Ответы на вопросы из коллекции "📝Теория вероятностей и математическая статистика Темы 4-6"

По результатам исследования цены некоторого товара в различных торговых точках города получены следующие данные (в денежных единицах): 17.5; 7.7; 8.7; 16.1; 10.6; 19.8; 17; 16; 18; 16; 18.2; 18.5; 17.4; 17.1; 19.5; 16.8; 19.6; 16.3; 16.3; 18.5; 15.8; 7.5; 9.2; 7.2; 7; 8; 7.5; 7.5; 8; 6.5. Приведите алгоритм действий, требующихся для того чтобы составить вариационный ряд.

• 1. Решаем, какой ряд составлять – дискретный или интервальный (в вопросе ничего не сказано о характере ряда). Так как цены дискретны, разброс цен довольно велик, то здесь целесообразно построить дискретный вариационный ряд. 2. Находим самое маленькое число в выборке (минимальное значение) и самое большое число в выборке (максимальное значение). 3. Считаем число интервалов в выборке по формуле Стерджеса. 4. К самой малой варианте начинаем прибавлять h, получая тем самым частичные интервалы. 5. Получили интервальный вариационный ряд.
• 1. Решаем, какой ряд составлять – дискретный или интервальный (в вопросе ничего не сказано о характере ряда). Так как цены дискретны, разброс цен довольно велик, то здесь целесообразно построить интервальный вариационный ряд. 2. Находим самое маленькое число в выборке (минимальное значение) и самое большое число в выборке (максимальное значение). 3. Вычислим размах вариации – длину общего интервала, в пределах которого варьируется цена. 4. Считаем число интервалов в выборке по формуле Стерджеса. 5. Считаем длины частичных интервалов. 6. К самой малой варианте начинаем прибавлять h, получая тем самым частичные интервалы. 7. Подсчитываем частоты по каждому интервалу. Суммируем полученные частоты и получаем объем выборки n. 8. Получили интервальный вариационный ряд.
• 1. Решаем, какой ряд составлять – дискретный или интервальный (в вопросе ничего не сказано о характере ряда). Так как цены дискретны, разброс цен довольно велик, то здесь целесообразно построить интервальный вариационный ряд. 2. Вычислим размах вариации – длину общего интервала, в пределах которого варьируется цена. 3. Считаем число интервалов в выборке по формуле Стерджеса. 4. Считаем длины частичных интервалов. 5. К самой малой варианте начинаем прибавлять h, получая тем самым частичные интервалы. 6. Получили интервальный вариационный ряд.

Требуется определить, сколькими способами можно выбрать дежурного и старосту из 18 учащихся класса. Что следует предпринять, чтобы решить данную задачу?

• Посчитать число сочетаний.
• Посчитать число размещений.
• Посчитать число перестановок.
• Посчитать дополнения.

Событие (исход опыта, испытания) – это … (укажите 2 варианта ответа)

• результат проведения опыта (испытания
• результат реализации необходимой совокупности условий
• сумма всех опытов
• разность всех опытов
• результат опытов (испытаний) от 1 до n

Требуется определить, сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6, если четверка встречается один раз, пятерка– два раза, шестерка – два раза? Что следует предпринять, чтобы решить данную задачу?

• Посчитать число сочетаний с повторениями.
• Посчитать число размещений с повторениями.
• Посчитать число перестановок с повторениями.
• Посчитать дополнения с повторениями.

Рабочий обслуживает 3 станка, вероятности выхода из строя каждого из которых в течение часа соответственно равны 0,2; 0,15; 0,1. Что следует предпринять, чтобы составить закон распределения числа станков, не требующих ремонта в течение часа?

• Найти вероятности выхода из строя соответствующих станков в течение часа; найти вероятности их безотказной работы; используя теоремы сложения вероятностей несовместных событий и умножения независимых событий, составим закон распределения случайной величины X – числа станков, не требующих ремонта в течение часа.
• Найти вероятности выхода из строя соответствующих станков в течение часа; найти вероятности их безотказной работы; используя теоремы сложения вероятностей совместных событий и умножения независимых событий, составим закон распределения случайной величины X – числа станков, не требующих ремонта в течение часа.
• Найти вероятности выхода из строя соответствующих станков в течение часа; используя теоремы сложения вероятностей несовместных событий и умножения независимых событий, составим закон распределения случайной величины X – числа станков, не требующих ремонта в течение часа.

Оператор обслуживает три линии производства, вероятности выхода из строя каждой производственной линии в течение смены соответственно равны 0,2; 0,5; 0,1. Составить закон распределения числа линий, не требующих ремонта в течение смены. Что следует предпринять?

• Найти вероятности выхода из строя соответствующих станков в течение часа; найти вероятности их безотказной работы; используя теоремы сложения вероятностей несовместных событий и умножения независимых событий, составим закон распределения случайной величины X – числа станков, не требующих ремонта в течение часа.
• Найти вероятности выхода из строя соответствующих станков в течение часа; используя теоремы сложения вероятностей несовместных событий и умножения независимых событий, составим закон распределения случайной величины X – числа станков, не требующих ремонта в течение часа.
• Найти вероятности выхода из строя соответствующих станков в течение часа; используя теоремы сложения вероятностей несовместных событий и умножения независимых событий, составим закон распределения случайной величины X – числа станков, не требующих ремонта в течение часа.

Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 8, 9, x3, 12. Несмещенная оценка математического ожидания равна 10. Найдите алгоритм нахождения выборочной дисперсии.

• Запишем формулу для вычисления выборочного среднего, приравняем его к математическому ожиданию, вычислим предварительно значение х3, вычисляем выборочную дисперсию.
• Вычислим предварительно значение х3, вычисляем выборочную дисперсию. Запишем формулу для вычисления генерального среднего, приравняем его к дисперсии, вычислим предварительно значение х3, вычисляем выборочную дисперсию.
• Запишем формулу для вычисления дисперсии, приравняем его к математическому ожиданию, вычислим предварительно значение х3, вычисляем выборочную дисперсию.

Выборка называется случайной или собственно-случайной, если …

• каждый элемент из генеральной совокупности может попасть в выборку с вероятностью, зависящей от изучаемого признака
• хотя бы некоторые элементы из генеральной совокупности могут попасть в выборку с одинаковой вероятностью, не зависящей от изучаемого признака
• каждый элемент из генеральной совокупности может попасть в выборку с одинаковой вероятностью, не зависящей от изучаемого признака

Требуется выбрать совместные события, если при подбрасывании игральной кости событие A = {выпало число очков, кратное трем}, событие B = {выпало число очков, кратное двум}, событие C = {выпало число очков, кратное пяти}, событие D = {выпало нечетное число очков}. Что следует предпринять, чтобы решить данную задачу?

• Найти события, которые могут наступить одновременно.
• Найти события, которые не могут наступить одновременно.
• Найти событие, которое не может наступить.
• Найти события, которые могут наступить.

Правило трех сигм рассматривает только разброс значений относительно математического … , не учитывая возможные систематические ошибки или влияние других переменных

Требуется найти у кого больше вероятность вытащить счастливый билет: у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым. Если среди 25 экзаменационных билетов имеется 5 счастливых и студенты подходят за билетами один за другим по очереди. Что следует предпринять, чтобы решить данную задачу?

• Вероятность события А = (второй студент вытащил счастливый билет} зависит от того, произошло или не произошло событие В = {первый студент вытащил счастливый билет}. Если произошло событие В, то среди 24 билетов осталось только 4 счастливых. Поэтому условная вероятность Р {А | В} = 4/24. Если же событие В не произошло, то осталось 5 счастливых билетов: Р {А | Bc} = 5/24. События В, Вс образуют полную группу событий. Их вероятности Р {В} = 5 /25 = 1/ 5, P {Bc} = 20/ 25 = 4/5. Следовательно, полная вероятность P{A}=4/24•1/5+5/24•4/5=24/120=1/5 т.е. совпадает с вероятностью события В.
• Вероятность события А = (второй студент вытащил счастливый билет} зависит от того, произошло или не произошло событие В = {первый студент вытащил счастливый билет}. Если произошло событие В, то среди 24 билетов осталось только 3 счастливых. Поэтому условная вероятность Р {А | В} = 3/24. Если же событие В не произошло, то осталось 5 счастливых билетов: Р {А | Bc} = 5/24. События В, Вс образуют полную группу событий. Их вероятности Р {В} = 5 /25 = 1/ 5, P {Bc} = 20/ 25 = 4/5. Следовательно, полная вероятность P{A} = 3/24 •1/5 + 5/24•4/5 = 23/120 т.е. совпадает с вероятностью события A.
• Вероятность события А = (второй студент вытащил счастливый билет} зависит от того, произошло или не произошло событие В = {первый студент вытащил счастливый билет}. Если произошло событие В, то среди 24 билетов осталось только 3 счастливых. Поэтому условная вероятность Р {А | В} = 3/24. Если же событие В не произошло, то осталось 4 счастливых билетов: Р {А | Bc} = 5/24. События В, Вс образуют полную группу событий. Их вероятности Р {В} = 4 /25, P {Bc} = 21/ 25. Следовательно, полная вероятность P{A} = 3/24 •4/25 + 5/24•21/25 = 0,195 т.е. вероятностью событий A и B одинаковы.

Закон распределения дискретной случайной величины представлен в таблице, тогда математическое ожидание равно…

• 1.35
• 1.45
• 1.5

Выборочный метод заключается в том, чтобы по …

• всей генеральной совокупности (выборке) сделать вывод о свойствах генеральной совокупности в целом
• некоторой части генеральной совокупности (выборке) посчитать объем генеральной совокупности в целом
• некоторой части генеральной совокупности (выборке) сделать вывод о свойствах генеральной совокупности в целом
• некоторой части генеральной совокупности (выборке) сделать вывод о свойствах отдельных частей генеральной совокупности

Интервальная оценка решает задачу в каком интервале будет находится с заданной … генеральная характеристика случайной величины

В 1200 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,8. На основе данных оцените вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 60. Приведите шаги для вычислений.

• Число успехов распределено по закону Бернулли. Математическое ожидание (среднее число успехов): M(x) = n • p = 1200 • 0.8 = 960. Дисперсия: D(x) = nрq = 1200 • 0.8 • 0.2 = 192. Неравенство Чебышева: P(|m – np| < ε) ≥ 1 – npq/ε². Подставляя числовые значения, получаем: P(|m – 960| < 60) ≥ 1 – 192/60² = 0,9467. Ответ: р ≥ 0,9467
• Число успехов распределено по закону Бернулли. Математическое ожидание (среднее число успехов): M(x) = n • p = 1200 • 0.2 = 240. Дисперсия: D(x) = nрq = 1200 • 0.8 • 0.2 = 192. Неравенство Чебышева: P(|m – np| < ε) ≥ 1 – npq/ε². Подставляя числовые значения, получаем: P(|m – 240| < 60) ≥ 1 – 192/60² = 0,9467. Ответ: р ≥ 0,9467
• Число успехов распределено по закону Бернулли. Математическое ожидание (среднее число успехов): M(x) = n • p = 1200 • 0.2 = 240. Дисперсия: D(x) = nрq = 1200 • 0.8 • 0.2 = 192. Неравенство Чебышева: P(|m – np| < ε) ≥ 1 – npq/ε². Подставляя числовые значения, получаем: P(|m – 240| < 192) ≥ 1 – 192/60² = 0,9467. Ответ: р ≥ 0,9467

Согласно правилу суммы, если объект A можно выбрать n способами, а объект B можно выбрать m способами, то объект «A или B» можно выбрать … способами

• nm + n
• (n – m) + m
• n + m
• n +mn

Неравенство … имеет вид: P(|X – M(X)| ≥ tσ(X)) < 1/t²,

Выборка называется репрезентативной, если по ее распределению по некоторому признаку можно судить о распределении по этому же признаку … совокупности с учетом допустимой погрешности

Если в неравенства … P(|X – M(X)| ≤ ε) > 1 – D(X)/ε² сделать подстановку ε=tσ(X) то неравенство примет вид P(|X – M(X)| ≥ tσ(X)) < 1/t²

… закон можно рассматривать как предельный, к которому приближаются другие законы при часто встречающихся типичных условиях

• биноминальный
• равномерный
• прямоугольный
• нормальный

Случайная величина x распределена по … закону с параметрами m=0 и σ =1, если ее плотность распределения имеет вид: f(x) = 1/(√2π) e^(–x²/2)

Дискретная случайная величина в противоположность …величинам, заданы только отдельными значениями

• непрерывным
• динамическим
• статическим

Функция … F(x) выражается через f(x) как F(x) = ∫f(t)dt

Требуется найти вероятность того, что из 8 случайно выбранных для контроля студентов домашнюю работу сделали 6 человек, при условии, что на занятиях по теории вероятностей из 20 человек только 15 сделали домашнюю работу. Что следует предпринять, чтобы решить данную задачу?

• Вычислить требуемую вероятность по формуле P(A) = (C⁶₁₅•C²₅)/C⁸₂₀.
• Вычислить требуемую вероятность по формуле P(A) = (C²₁₅•C⁶₅)/C⁷₂₀.
• Вычислить требуемую вероятность по формуле P(A) = (C²₁₅•C⁶₅)/C⁴₂₀.

Имеются две генеральные совокупности X и Y, для которых известны генеральные средние x₀ и y₀ и дисперсии σₓ² и σᵧ². Требуется по выборочным средним для заданного уровня значимости α проверить гипотезу о равенстве генеральных средних, т.е. что математические ожидания рассматриваемых совокупностей равны между собой.
Что для этого следует предпринять?

• Принимаем за H₀ : x₀ = y₀. При больших объемах выборки учитываем, что: M(x – y) = M(x) – M(y) = x₀ – y₀ = 0, σ²ₓ₋ᵧ = σₓ² + σᵧ². В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимаем следующую величину: Критическая область строится произвольно. Находим tkr и определяем критическую область. Делаем вывод.
• Принимаем за H₀ : x₀ = y₀. При больших объемах выборки учитываем, что: M(x – y) = M(x) – M(y) = x₀ – y₀ = 0, σ²ₓ₋ᵧ = σₓ² + σᵧ². В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимаем следующую величину: Критическая область строится в зависимости от выбора альтернативной гипотезы H₁ : H₁ : x₀ > y₀, или H₁ : x₀ < y₀, или H₁ : x₀ ≠ y₀. Находим tkr и определяем критическую область. Делаем вывод.
• Принимаем за H₁ : x₀ > y₀. При больших объемах выборки учитываем, что: M(x – y) = M(x) – M(y) = x₀ – y₀ = 0, σ²ₓ₋ᵧ = σₓ² + σᵧ². В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимаем следующую величину: Критическая область строится в зависимости от выбора альтернативной гипотезы H₁ : H₁ : x₀ > y₀, или H₁ : x₀ < y₀, или H₁ : x₀ ≠ y₀. Находим tkr и определяем критическую область. Делаем вывод.

Достоверное событие (для данного опыта) – это …

• группа событий, которая обязательно не произойдет
• событие, которое обязательно не произойдет
• событие, которое обязательно произойдет

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине больше положительного числа ε либо равно ε, меньше, чем D(X)/ε2выражается неравенством …

• Маркова
• Лапласа
• Чебышёва
• Бернули

Практически достоверным называется событие, вероятность которого весьма близка к единице, но не равна …

Случайная величина x распределена по нормальному закону с параметрами m и σ, если ее … распределения имеет вид: f(x) = 1/(σ√2π) e^(–(x–m)²/2σ²)

Требуется выбрать совместные события, если при подбрасывании игральной кости событие A = {выпало число очков, кратное трем}, событие B = {выпало число очков, кратное двум}, событие C = {выпало число очков, кратное пяти}, событие D = {выпало нечетное число очков}. Что следует предпринять, чтобы решить данную задачу?

• Найти события, которые могут наступить одновременно.
• Найти события, которые не могут наступить одновременно.
• Найти событие, которое не может наступить.
• Найти события, которые могут наступить.

Согласно правилу произведения, если объект A можно выбрать n способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать m способами, то для пары «A и B» есть … вариантов выбора

• 2(n + m)
• n / m
• n • m
• 2n • m

Случайная величина может быть двух типов …

• непрерывная и статическая
• непрерывная и динамическая
• дискретная и прерывная
• дискретная и непрерывная

Оценка вероятности (по неравенству Чебышева), того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов в устройстве из 10 независимо работающих элементов, у которых вероятность отказа р=0,05, и средним числом отказов за время Т меньше двух равна …

• 0,88
• 0.01
• 0,2
• 0,02

В целях изучения стажа рабочих завода проведена 36-процентная механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение рабочих по стажу работы (см. таблицу ниже).
На основе этих данных вычислите: средний стаж рабочих завода; средний квадрат отклонений (дисперсию); среднее квадратическое отклонение. Приведите формулы для вычислений.

• Для вычисления среднего стажа просуммируем произведения середин интервалов и соответствующих частот и полученную сумму разделим на сумму частот: x = Σxini / Σni. Вычислим дисперсию по формуле σ² = Σ(xi – x)²ni / Σni. Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле σ = √σ²
• Для вычисления среднего стажа просуммируем произведения середин интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму частот: σ² = Σ(xi – x)²ni / Σni. Вычислим дисперсию по формуле x = Σxini / Σni. Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле σ = √σ²
• Для вычисления среднего стажа просуммируем произведения концов интервалов и соответствующих частот и полученную сумму разделим на сумму частот: x = Σxini / Σni. Вычислим дисперсию по формуле σ² = Σ(xi – x)²ni / Σni. Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле σ = √σ²
• Для вычисления среднего стажа просуммируем произведения начальных значений интервалов и соответствующих частот и полученную сумму разделим на сумму частот. Вычислим дисперсию по формуле σ² = Σ(xi – x)²ni / Σni. Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле σ = √σ²

Математическое ожидание и дисперсия являются числовыми характеристиками … закона распределения

• биноминального
• равномерного
• нормального
• геометрического

Ряд называется вариационным, если он является статистической совокупностью, у которой все данные располагаются … значений случайной величины

• строго в порядке возрастания
• строго в порядке убывания
• в порядке возрастания или убывания

Дана выборка (52, 42, 40, 38, 37). Вычислить несмещенные оценки среднего значения µ, дисперсии σ2 и стандартного отклонения σ генеральной совокупности. Запишите формулы их нахождения.

• x = 1/n Σ xi = 43,8, S² = 1/(n–1) Σ(xi – x)² = 31,76, S = √S² = 5,64.
• x = 1/n Σ xi = 33,8, S² = 1/(n–1) Σ(xi – x)² = 31,76, S = √S² = 5,64.
• x = 1/n Σ xi = 43,8, S² = 1/(n–1) Σ(xi – x)² = 21,76, S = √S² = 7,64.

Ошибки … рода, заключаются в принятии неверной гипотезы

• только первого
• только второго
• первого и второго

Теоремы, носящие название закона … чисел – это условия, при выполнении которых совокупное действие многих случайных величин приводит к результату, почти не зависящему от случайных причин

• малых
• предельных
• больших

Среднеквадратическое (стандартное) … σ есть положительное значение квадратного корня из дисперсии

Случайная величина Х имеет нормальный закон распределения N [-1,2], известно, что X ∊ [-6,1].
Что следует предпринять, чтобы найти вероятность того, что X ∊ [-6,1]?

• Задано нормальное распределение: N (а; σ), параметры нормального распределения: а=М=-1, σ = 2. Вероятность попадания нормально распределенной СВ на заданный промежуток вычислим по формуле: P(α ≤ x ≤ β) = Ф((β–a)/σ) – Ф((α–a)/σ), где Ф x)– функция Лапласа, ее значения берут из таблиц. Если X ∊ [–1;6], то P{-6<x<1} = Ф(1) – Ф(–5,2) = Ф(1) + Ф(5,2)= 0,3413 + 0,4938 = 0,8351.
• Задано нормальное распределение: N (σ, a), параметры нормального распределения: а=М=2, σ =-1. Вероятность попадания нормально распределенной СВ на заданный промежуток вычислим по формуле: P(α ≤ x ≤ β) = Ф((β–a)/σ) – Ф((α–a)/σ), где Ф x)– функция Лапласа, ее значения берут из таблиц. Если X ∊ [–1;6], то P{-6<x<1} = Ф(1) – Ф(–5,2) = Ф(1) + Ф(5,2)= 0,3413 + 0,4938 = 0,8351.
• Задано нормальное распределение: N (σ, a), параметры нормального распределения: а=М=2, σ =-1+2=1. Вероятность попадания нормально распределенной СВ на заданный промежуток вычислим по формуле: P(α ≤ x ≤ β) = Ф((β–a)/σ) – Ф((α–a)/σ), где Ф x)– функция Лапласа, ее значения берут из таблиц. Если X ∊ [-1;6], то P{1<x<-6} = Ф(1) – Ф(–5,2) = Ф(1) + Ф(5,2)= 0,3413 + 0,4938 = 0,8351.

Упорядочьте шаги алгоритма построения статистического ряда:

• 1 осуществляется сбор информации, наблюдения записываются в порядке их поступления и оформляются в виде таблицы
• 2 данные располагаются в порядке возрастания или убывания значений случайной величины
• 3 представленные в вариационном ряде случайные величины объединяются в разряды, рассчитывается величина разряда C
• 4 подсчитывается число наблюдений, попадающих в тот или иной разряд случайной величины

Сочетание из n по k – это … набор из k различных элементов, взятых из некоторого множества с мощностью n, где k ≤ n, то есть набор, для которого порядок выбора не имеет значения

Сочетания с повторениями – это комбинаторные соединения из n элементов по m, составленные из этих элементов без учета … с возможностью многократного повторения предметов

В партии 50 деталей, в ней 5 бракованных деталей. Наугад отбирается 5 деталей. Если среди отобранных деталей нет бракованных, то партия принимается. Как найти вероятность того, что партия будет принята, если в ней 5 бракованных деталей?

• Обозначим через А событие – партия деталей будет принята. Общее число исходов n = С⁵₅₀, а число благоприятствующих событию А исходов m = C⁵₄₅. Следовательно, P(A) = m/n ≈ 0,57.
• Обозначим через А событие – партия деталей будет принята. Число благоприятствующих событию А исходов n = С⁵₅₀, а общее число исходов m = C⁵₄₅. Следовательно, P(A) = m/n ≈ 0,57.
• Обозначим через А событие – партия деталей не будет принята. Число благоприятствующих событию А исходов n = С⁵₅₀, а общее число исходов m = C⁵₄₅. Следовательно, P(A) = m/n ≈ 0,57.

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от математического ожидания M(X) тем меньше, чем …

• больше дисперсия D(X)
• меньше отклониться М(X)
• меньше дисперсия D(X)

Пересечением событий A и B называется такое событие C = A ∩ B, включающее те и только те элементарные исходы, которые … принадлежат и событию A, и событию B

Дисперсия – это показатель … значений признака относительно своего среднего арифметического значения

… без повторений – это комбинаторные соединения из n элементов по m, составленные из этих элементов и отличающиеся друг от друга только составом

Математическое ожидание – это величина, которая является характеристикой …

• рассеяния среднего значения случайной величины
• некоторого бесконечного промежутка
• среднего значения случайной величины

В урне 5 белых и 8 черных шаров. Из урны наудачу один за другим извлекают два шара, не возвращая их обратно. Как найти вероятность того, что оба шара будут белыми?

• Рассмотрим события: А – первый шар будет белым; В – второй шар будет белым. Найдем вероятность события AВ, состоящего в том, что 1-й шар будет белым и 2-й – белым. По классическому определению вероятности найдем P(А). Найдем Рₐ(В) – вероятность извлечения белого шара во втором испытании, при условии, что до этого был извлечен белый шар. По теореме умножения вероятностей зависимых событий найдем P(AВ) = Р(А) Pₐ(В) – вероятность того, что оба шара будут белыми.
• Рассмотрим события: А – первый шар будет белым; В – второй шар будет белым. Найдем вероятность события AВ, состоящего в том, что 1-й шар будет черным и 2-й – белым. По классическому определению вероятности найдем P(А). Найдем Рₐ(В) – вероятность извлечения белого шара во втором испытании, при условии, что до этого был извлечен белый шар. По теореме умножения вероятностей зависимых событий найдем P(AВ) = Р(А) Pₐ(В) – вероятность того, что оба шара будут белыми.
• Рассмотрим события: А – первый шар будет белым; В – второй шар будет белым. Найдем вероятность события AВ, состоящего в том, что 1-й шар будет белым и 2-й – белым. По классическому определению вероятности найдем P(А). Найдем Рₐ(В) – вероятность извлечения черного шара во втором испытании, при условии, что до этого был извлечен белый шар. По теореме умножения вероятностей зависимых событий найдем P(AВ) = Р(А) Pₐ(В) – вероятность того, что оба шара будут белыми.

… с повторениями – это комбинаторные соединения из n элементов по m, составленные из этих элементов без учета порядка с возможностью многократного повторения предметов

Случайная величина X с дисперсией D(X) = 0,001 имеет вероятность того, что X отличается от M(X) более чем на 0,1 по неравенству Чебышёва равной …

Числовые характеристики позволяют выразить …

• любое правило (таблица, функция), которое не позволяет находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной
• любое правило (таблица, функция), которое позволяет находить значения случайной величины
• в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения случайной величины
• в сжатой форме наиболее не существенные особенности распределения случайной величины

Известно, что точность прибора σ₀ = 0,02 и спомощью этого прибора проведено n =25 независимых повторных измерений некоторой физической величины, среднее выборочное равно 2,42.
Найти реализацию доверительного интервала для математического ожидания т; доверительная вероятность 1– α = 0,95. Приведите все необходимые действия.

• Подставляя х = 2,42, σ₀ = 0,02, n = 25 в выражение для реализации доверительного интервала. Получаем (2,412; 2,428)
• По таблице квантилей стандартного нормального распределения находим квантиль порядка и получаем (2,412; 2,428)
• По таблице квантилей стандартного нормального распределения находим квантиль порядка 1-α/2: u (1-α/2)=u (0,975=1.96)
• По таблице квантилей стандартного нормального распределения находим квантиль порядка 1 – α/2: u₁– α/2 = u 0,975=1,96. Подставляя х = 2,42, σ₀ = 0,02, n = 25 в выражение для реализации доверительного интервала. Получаем (2,412; 2,428)

Если при заданном объеме выборки n статистическая оценка имеет наименьшую возможную дисперсию называют, то ее называют …

• смещенной
• эффективной
• состоятельной
• несмещенной

Критерий … χ² (или критерий Пирсона) – это метод позволяет оценить статистическую значимость различий двух или нескольких относительных показателей (частот, долей)

… из n по k – это неупорядоченный набор из k различных элементов, взятых из некоторого множества с мощностью n, где k ≤ n, то есть набор, для которого порядок выбора не имеет значения

Разностью событий А и В называется событие С = А-В (или С = А В), которое происходит тогда и только тогда, когда событие А происходит, а событие В …

Объекты, из которых образовано множество, называются его …

• предметами
• сочетаниями
• размещениями
• элементами

Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция), которое …

• не позволяет находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной
• позволяет находить значения случайной величины
• позволяет находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной

Операции над событиями: умножение, … , объединение, дополнение, разность

В целях изучения среднего возраста служащих фирмы проведена 46%-ная выборка, в результате которой получено следующее распределение рабочих по возрасту (см. таблицу ниже).
На основе этих данных нужно вычислить средний стаж рабочих завода, средний квадрат отклонений (дисперсию), среднее квадратическое отклонение.
Что следует предпринять, составьте алгоритм действий?

• 1) Для вычисления среднего возраста просуммируем произведения середин интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму частот: x = Σxini / Σni. 2) Вычислим дисперсию по формуле σ² = Σ(xi – x)²ni / Σni. 3) Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле σ = √σ².
• 1) Для вычисления среднего возраста просуммируем произведения середин интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму частот: σ² = Σ(xi – x)²ni / Σni. 2) Вычислим дисперсию по формуле x = Σxini / Σni. 3) Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле σ = √σ².
• 1) Для вычисления среднего возраста просуммируем произведения концов интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму частот: x = Σxini / Σni. 2) Вычислим дисперсию по формуле σ² = Σ(xi – x)²ni / Σni. 3) Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле σ = √σ².

• 1) Для вычисления среднего возраста просуммируем произведения начала интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму частот. 2) Вычислим дисперсию по формуле σ² = Σ(xi – x)²ni / Σni. 3) Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле σ = √σ².

Практически невозможным событием называется событие, вероятность которого весьма близка к нулю, но не равна …

Для некоторой местности среднее число дождливых дней в августе равно 15. Нужно найти вероятность того, что первые два дня августа не будут дождливыми. Что следует для этого предпринять? Приведите расчеты.

• Введем обозначения событий: A – первого августа ясный день; B – второго августа ясный день. Вероятность того, что первого августа будет ясный день, равна P(A) = 16/31. Условная вероятность события B, то есть вероятность того, что второго августа будет ясный день, при условии, что первого августа также был ясный день, равна P(A | B) = 15/30 = 1/2. Искомая вероятность того, что первые два дня августа будут ясным, по теореме умножения вероятностей зависимых событий, равна P(A•B) = P(A | B)•P(B) = 16/31 • 1/2 = 8/31.
• Введем обозначения событий: A – первого августа ясный день; B – второго августа ясный день. Вероятность того, что первого августа будет ясный день, равна P(A) = 16/31. Условная вероятность события B, то есть вероятность того, что второго августа будет ясный день, при условии, что первого августа также был ясный день, равна P(A | B) = 15/30 = 1/2.
• Введем обозначения событий: A – второго августа ясный день; B – первого августа ясный день. Вероятность того, что первого августа будет ясный день, равна P(A) = 16/31. Условная вероятность события B, то есть вероятность того, что второго августа будет ясный день, при условии, что первого августа также был ясный день, равна P(A | B) = 15/30 = 1/2. Искомая вероятность того, что первые два дня августа будут ясным, по теореме умножения вероятностей зависимых событий, равна P(A•B) = P(A | B)•P(B) = 16/31 • 1/2 = 8/31.

В математической статистике … – это значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью

… из n по k – это упорядоченный набор из k различных элементов, взятых из некоторого множества с мощностью n, где k ≤ n

Оценка вероятности, по неравенству Чебышева, того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп в осветительной сети из 20 ламп и средним числом отказов за время Т не меньше трех равна … , причем вероятность, что за время Т лампа будет включена равна 0,8

Случайная величина X имеет показательное распределение с плотностью равной f(X) = {0, если x < 0; 5e⁻⁵ˣ, если x ≥ 0 с ………λ равным пяти.

Любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения – это … о законе распределения (укажите словосочетание)

Соотнесите искомые величины задачи с их значениями, если длина X некоторой детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону распределения, и имеет среднее значение 20 мм и среднее квадратическое отклонение − 0,2 мм:

• A. вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 и 20,3 мм;
• B. вероятность того, что величина отклонения не превышает 0,1 мм;
• C. каким должно быть задано отклонение, чтобы процент деталей, отклонение которых от среднего не превышает заданного, повысился до 54%;
• D. 0, 8664
• E. 0, 383
• F. 0, 148

Для того, чтобы вычислить ………. дискретной случайной величины X с помощью формулы D(X) = M (X²) – (М(X))² дополним таблицу распределения строчкой квадратов ее значений.

Теорема … вероятностей гласит, что если событие С равно сумме трех не совместных событий A, D и В, то вероятность события С равна: Р(С) = P(A) + P(B) + P(C)

Поезда метро идут строго по расписанию. Интервал движения – шесть минут.
Составьте f(x) и F(x) случайной величины X – времени ожидания очередного поезда Найдите M(X), D(X).

• Случайная величина X – время ожидания очередного поезда – распределена по нормальному закону на отрезке [0;5], поэтому воспользуемся формулами Вычислим математическое ожидание и дисперсию по формулам
• Случайная величина X – время ожидания очередного поезда – распределена равномерно на отрезке [0;6], поэтому воспользуемся формулами Вычислим математическое ожидание и дисперсию по формулам
• Случайная величина X – время ожидания очередного поезда – распределена по нормальному закону на отрезке [0;6], поэтому воспользуемся формулами Вычислим математическое ожидание и дисперсию по формулам

В группе 9 человек. Известно, что что в подгруппу входит не более 2 человек.
Сколько можно образовать разных подгрупп при данном условии? Что для этого следует предпринять?

• Посчитать число сочетаний из 9 по 2 чел., из 9 по 3 чел. Применить правило умножения и получить 46 способов.
• Посчитать число размещений из 9 по 2 чел., из 9 по 3 чел., из 9 по 4 чел., из 9 по 5 чел., из 9 по 6 чел., из 9 по 7 чел. Применить правило сложения и получить 246 способов.
• Посчитать число размещений с повторениями из 9 по 2 чел., из 9 по 3 чел., из 9 по 4 чел., из 9 по 5 чел. Применить правило сложения и получить 246 способов.
• Посчитать число сочетаний из 9 по 2 чел., из 9 по 1 чел. Применить правило сложения и получить 45 способов.

Сочетания без повторений – это комбинаторные соединения из n элементов по m, составленные из этих элементов и отличающиеся друг от друга только …

Объем генеральной совокупности – это …

• количество элементов генеральной совокупности N
• сумма всех натуральных чисел от 1 до n
• разность всех натуральных чисел от 1 до n
• число от 1 до n

Соотнесите понятия теории вероятности с их описаниями:

• A. Классическое определение вероятности
• B. Геометрическое определение вероятности
• C. Статистическое определение вероятности
• D. Условная вероятность
• E. отношение всех элементарных несовместных равновозможных исходов опыта, благоприятствующих появлению события A, ко всем исходам опыта, составляющим полную группу, называется вероятностью события A
• F. если событие A – попадание точки, наугад брошенной в область D, в ее подобласть d, тогда вероятность события A определяется как отношение меры подобласти d к мере области D
• G. постоянное число, около которого стабилизируется и группируется, приближаясь к нему, относительная частота этого события при неограниченном увеличении числа испытаний
• H. вероятность одного события при условии, что некоторое другое событие произошло (вероятность события A при условии, что событие B произошло), можно обозначить через P(А|B)

Ряд, полученный из … ряда путем объединения случайных величин в разряды, называется статистическим

С точки зрения теории вероятности математическое ожидание приблизительно равно среднему ………возможных значений дискретной случайной величины.

• геометрическому
• расстоянию
• арифметическому

Статистическая совокупность, распределение которой изучается по интересующему нас признаку, – это … совокупность

Точечная статистическая оценка выражается … числом и решает задачу какую величину, вычисленной по выборочной совокупности, принять в качестве приближенного значения характеристики генеральной совокупности

Случайная величина x распределена по … закону с параметрами m и σ, если ее плотность распределения имеет вид: f(x) = 1/(σ√2π) e^(–(x–m)²/2σ²)

Формой неравенства … является неравенство: P(|X – M(X)| ≤ ε) > 1 – D(X)/ε².

Упорядочите этапы определения закона распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет, если выпущено 1000 лотерейных билетов и на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 руб., на 10 – выигрыш в 100 руб., на 20 – выигрыш в 50 руб., на 50 – выигрыш в 10 руб.:

• 1 определить значения случайной величины Х
• 2 посчитать все вероятности появления значений случайной величины Х
• 3 записать закон распределения в виде таблицы
• 4 построить график закона распределения

Несовместные события – …

• «началось утро» и «началась ночь»
• «начался полдень» и «посыпался град»
• «выпало карта треф» и «выпала дама»

Нулевая (или основная) гипотеза – это …

• выдвигаемая (проверяемая) гипотеза
• гипотеза, которая противоречит нулевой
• гипотеза, которая противоречит сама себе
• отрицание нулевой гипотезы

Дискретная случайная величина X задана законом распределения представленном в таблице, неизвестная вероятность равна..........

• 0.29
• 0.2
• 0.27

… хи-квадрат – это число (величина хи-квадрат), при котором функция распределения хи-квадрат равна заданной (затребованной) вероятности а

...случайной величины x распределенной по нормальному закону f(x) = 1/(3√2π) e^(–(x–6)²/18) равно 6.

Вероятность это …

• случайная оценка
• ситуативная оценка
• качественная оценка
• количественная оценка

Выборка называется … выборкой, если отобранный объект перед началом следующего выбора возвращается в генеральную совокупность

Если H₁, H₂, … , Hₙ – полная группа попарно несовместных событий, то для любого события А имеет место формула … вероятности P(A)=P(H₁)P(A|H₁)+…+P(Hₙ)P(A|Hₙ)

Если же значения признака x₁, x₂ …, xₖ имеют соответственно частоты N₁ N₂ …, Nₖ причем N₁ + N₂ + … + Nₖ = N, то … средняя вычисляется по формуле х = (x₁N₁ + x₂N₂ + … + xₖNₖ)/N,

Используя критерий Пирсона, проверяется гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности. Что следует предпринять для вычисления числа степеней свободы?

• Число степеней свободы вычисляется по формуле к=к₁-t-1, где t=3 это число параметров распределения, к₁-число интервалов в выборке.
• Число степеней свободы вычисляется по формуле к=к₁-t-1, где t=1 это число параметров распределения, к₁-число интервалов в выборке.
• Число степеней свободы вычисляется по формуле к=к₁-t-1, где t=0 это число параметров распределения, к₁-число интервалов в выборке.
• Число степеней свободы вычисляется по формуле к=к₁-t-1, где t=2 это число параметров распределения, к₁-число интервалов в выборке.

Правило трех сигм рассматривает только разброс значений относительно математического … , не учитывая возможные систематические ошибки или влияние других переменных

Случайная величина X имеет … распределение если функция распределения равна F(x) = 1/(σ√2π) ∫e^(–(t–m)²/2σ²)dt.

• нормальное
• биноминальное
• равномерное
• прямоугольное

Случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ², известно, что вероятности P(X<1)=0.5 и Р(-2<X<4)=0.9973
Что следует предпринять, чтобы найти параметры a и σ²?

• Используем формулу: 1) Используя формулу P(X<a)=0.5 находим математическое ожидание; 2) Согласно правилу трех сигм P(а-3 σ<X< a+3 σ)=2Ф(3)=0.9973 и P(-2<X<4)=0.9973 находим σ
• Используем формулу: 1) Используя теорему Чебышева P(X<a)=0.5 находим среднее квадратическое отклонение; 2) Согласно правилу трех сигм P(а-3 σ<X< a+3 σ)=2Ф(3)=0.9973 и P(-2<X<4)=0.9973 находим математическое ожидание
• Используем формулу: 1) Используя теорему Чебышева P(X< σ)=0.5 находим среднее квадратическое отклонение; 2) Согласно правилу трех сигм P(σ -3 a<X< σ +3 a)=2Ф(3)=0.9973 и P(-2<X<4)=0.9973 находим математическое ожидание

С возрастанием среднего квадратичного … максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой

Случайная величина x имеет … распределение, если функция распределения имеет вид: F(x) = 1/(σ√2π) ∫e^(–(x–m)²/2σ²)dx