнитнымдиполем во внешнем магнитном поле.
В однородном магнитном поле (вектор магнитнойиндукции постоянная векторная величина) результирующая сила воздействия намагнитный диполь обращается в нуль, что важно для выполнения эксперимента внастоящей лабораторной работе.6MBpmРис.3. Магнитный диполь вмагнитном поле.На рисунке 3 показан вектор механического момента M как результат векторногопроизведения магнитного дипольного момента p m и вектора магнитной индукции B .Легко видеть, что внешнее магнитное поле стремится повернуть вектор магнитногодипольного момента вдоль силовой линии магнитного поля. На рисунке 4 приведенграфик зависимости безразмерной потенциальной энергии магнитного диполя от угламежду вектором магнитного момента диполя и вектором магнитной индукции.Рис.4.
Потенциальная энергия магнитного диполя.Из курса механики известно, что механическая система стремится занять положение сминимумом потенциальной энергии. В рассматриваемом случае это расположениевектора магнитного момента диполя вдоль силовой линии магнитной индукции, когданаправления рассматриваемых векторов совпадают. Естественно, что результаты«силового» и «энергетического» анализа не противоречат друг другу.В настоящей лабораторной работе отмеченная особенность взаимодействиямагнитного диполя с внешним магнитным полем используется как физическая основаэксперимента.Введённое выше понятие магнитного момента имеет смысл для любого замкнутогоконтура с током, а не только для круговой рамки: магнитное поле на больших расстоянияхне зависит отформы контура, подобно тому, как электрическое поле любойэлектронейтральной в целом системы зарядов (например, молекулы) эквивалентно сизвестной степенью приближения полю диполя.
Магнитный дипольный момент – этоважная физическая характеристика контура с током, через которую выражается не толькосоздаваемое им поле, но и действие на него других магнитных полей. Например,Mзависимость B max , служащая определением магнитной индукции магнитного поля,IS7записывается через магнитный момент следующим образом: B M max. Для магнитногоpmполя не существует аналога точечного заряда как источника поля и как пробного объекта,действием на который проявляет себя это поле.
Простейший объект такого рода длямагнитного поля - это не магнитный заряд, а магнитный диполь, свойства которого вомногом аналогичны свойствам электрического диполя.4. Магнитное поле магнитного диполя.На достаточно больших расстояниях от рассматриваемого контура с током посравнению с характерным линейным размером контура можно использоватьприближённые зависимости для расчёта индукции B и векторного потенциала Амагнитного поля: 0 pm 3 p m (r r ) (r r )(16)B 3 ,54 rrrr 0 p m (r r ),(17)A 34r r(18)B rot A .Здесь r - радиус-вектор точки наблюдения, r - радиус-вектор расположения магнитногодиполя (магнитного момента «малого» контура с током). Заметим, что приведённыевыражения являются результатом отбрасывания членов более высокого порядка малостив разложении Тэйлора приведённых выше зависимостей (3) - (4) для векторных полейB( x, y, z ) и A( x, y, z ) .5.
Силовые линии магнитного поля B магнитного диполя.Ниже будем рассматривать ситуации, когда центр магнитного диполя совпадает сначалом координат. Для практического использования приведённых зависимостей (вчастности, расчёты магнитного поля Земли) достаточно знать составляющие (проекции)вектора p m вдоль координатных направлений декартовой системы координатp mx p m sin(0 ) cos( 0 )p my p m sin(0 ) sin( 0 )(19)p mz p m cos(0 )где p m - модуль магнитного момента диполя, расположенного в начале системыкоординат, 0 и 0 угловые координаты вектора магнитного момента в сферическойсистеме координат. Точка наблюдения описывается соответствующим радиус-векторомx rx r sin( ) cos( )y ry r sin( ) sin( )z rz r cos( )(20) .Здесь r x 2 y 2 z 2- расстояние отцентра диполя до точки наблюдения, а и - угловые (сферические) координаты точкинаблюдения (см.
рис. 5).Рис.5. Сферическая система координат.8Зависимости для вычисления проекций вектора магнитной индукции на оси декартовойсистемы координат для произвольной точки наблюдения имеют вид: 3 ( x p mx y p my z p mz ) xp mx 2222 5/ 222 3/ 2 (x y z )(x y z ) p my 3 ( x p mx y p my z p mz ) y.(21)222 5/ 2222 3/ 2 (x y z )(x y z ) 3 ( x p mx y p my z p mz ) zp mz(x 2 y 2 z 2 )5 / 2(x 2 y 2 z 2 )3/ 2 Полученные зависимости позволяют сформировать систему дифференциальныхуравнений для силовых линий магнитного поля:dxdydz.(22)Bx ( x, y, z ) B y ( x, y, z ) B y ( x, y, z )Решение этой системы дифференциальных уравнений в аналитическом виде возможнотолько в отдельных, частных и очень простых случаях.
А численное решение этойсистемы вполне выполнимо. Действительно, пусть силовая линия проходит через точкупространстваВэтойточкеизвестнывеличины( x0 , y 0 , z 0 ) .Bx ( x0 , y0 , z 0 ), B y ( x0 , y0 , z 0 ), Bz ( x0 , y0 , z 0 ) .Еслизадатьпроизвольноодиниздифференциалов, например, dx , то два других полностью определены в соответствии ссистемой дифференциальных уравнений силовых линий. Это позволяет перейти кследующей точке той же самой силовой линииx x0 dx, y y0 dy, z z 0 dz ,в которой по условию снова известны проекции вектора магнитной индукции, значит,можно продолжить практическое построение конкретной силовой линии.
Современныевычислительные системы MAPLE, MATHEMATICA и ряд других имеют специальныефункции, обеспечивающие графическое построениекартины силовых линий наплоскости и в пространстве по заданным зависимостям проекций векторного поля на осидекартовой системы координат.04By 04Bz 04Bx 6. Силовые линии магнитного поля Земли (простейший случай).Картина силовых линий магнитного поля Земли (магнитный дипольный моменториентирован по оси вращения Земли, pmx 0, pmy 0, pmz Pm const ) представленана рисунке 6.На рисунке надо обратить внимание на следующие характерные особенностирасположения силовых линий:- В окрестности экватора (горизонтальная плоскость симметрии) силовые линиимагнитного поля не имеют вертикальной составляющей.- В окрестности оси вращения Земли (вертикальная ось симметрии) силовые линии"входят" в северный географический полюс Земли - это южный магнитный полюс поопределению.В окрестности оси вращения Земли силовые линии "выходят" из южногогеографического полюса Земли - это северный магнитный полюс по определению.- В рамках рассматриваемой модели (географические полюсы Земли совпадают смагнитными полюсами с точностью до "наоборот"): компас показывает направление насеверный полюс Земли.9Рис.6.
Иллюстрация силовых линий магнитного поля Земли.Магнитное наклонение (это угол между силовой линией магнитного поля игоризонтальной плоскостью) в северном полушарии – отрицательное - магнитная стрелкасвоим северным полюсом отклоняется вниз.Магнитное наклонение в южном полушарии - положительное - магнитная стрелка своимсеверным плюсом отклоняется вверх.7. Магнитное наклонение и магнитное склонение на поверхности Земли.Магнитное поле Земли приближённо (качественная картина явления) можно считатьполем магнитного диполя с магнитным дипольным моментом Pm 8,3 10 22 A м 2 , центрмагнитного диполя практически совпадает с центром Земли, эффект магнитногонаклонения можно обнаружить (и качественно объяснить), если считать, что магнитныйдиполь направлен по оси вращения Земли от северного географического полюса кюжному географическому полюсу.
Эффект магнитного склонения обнаруживается сиспользованием более сложной модели, в которой вектор дипольного магнитногомомента Земли отклоняется от оси вращения Земли на 11,4 градуса, его центр совпадает сцентром Земли и плоскость, в которой располагается рассматриваемый диполь, совпадаетс плоскостью гринвичского меридиана. В теории магнетизма Земли разработаны болеедетализированные модели, позволяющие рассчитать теоретическое поле Земли не тольков окрестности Москвы, а обеспечить необходимую точность вычислений по множествуточек наблюдения. Они, естественно, болеесложные, достаточно сказать, чтостандартная модель фигуры Земли учитывает отклонение от сферы (Земля не шар, аэллипсоид вращения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
