МУ-Э-80 (1003818), страница 9
Текст из файла (страница 9)
–предположение о термоэлектрических токах в объёме Земли с учётомдействия кориолисовой силы. Совпадения с экспериментом добиться неудалось.Френкель Яков Ильич (1894-1952), советский учёный, в 1947 годупредложил теорию последовательного самовозбуждения магнитного поляЗемли (теория «динамо»).
В настоящее время эта теория принята в качествеосновной модели земного магнетизма и всесторонне разрабатываетсягеофизиками.ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МАГНИТНОГО СКЛОНЕНИЯ.Явление магнитного склонения легко объяснить с помощью следующейупрощенной модели земного магнетизма. Допустим, что поверхность Землиявляется сферой известного радиуса, магнитное поле Земли - полемагнитного диполя с известным магнитным моментом, ось этого диполяпроходит через центр Земли и отклоняется от оси вращения Земли на угол0 . Ось вращения Земли и ось магнитного диполя определяют плоскость,которая повёрнута относительно плоскости гринвичского меридиана на угол 0 в направлении по часовой стрелке, если смотреть на этот поворот ссеверного географического полюса. Пусть (для удобства выкладок) северныймагнитный полюс расположен в северном полушарии.
Реальная физическаяситуация отличается от описанной: ось магнитного диполя не пересекается сосью вращения Земли, между центром Земли и центром магнитного диполяоколо 400 км, северный магнитный полюс находится в южном полушарии,Земля является не шаром, а сплюснутым эллипсоидом. Тем не менее сучётом предположений упрощенной модели земного магнетизма можнополучить физически приемлемые результаты с помощью несложногоматематического аппарата.41Географические координаты .Рассмотрим сферу радиуса R , введём сферические координаты r , , ,положение оси вращения Земли опишем условием 0 , а условие 0пусть определяет положение гринвичского меридиана.
Выражения длядекартовых координат точки наблюдения на поверхности сферы радиуса Rимеют вид:x R sin cos ,y R sin sin ,(1)z R cos .Дляначалавведём"географические координаты" точекповерхности Земли. Северная широтаточки наблюдения отсчитывается вградусах от линии экватора внаправлениисеверногогеографическогополюса,южнаяширотаточкинаблюденияотсчитывается в градусах от экватора вРис. П.4.сторонуюжногогеографическогополюса. Уравнение географическойпараллели в рассматриваемой модели можно описать условием сonst .Заметим, что это условие приводит к системе параметрических уравнений:xII R sin cos ,yII R sin sin ,z II R cos ,(2)которые определяют пространственную кривую на поверхности сферы, врассматриваемом случае - окружность радиуса R sin , плоскость которойперпендикулярна оси вращения Земли и отстоит от центра Земли нарасстояние R cos .Уравнение географического меридиана описывается условием сonst ,в этом случае параметрические уравнения пространственной кривой наповерхности сферы принимают вид;(3)xM R sin cos , yM R sin sin , zM R cos .Уравнения (3) описывают окружность радиуса R, плоскость которойпроходит через центр Земли и повёрнута относительно плоскостигринвичского меридиана на угол .На рисунке П.4 приведены результаты расчётов по зависимостям (2)и (3): - географические параллели (синие линии) - это экватор (0 градусовс.ш.), параллель 30 градусов с.ш., параллель 45 градусов с.ш., параллель 60градусов с.ш.;- географические меридианы (красные линии) - гринвичский меридиан,меридиан 15 градусов восточной долготы, 30 градусов восточной долготы, 45градусов восточной долготы, 60 градусов восточной долготы и 75 градусоввосточной долготы.Приведённые выше простые результаты описаны так подробно толькопотому, что метод построения сетки "магнитных" координатных линий42принципиально не отличается от изложенного метода построениягеографических координат.Перейдём к рассмотрению магнитных параллелей и магнитныхмеридианов.
Напомним, что магнитное поле магнитного диполя обладаетосевой симметрией относительно оси магнитного диполя. Отсюда следует,что плоскости магнитных параллелей перпендикулярны оси магнитногодиполя (а не оси вращения Земли!), а плоскость магнитного меридианадолжна проходить через магнитный плюс, центр Земли (в рассматриваемойупрощенной модели) и некоторую точку географического экватора,положение которой можно считать параметром ориентации плоскостимагнитного меридиана.Магнитные координаты.
Магнитные параллели.Вычислим направляющие косинусы единичного безразмерного вектора,направленного вдоль оси магнитного диполя (положение оси магнитногодиполя описано в водной части раздела):cos sin 0 cos 0 , cos sin 0 sin 0 ,cos cos 0 .(4)Уравнение плоскости Р, перпендикулярной указанному направлению,известно из курса аналитической геометрии(5)x cos y cos z cos p ,гдер - минимальное расстояние описываемой плоскости от началакоординат (длина перпендикуляра, опущенного из начала координат наописываемую плоскость). Плоскость Р при выполнении очевидных условийпересекает поверхность сферы радиуса R :(6)x2 y 2 z 2 R2 .Совместное решение уравнений (5) и (6) доставляет уравнение линиипересечения соответствующих геометрических объектов - это окружность,уравнения которой легко получить, если искать решение в форме(7)X II R sin II cos II ,YII R sin II sin II ,Z II R cos II .Заметим, что зависимости (7) тождественно обращают в нуль уравнение (6),а после подстановки их в уравнение (5) приводят к уравнениюsin 0 sin II cos( II 0 ) cos 0 cos 0 ,p.R(8) II )Напомним, что параметры точки наблюдения (угол II и уголопределены относительно исходной системы координат, связанной с осьювращения Земли.Уравнение (8) позволяет получить зависимостиsin II F ( II ) ,cos II G( II ) ,(9)явные аналитические выражения для которых получены ниже.
Такимобразом, получают параметрические уравнения магнитной параллели:X II R F ( II ) cos II , YII R F ( II ) sin II , Z II R G( II ) .(10)Величины 0 , 0 и входят в зависимости (10) в качестве параметроврешения.43Определим зависимости (9). Наиболее просто уравнение (8) решаетсяпри условии 0 , которым описывается магнитный экватор:1(11)tgII tg0 cos( II 0 ) .Далееудобновоспользоватьсяизвестнымитригонометрическимисоотношениями:sin A tgA1 tg 2 A, cos A 11 tg 2 A.(12)Знак того или иного выражения следует выбирать в соответствии сфизическим смыслом получаемого результата.
Заметим, что использованиефункции tgAудобно при определении пределов применимости того илииного выражения при проведении конкретных вычислений.На рисунке П.5 показано положениемагнитного полюса, положение магнитногоэкватора, рассчитанное по рассматриваемойупрощенной модели с использованиемследующихзначенийпараметров:0o0 15 , 0 30 . Для облегчения восприятияполученных результатовна рисункеотмеченыположениягринвичскогомеридиана (ось Х декартовой системыкоординат - чёрная точка на географическомэкваторе), положение точки (0,R,0) - ось УРис. П.5.декартовой системы координат, положениегеографического меридиана 0 30o (меридиан проходит через точкумаксимального отклонения магнитного экватора от географическогоэкватора) и положение географического меридиана, для которого имеетместо пересечение магнитного меридиана и географического меридиана.Для произвольного значения параметра уравнение (8) приводится квиду(13)( A2 2 ) tg 2II 2 A B tgII ( B 2 2 ) 0 ,где:A sin 0 cos( II 0 ) , B cos 0 .(14)Решение уравнения (13) известно:2 A B B2 2A B 2 2tgII 2 T ( II ) .2 A 2A 2 A (15)Параметрические уравнения магнитной параллели ( конкретное значениепараметра ) принимают вид:T ( II )X II R 1 T ( ) 2II1 cos , Y R T ( II ) sin , Z R iiIIiiII2 1 T ( ) 1 T ( ) 2IIII.(16)44На рисунке П.6 показаны положениемагнитного полюса, изображения магнитныхпараллелей в следующем порядке: магнитныйэкватор и магнитная параллель, плоскостькоторой отстоит от центра Земли нарасстояниеполовинырадиусаЗемли.Ориентация магнитного диполя совпадает сориентацией диполя на предыдущем рисунке.Краснойлиниейпоказаноположениегринвичского меридианаРис.
П.6.Магнитные меридианы.Положение плоскости магнитного меридиана описано в самом началенастоящего раздела. Выпишем уравнение плоскости, проходящей через трипроизвольные точки пространства, которые не лежат на одной прямой. Изаналитической геометрии известно, что в таком случае справедливоуравнение (17)(r r1 ) (r r2 ) (r r3 ) 0 .Здесь r - радиус-вектор точки наблюдения, r1 - радиус-вектор первой точки,r2 - радиус-вектор второй точки, r3 - радиус-вектор третьей точки, черезкоторые проходит плоскость.
В координатной форме уравнение (17) имеетвид:x x1x x2x x3y y1y y2y y3z z1z z2 0 .z z3(18)В рассматриваемом случае (плоскость проходит через начало координат,проходит через магнитный полюс и некоторую точку географическогоэкватора) имеем:x1 0,y1 0,x2 R sin 0 cos 0 , y2 R sin 0 sin 0 , z 2 R cos 0 ,z1 0,x3 R cos ~, y3 R sin ~, z3 0.С учётом приведённых определений уравнение искомой плоскости можнозаписать в форме:A x B y C z 0 ,(19)гдеA cos 0 sin ~, B cos 0 cos ~, C sin 0 sin(~ 0 ) .(20)Уравнение (19) имеет каноническую форму, оно однородное - плоскостьпроходит через начало координат, коэффициенты этого уравнения являютсяпроекциями вектора, перпендикулярного рассматриваемой плоскости.Плоскость магнитного меридиана пересекает поверхность земного шарапо окружности радиуса R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
