3. Система статистического приёмочного контроля качества (СКК)

3.1 Краткая историческая справка

  На протяжении всей истории человечества вместе с развитием средств производства параллельно совершенствовались методы контроля результатов труда. Огромную роль в развитии процедур контроля сыграла военная промышленность, в которой издавна предъявлялись повышенные требования, как к количественным, так и к качественным показателям качества. Однако вплоть до начала 20^го века контроль являлся как бы досадной необходимостью и рассматривался прежде всего как следствие несовершенства технологии или результат "человеческого фактора" – ошибок нерадивых работников. Впервые как неотъемлемая часть производства контрольные операции стали рассматриваться в появившейся в начале прошлого столетия так называемой "системе Тейлора" ("потогонная система"). Эта система развивалась под воздействием результатов перенесения достижений массового производства продукции военного назначения в годы I^ой Мировой войны на производство гражданской продукции.

  Система Тейлора построена на следующих основных принципах:

1) каждый работник – винтик в сложном механизме производства, выполняющий только одну доверенную ему операцию;

2) весь персонал, обслуживающий производство, делится, по крайней мере, на две категории:

- рабочие – исполнители, которые сознательно или бессознательно вносят хаос и неразбериху в отлаженную работу механизмов (станков, автоматов и полуавтоматов) и, тем самым, способствуют вместе с другими "природными" факторами появлению брака;

- "белые воротнички" – служащие и инженеры, которые разработали и отладили сложный механизм производства, обучили исполнителей и теперь призваны блюсти правильность работы механизмов и рабочих­–исполнителей;

3) качество не главная задача (главное – количество), хотя и желательная особенно в условиях конкуренции (главный принцип: «будет количество – будет и прибыль»);

4) качество – результат технической отлаженности механизмов и безусловного подчинения рабочих требованиям, написанным в различных инструкциях – предписаниях, жестко регламентирующих всю исполнительскую деятельность наемных работников как наиболее сложных и ответственных механизмов, которые тоже надо наладить – обучить и поддерживать в исправном состоянии – платить зарплату, давать отпуска и т.д..

  Из этих четырех принципов автоматически следует вывод о том, что необходим жесткий, тотальный, но объективный контроль на всех стадиях производственного цикла (от входного контроля материалов и полуфабрикатов до готовой продукции) в том числе и для объективной оценки деятельности исполнителей.

Рекомендуемые материалы

  Уже тогда стало ясно, что сам по себе контроль несет в себе дополнительные функции:

- административные (наказать – поощрить);

- юридически - правовые, особенно во взаимоотношениях потребитель ‑ поставщик;

- необходимость учета неопределенности, которая объективно содержится в статистических (выборочных) методах контроля;

- экономические – необходимость варьирования жесткостью контроля в зависимости от степени тяжести от последствий пропуска брака или, например, в соответствии с принципом компенсации "количеством качества" и т.п.

  В 20^е годы появилось мощное средство, с помощью которого стало возможным управление качеством не только по результатам контроля произведенной продукции, но и управление качеством непосредственно в процессе производства. В 1924 г Шухарт предложил при массовом производстве результаты контроля изображать на специальной карте, на которой предварительно нанесены две (или четыре) линии, соответствующие допустимому уровню изменчивости показателя качества (например, конкретного размера детали). В зависимости от положения точки, характеризующей результаты контроля, относительно линий критического уровня можно судить о степени разлаженности процесса производства и, следовательно, принимать решение о необходимости подналадки оборудования. Таким образом, контрольные карты Шухарта являются чувствительными элементами (датчиками), которые показывают состояние процесса и тем самым информируют систему обратной связи между выходом и средствами управления процесса о необходимости и характере корректирующих воздействий. При этом регулировка процесса не обязательно должна быть полностью автоматизирована. Ведение контрольных карт, анализ  информации, поступающей от них, и принятие решения о необходимости и характере управляющих воздействий вполне может осуществлять «хозяин» процесса в лице оператора, используя всю доступную ему информацию о процессе, его окружении и средствах управления. Важно подчеркнуть, что карта контроля сама по себе ничем не управляет, она только с той или иной адекватностью и точностью информирует о состоянии процесса (можно управлять с помощью контрольной карты, точнее с учётом информации, получаемой от контрольных карт, но нельзя ни чем управлять посредством контрольной карты).

  Вместе с тем в 20^е‑30^е годы начинает складываться специфическая терминология статистических методов контроля качества, связанная, прежде всего, с привлечением теории вероятностей и статистики для обоснования необходимости принятия и характера решений в условиях недостатка информации. Так, например, критические линии на карте Шухарта по сути дела определяют доверительный интервал для контролируемого показателя качества в рамках принятых модельных представлений о распределении этого показателя (при построении критических линий чаще всего исходят из закона нормального распределения, основываясь на Центральной предельной теореме и правиле «трёх сигм»). Кроме того, очень быстро стало ясно, что выход значений контролируемого показателя за пределы критических линий не всегда связан с «внутренними» причинами, присущими процессу, и может быть вызван «внешними» причинами, на которые процесс не «рассчитан». А разлаженность процесса и необходимость поднастройки может возникать и до выхода контрольных точек за пределы критических линий. Следовательно, объективно, при использовании контрольных карт как и для всех статистических методов управления существует отличная от нуля вероятность появления "ложной тревоги" (ошибки I^го рода) и "пропущенной тревоги" (ошибки II^го рода).

  Очередной вехой развития статистических методов контроля явилось опубликование в конце 20^х годов специальных таблиц, в последствии получивших название таблиц "Доджа‑Ромига", с помощью которых можно было выбрать подходящие параметры плана выборочного контроля, исходя из следующих принципов:

- производственный процесс является стабильным и обеспечивает в среднем уровень дефектности ~q_ф %;

- распределение несоответствующих изделий в партии – биномиальное (выборка с возвращением), хотя применение таблиц предназначено для контроля по выборкам без возвращения, т.е. использовано биномиальное приближение для гипергеометрического распределения;

- изготовитель выбирает план выборочного контроля, исходя из предельно допустимого уровня дефектности (принцип LTPD) или предела среднего выходного качества (LOQL), обеспечивая заданный риск потребителя получить партию с уровнем дефектности q_o, принимающим заданное значение; при этом, сведя собственный риск – риск забраковать "годную" партию к минимуму;

- все забракованные партии подлежат сплошному контролю для отслеживания уровня LTPD (или LOQL) и корректировки исходных данных для выбора плана контроля;

- планы рассчитаны таким образом, чтобы минимизировать объем выборки при соблюдении риска потребителя при контроле поставщика для значения критического уровня дефектности q_o.

  Тем не менее, это были просто таблицы, наборы чисел, которые необходимо было для каждого конкретного случая сопроводить дополнительными требованиями юридического, экономического и административного характера, чтобы получить законченную процедуру выборочного контроля качества.

  Существенный скачок в разработке методов статистического контроля качества был сделан в годы II^й Мировой войны, когда по заказу Военного ведомства США специально для обеспечения нужд воюющей армии группой известных статистиков из Колумбийского университета был разработан военный стандарт по приемке массовой продукции с помощью методов выборочного контроля (Military Standard или MIL-STD). Стандарт базировался на последних достижениях в области статистики того времени: проверке статистических гипотез как частного случая общей проблемы принятия решений в условиях статистической неопределенности и теории планирования экспериментов. Этот стандарт, точнее группа стандартов, после опубликования в 1945 году во многом определил развитие статистических методов контроля качества и в гражданской промышленности на многие последующие годы, вплоть до настоящего времени. Так, принятые в наиболее развитых в промышленном отношении странах национальные стандарты по контролю качества ANSJ Z1.4, ANSJ Z1.9 в США, BS… в Великобритании, DIN… в Германии – являются, по сути дела, все тем же стандартом MIL-STD с соответствующей подстройкой под свои национальные интересы и особенности в части некоторых определений, правил подготовки исходных данных и принятия решений в некоторых специфических условиях (например, для контроля особо ответственной продукцией, связанной с безопасностью, экологией и т.п.).

  В 1947 г появился первый международный стандарт ИСО‑2859 для контроля по альтернативному признаку, т.е. контроля качества изделий, которые можно отнести только к двум группам: годные или негодные.

  В 1980 г – ИСО 3951 для контроля качества по количественным признакам, т.е. показателям качества изделий, которые можно измерить.

  Следует подчеркнуть, что это уже не просто таблицы по выбору параметров планов контроля, но системы (национальные или международные), включающие юридически – правовые аспекты взаимоотношений потребитель ‑ поставщик в виде взаимных обязательств и правил разрешения арбитражных (спорных) ситуаций; экономические вопросы; сбор и обработку информации о состоянии и возможности технологического процесса производства. И все это "заложено" в различные кодовые обозначения и цифры таблиц планов выборочного контроля. Поэтому всегда следует учитывать, что, выбирая тот или иной план контроля, тем самым выбирается и способ регламентации и разрешения всех связанных с контролем вопросов экономического, юридического и административного характера. И каждая промышленно развитая страна всячески поддерживает, развивает и стимулирует использование именно своей национальной системы контроля качества существующими на ее территории промышленными фирмами, в том числе и иностранными.

  В СССР американский MIL-STD также  был использован в виде ряда ГОСТов, наиболее известными из которых являются ГОСТ 18736‑75 (контроль качества по количественным признакам), ГОСТ 18242‑82 (контроль по альтернативным признакам). Эти стандарты являются результатом переноса системы MIL-STD на административно – командное пространство управления экономикой в СССР, т.е. возвратом от системы контроля к таблицам планов выборочного контроля, типа таблиц Доджа–Ромига, но построенных на других статистических принципах. Объясняется это тем, что, во-первых: все экономические, юридические и даже административные функции брало на себя государство, а во вторых: в условиях слабой общей "статистической грамотности" среди инженерно–технического персонала требовались простые методы получения конкретных планов выборочного контроля, а все прочие «нагромождения» экономического, правового и административного характера техническим специалистам только мешают выполнять свои обязанности. Ошибочность такого подхода была достаточно быстро выяснена, о чем свидетельствует факт дополнения указанных стандартов ГОСТом 24660‑81, оптимизирующим планы выборочного контроля с учетом минимизации целевой экономической функции от затрат на выполнение контроля и потерь от пропуска дефектной продукции.

  Наконец, буквально в последние годы в России были приняты стандарты серии ГОСТ Р 50779.70 и .50 группы. Причем .70 группа стандартов этой серии представляет собой практически аутентичный перевод стандартов ИСО, построенных на базе MIL STD (система AQL), а .50‑я – представляет совершенно новый подход, базирующийся на использовании доверительных интервалов в оценке качества контролируемых партий продукции (система ПРП).

  Таким образом, в настоящее время существует, практически три системы статистических методов контроля качества:

1) стандарты серии ГОСТ 18…  разработки 70^х‑80^х годов прошлого столетия;

2) стандарты серии ГОСТ Р 50779.70 ‑ .76 системы AQL;

3) стандарты серии ГОСТ Р 50779.50 ‑ .53 системы ПРП.

  Но действующими являются только две последние, т.е. система  AQL и система ПРП (стандарты серии ГОСТ 18…  продолжают действовать в некоторых странах СНГ).

3.2 Термины и определения

  Ниже приведены основные термины и определения понятий, используемых в статистических методах контроля качества. Термины и определения в данном приложении отражают, прежде всего, смысл и принципы организации выборочного контроля с использованием методов теории вероятностей и математической статистики и поэтому несколько сужены по сравнению с общими определениями аналогичных терминов, приведенных в соответствующих стандартах, но ни в коей мере не противоречат им. Более полный перечень терминов содержится в ГОСТ Р 50779.10 и ГОСТ Р 50779.11.

  Качество продукции - совокупность характеристик продукции, представленных в виде количественных и качественных требований, обуславливающих ее способность удовлетворять установленные потребности в соответствии с ее назначением. Предполагается, что совокупность характеристик продукции, определяющих ее качество, записаны в технических условиях или в другой нормативно-технической документации (НТД) в виде норм, позволяющих в ходе контроля делать заключение о соответствии или несоответствии каждой единицы продукции этим нормам. Это означает, что рассматриваемый показатель качества будет в максимально возможной степени удовлетворять потребности потребителя в случае его соответствия установленным в НТД требованиям.

  Групповой показатель качества - показатель качества совокупности изделий (партии), выраженный в виде процента (доли) несоответствующих единиц продукции в партии или в виде числа несоответствий на сто единиц продукции. Очевидно, что требование к групповому показателю качества невозможно задать, не установив требования к соответствующему индивидуальному признаку качества изделия.

Генеральная совокупность – общая совокупность изделий, на которые распространяются результаты статистического анализа. Результаты анализа возможности производства распространяются на всю бесконечную совокупность изделий, которая уже изготовлена и может быть изготовлена установленным способом по контролируемому технологическому процессу. При приёмочном контроле качества результаты контроля распространяются как правило только на контрольную партию, хотя результаты контроля нескольких партий вполне характеризуют и весь процесс в целом.

  Показатель качества - одна из характеристик продукции, определяющих качество.

  Признак качества – показатель качества, представленный в виде количественной или логической (годный, негодный) единицы.

  Несоответствие - невыполнение установленного требования. В отличие от понятия "дефект" понятие "несоответствие" предполагает наличие меры, позволяющей измерение (точнее, шкалирование) уровня невыполнения установленного требования.

  Уровень качества - относительная характеристика качества продукции, основанная на сравнении значений показателей качества с требуемыми. Уровень качества партии выражается в виде процента несоответствующих единиц продукции в партии или в виде числа несоответствий на сто единиц продукции.

  Партия изделий (продукции) - совокупность изделий с общими показателями качества, произведенных по одной технологии в одних и тех же условиях, представляющая объект взаимоотношений между производителем (поставщиком) и потребителем.

  Контрольная выборка (или просто выборка) - часть изделий партии, отобранная по установленным в НТД правилам для проверки уровня качества партии.

  Выборочный контроль - определение уровня качества или уровня несоответствия в партии с помощью измерения, испытания или другого метода экспертизы контрольной выборки.

  Объем партии - количество изделий в партии.

  Объем выборки - количество изделий в выборке.

  План выборочного контроля - совокупность правил выполнения выборочного контроля, в том числе объем и методы формирования выборки, способов обработки результатов измерений и критерии соответствия или несоответствия партии требованиям к ее качеству.

  Вид плана контроля – конкретный способ реализации выборочного контроля. Планы бывают одноступенчатые, двух- и многоступенчатые; планы с известной и с неизвестной (определяемой по выборке) дисперсией; экономичные планы; планы последовательного анализа и т.д.

  Сплошной контроль - частный случай выборочного контроля при условии равенства объема выборки объему партии.

  Схема контроля – процедура контроля качества продукции, включающая несколько планов контроля выборочными методами и правила переключения между этими планами.

  Количественный показатель качества - показатель качества, выраженный характеристикой, которую можно непосредственно измерить.

  Качественный показатель качества - показатель качества, который невозможно или нецелесообразно представлять в виде количественно измеряемой характеристики. (Например, задание требования в виде цветовой гаммы).

  Альтернативный показатель качества - качественный показатель качества, относительно которого однозначно можно сделать заключение только о его наличии или отсутствии, т.е. в виде бинарного отношения.

  Нормативно-техническая документация, (НТД) - конструкторско-технологическая документация, в которой заданы требования и определены методы контроля качества продукции.

  Браковочное число (d) - параметр плана выборочного контроля качества, представляющий минимальное значение уровня несоответствий в выборке, свидетельствующее о несоответствии партии.

  Приемочное число (c)  - параметр выборочного плана контроля качества, равный предельно-допустимому значению уровня несоответствий в выборке, при котором допускается приёмка партии.

  Нормативный показатель качества (NQL) - предельное значение уровня несоответствий в партии, определяющее критерий ее качества. Значение NQL задают в договоре на поставку продукции, в технических условиях или в другой нормативно-технической документации, определяющей условия поставки продукции потребителю. Партию продукции, уровень несоответствий которой не превышает NQL, признают приемлемой для поставки и использования по назначению.

  Риск потребителя при контроле поставщика (b) — вероятность принятия ошибочного решения о соответствии партии, несоответствующей заданным требованиям к уровню ее качества.

  Риск поставщика при контроле потребителя (a) — вероятность принятия ошибочного решения о несоответствии партии, соответствующей требованиям к уровню ее качества.

  Собственный риск стороны, производящей выборочный контроль (риск поставщика при контроле поставщика (a_п)_., риск потребителя при контроле потребителя (b_п)) - вероятность принятия неверного решения о несоответствии партии при контроле поставщика – a_п и, соответственно, вероятность принятия неверного решения о соответствии партии при контроле потребителя – b_п.

  Оперативная характеристика плана выборочного контроля (ОХ) – зависимость вероятности принятия партии от уровня ее несоответствий для данного конкретного плана выборочного контроля (подробнее см. п. 3.5).

  Квантиль оперативной характеристики - абсцисса оперативной характеристики, т.е. функция, обратная функции оперативной характеристики. Например, по концепции ПРП квантиль уровня b равна NQL, этому же значению равна квантиль уровня 1 - a плана контроля у потребителя.

  Браковочный или предельно допустимый уровень несоответствий (RQL) - квантиль оперативной характеристики плана выборочного контроля (абсцисса специальной точки графика ОХ) с относительно высоким значением и относительно низкой вероятностью приемки партии (ординатой ОХ). Рекомендуется обеспечивать выполнение неравенств NQL£ RQL£ q_в, где q_в - верхний уровень несоответствий в партии, обеспечиваемый возможностью производства.

  Приёмочный или приемлемый уровень несоответствий (AQL) - квантиль оперативной характеристики плана выборочного контроля (абсцисса специальной точки ОХ) с относительно низким значением уровня несоответствий, которое обеспечивается возможностью производства и определяет собственный риск поставщика при контроле поставщика.

  Безразличный уровень несоответствий или безразличный уровень качества (IQL) - квантиль оперативной характеристики плана выборочного контроля (значение абсциссы специальной точки ОХ), соответствующая вероятности приемки партии (ординате ОХ), равной 0,5. Значение наклона ОХ в точке IQL показывает степень приближения плана выборочного контроля к идеальному.

  Фактический уровень несоответствий (q_ф) - среднее значение уровня несоответствий в партии. Фактический уровень несоответствий является точечной оценкой уровня несоответствий в партии, определяемой по выборке.

  Допустимые планы и схемы выборочного контроля - планы выборочного контроля, обеспечивающие заданные риски: риск потребителя при контроле поставщика и риск поставщика при контроле потребителя.

  Статистика - функция от выборочных значений. Поскольку набор значений в каждой выборке случаен, то и статистика как функция случайных аргументов обладает свойством случайности и может быть описана и исследована методами теории вероятности и математической статистики.

  Оценка параметра - значение параметра генеральной совокупности (партии), полученное по выборке.

  Оценивание - способ получения оценки.

  Точечная оценка – оценка, полученная без указания степени достоверности.

  Интервальное оценивание - оценивание путем получения доверительного интервала для оценки.

  Доверительный интервал - диапазон значений оценки со случайными границами, получаемый по выборке и который с заданной вероятностью накрывает истинное значение оцениваемого параметра генеральной совокупности:

              Р[q_н(х₁, х₂, … , х_n) £ q £ q_в(х₁, х₂, … , х_n)] = 1 - a,

  где       Р[…] - вероятность события, описанного внутри скобок;

  q - оцениваемый параметр;

  q_в(х₁, х₂, … , х_n) - статистика, называемая верхней границей доверительного интервала;

  q_н(х₁, х₂, … , х_n) - статистика, называемая нижней границей доверительного интервала;

  х₁, х₂, … , х_n - выборочные значения;

  n - объем выборки;

  a - уровень значимости, равный вероятности выхода истинного значения за границы доверительного интервала (соответственно, 1 - a – доверительная вероятность или уровень доверия того, что оцениваемый параметр находится в пределах доверительного интервала);

  Толерантный интервал - диапазон значений случайной величины x, верхняя х_в и нижняя х_н, границы которого зависят от функции распределения величины x и определяются по выборке таким образом, что в пределах этого диапазона с заданной вероятностью g находится доля 1-q значений случайной величины:

              Р[Р(х_н £x£х_в) =1-q] = g.

Если одна из границ принимается равной бесконечности, то говорят об одностороннем толерантном интервале:

              Р[Р(-¥ < x £ х_в) = 1 - q] ³ g    при х_н = -¥;

              Р[Р(х_н £ x £ +¥) = 1 - q] ³ g    при х_в=+¥.

  По концепции ПРП в соответствии с этим определением в состав доли изделий,  равный,  например, 1 - NQL, с вероятностью 1-b при контроле поставщика и с вероятностью a при контроле потребителя входят только те изделия, показатель качества x которых находится в пределах толерантного интервала [х_н; х_в] с границами, определяемыми по выборке. Односторонние толерантные интервалы соответствуют случаям, когда в НТД определено только нижнее или верхнее предельное значение показателя качества: изделие годное, если х ³ х_н или, если х £ х_в.

3.3 Теорема Моода

  При организации контроля качества следует учитывать теорему Моода. Пусть из партии объёма N берётся выборка объёма n. Количество несоответствующих изделий в партии D есть случайная величина, которая с разной вероятностью может, в принципе, принимать любое значение из диапазона от 0 (ни одного несоответствующего изделия в партии) до N (все изделия в партии несоответствующие). Для числа несоответствий в партии как для любой случайной величины существует закон распределения (производственный процесс как генератор случайных чисел, генерирует числа несоответствий в партии по определённому в вероятностном смысле закону), т.е. каждому значению D в партии можно сопоставить вероятность Р(D = i), где iÎ 0…N. Следовательно, существует математическое ожидание и дисперсия числа несоответствий в партии:

M[D] =;

D[D] =.

  Теорема Моода утверждает:

  Коэффициент корреляции r между числом несоответствий в выборке d и числом несоответствий в непроверенном остатке партии (D – d) есть величина

              положительная: r > 0, если > 1 (т.е. если D[D] > M);

              равная нулю: r = 0, если = 1 (т.е. если D[D] = M);

              отрицательная: r < 0, если ≤ 1 (т.е. если D[D] < M),

где М = M[D] (1 - ).

  Таким образом, теорема Моода показывает, в каких случаях, при каком законе распределения выборочный контроль имеет смысл. Действительно, если корреляция как стохастическая связь между числом несоответствий в выборке и в непроверенном остатке партии отсутствует (r = 0) или отрицательная (r < 0), проводить выборочный контроль не имеет смысла, поскольку в этих случаях он не даёт никакой полезной информации. Выборочный контроль имеет смысл только в случае, когда  r > 0, т.е. когда D[D] > M.

 ПРИМЕР. Закон несоответствующих изделий в партии соответствует закону Бернулли (биноминальное распределение): Р = D/N = const. Тогда:

M[D] = N×P;  D[D] = N×P(1 – Р)  и   М = N×P(1 – NP/N) = N×P(1 – Р).

Следовательно, = 1, т.е. проводить выборочный контроль в этом случае нет смысла. (Дело в том, что, если доля несоответствующих изделий в партии Р нам известна и она постоянна от партии к партии, то выборочный контроль никакой дополнительной информации относительно качества партии не даёт. Остаётся только констатировать, что в партиях число несоответствующих изделий D = N×P (где Р = const) и либо принимать эти партии, если это число меньше значения, установленного в договоре между поставщиком и потребителем, либо проводить сплошной контроль с отбраковкой несоответствующих изделий перед поставкой партии потребителю и дорабатывать технологический процесс производства с целью уменьшения значения Р до приемлемого уровня).

1. Уместен ли выборочный контроль в случае распределения Пуассона?

2. Уместен ли выборочный контроль в случае, когда про распределение несоответствующих изделий в партии ничего не известно?

3.4 Выборочный контроль и проверка статистических гипотез

  В курсе «Теория вероятностей и математическая статистика» рассматриваются процедуры проверки статистических гипотез с точки зрения общей теории принятия решений в условиях неопределённости. Очевидно, что контроль качества выборочными методами является частным случаем принятия решения в условиях недостатка информации о свойствах партии, поскольку в нашем распоряжении имеются данные только о части продукции – выборке, по которым необходимо сделать надёжное заключение о соответствии или несоответствии всей партии. В общем виде, при контроле качества продукции основная или нулевая гипотеза формулируется следующим образом:

  Н₀: {продукция или партия изделий соответствует установленным в НТД требованиям}  против альтернативной гипотезы Н₁: {продукция или партия изделий не соответствует требованиям}.

  Стандартные методы контроля качества, о которых мы в основном и будем вести речь, разработаны для групповых показателей качества. Для альтернативных показателей это уровень несоответствий в партии, задаваемый в виде доли (или процента) несоответствующих единиц продукции или в виде числа несоответствий на 100 единиц продукции. Для количественных признаков все стандарты по приёмочному контролю качества разработаны для проверки требования в виде доли несоответствующих изделий в партии при условии нормального закона распределения признака качества. В качестве групповых показателей качества могут использоваться и такие характеристики партии как математическое ожидание и дисперсия (или стандартное отклонение). Причина, по которой в стандартах используется именно доля несоответствий в том, что этот показатель является информативно более ёмким, чем m или s². В самом деле, если необходимо проконтролировать партию изделий, количественный признак качества которой y должен находиться в пределах от а до b (изделие годное, если а £ y £ b), то при нормальном распределении признака y в соотношение для доли несоответствующих изделий q по (2.7) (см. так же рисунок 2.2) входят оба групповых показателя m и s², т.е. показатель q автоматически учитывает оба параметра распределения признака качества.

  Таким образом, выражая нулевую гипотезу через численный параметр (групповой показатель), мы переходим от «вербальной» (словесной) формулировки гипотезы к параметрической, т.е. представляем смысловое ядро нулевой гипотезы через ограничение на параметры, которые можно тем или иным способом вычислить или оценить по выборке:

 для стандартных методов контроля

или для нестандартных методов, когда требования к качеству партии в НТД установлены, например, в виде: «партия соответствует требованиям и может быть поставлена потребителю, если m_нн £ m_п £ m_нв »]:

1) Н₀: {m_нн £ m_п £ m_нв} против Н₁: { m_п < m_нн OR m_п > m_нв};

2) Н₀: {s²_п £ s²_н} против Н₁: {s²_п > s²};

(где индекс «н» относится нормированному значению, а индекс «п» - к значению в партии).

1. Почему требования к среднему значению (мат. ожиданию) в партии может быть в виде как одностороннего, так и двустороннего ограничения, а требование к дисперсии или к стандартному отклонению целесообразно задавать только в виде одностороннего ограничения сверху?

2. Как связано требование к дисперсии с требованием к стандартному отклонению? Почему с точки зрения статистики правильнее задавать требование к дисперсии, а не к стандартному отклонению?

Примечание. В ГОСТе Р 50779.21 показано каким образом правильно строить и проверять гипотезы относительно математического ожидания и дисперсии (стандартного отклонения) генеральной совокупности.

После представления нулевой гипотезы в параметрическом виде нужно выбрать подходящую тестовую статистику, принимающую различные значения в зависимости от степени адекватности (соответствия) выборочных значений и предположения, сформулированного в нулевой (основной) гипотезе. Чтобы эта статистика могла служить критерием принятия или непринятия исходной гипотезы необходимо, чтобы она обладала определёнными свойствами. В общей теории проверки статистических гипотез эти свойства определены понятием «достаточная статистика». Достаточная статистика – это функция от выборочных значений, содержащая в наиболее сжатом виде всю информацию о распределении генеральной совокупности и её параметрах, и которая позволяет смысловую нагрузку числового параметра нулевой гипотезы представить в вероятностно-статистической форме. (В книге /1/ достаточная статистика сформулирована в виде скалярной функции g(x) (где х = {x₁, x₂, x₃, …, x_n} – вектор выборочных значений), которая названа «контрольной величиной», заменяющей выборку. В лекциях по «Теории вероятностей и математической статистике» достаточная статистика представлена в виде критерия К(x)).

Например, известно (строго доказано), что распределение выборочного среднего , рассчитываемого по выборке объёма n из нормально распределённой генеральной совокупности, также принадлежит к нормальному закону распределения, но с параметрами (m; s²/n), т.е. определяется параметрами m и s² распределения генеральной совокупности. Следовательно, вероятность того, что значение выборочного среднего  примет то или иное конкретное значение полностью определяется параметрами той совокупности, из которой берётся выборка. Но верно и «обратное» утверждение: если получено конкретное значение выборочного среднего, то параметры генеральной совокупности, из которой была взята выборка, должны быть такими, чтобы вероятность полученного конкретного значения выборочного среднего была достаточно высока. Таким образом, выборочное среднее может служить критерием адекватности предположения, сформулированного в виде гипотезы Н₀ и фактическими значениями в выборке и, следовательно, вероятность полученного значения выборочного среднего можно принять за меру степени адекватности предположения о верности нулевой гипотезы. Очевидно, что вероятность получения любого значения выборочного среднего легко рассчитывается, если «встать» на позицию нулевой гипотезы, что и позволяет принять выборочное среднее в качестве тестовой статистики при проверке различных предположений о параметрах нормально распределённой генеральной совокупности. (Существует, так называемый «критерий факторизации» в виде теоремы Неймана-Фишера, который не только позволяет проверять обладает ли та или иная статистика свойством достаточности, но и «подсказывает» как её находить.)

В методах приёмочного контроля качества тестовые статистики построены на основе функционального оператора в виде суммы:

выборочное среднее =;

выборочная дисперсия S =;

«отношения Стьюдента» t = , которое подчиняется распределению Стьюдента с n-1 степенью свободы;

«дисперсионного отношения» c²=, которое подчиняется распределению Пирсона c² с n-1 степенью свободы.

При проверке альтернативных признаков качества практически всегда используется сумма несоответствий в выборке, вероятность конкретного значения которой можно вычислить, используя, например, модель в виде гипергеометрического распределения, исходя из «верности» предположения о числе несоответствий или доли несоответствий q =D/N в контролируемой совокупности, т.е. в партии (см. раздел 2.3).

Поскольку тестовая статистика является скалярной функцией g(x) от векторного аргумента – выборочных значений, то все её возможные значения можно разделить на две области: область с большой вероятностью и область с малой вероятностью. Деление это условно в смысле того, что считать малой, а что большой вероятностью. Ответственность за то, какие значения вероятности считать малыми, а какие большими, берёт на себя стандарт или разработчик нестандартной методики контроля. Та область, вероятность попадания в которую достаточно мала, принимается за критическую область (область CR) и называется «областью отклонения нулевой гипотезы ». Действительно, если значение тестовой статистики, полученное по выборке в предположении верности нулевой гипотезы, попадает в критическую область, т.е. в область малых вероятностей, то это, прежде всего, может означать, неверность предположений, сделанных в нулевой гипотезе, которую в этом случае следует отклонить в пользу альтернативной гипотезы Н₁. Значение вероятности, которое соответствует критической области называется «уровнем значимости» , а про те значения тестовой статистики, которые попадают в эту область говорят, что они «значимо» отличаются от тех, которые должны быть при верности Н₀.

Однако в критическую область пусть и с малой вероятностью могут попасть значения тестовой статистики и при верности нулевой гипотезы. Следовательно, уровень значимости есть ни что иное, как риск первого рода, т.е. вероятность отклонения верной нулевой гипотезы. Аналогично, если Н₀ не верна, но тестовая статистика тем не менее попадает в область принятия этой гипотезы, и, естественно, ложная нулевая гипотеза принимается, то тем самым совершается ошибка второго рода. При приёмочном контроле качества выборочными методами риском первого рода является вероятность отклонения партии (отказ от поставки её потребителю), если она на самом деле соответствует требованиям к её качеству. Риск второго рода – вероятность принятия партии (поставка потребителю), если она на самом деле не соответствует требованиям к её качеству.

При приёмочном контроле качества имеется более или менее надёжная информация только о части продукции – о выборке, представленной в виде тестовой статистики g(x). О партии в целом в лучшем случае имеется только косвенная информация (например, в виде данных от контрольных карт технологических операций). Возникает вопрос о том, насколько чувствителен тот или иной план контроля к тому, что параметры распределения контролируемого признака качества от партии к партии вдруг «поплыли» (стали непредсказуемым образом изменяться). Ответ на этот вопрос даёт основная характеристика плана выборочного контроля, которая называется «мощность критерия» или тесно связанная с ней функция «оперативной характеристики». Мощность критерия – это вероятность отклонения нулевой гипотезы как функция от параметра q, к которому сведена нулевая гипотеза в параметрической форме. Математически мощность критерия определяется следующим образом:

G(q) = P((g(x) Î CR)ïq) = {Вероятность того, что значение тестовой статистики g(x) попадёт в критическую область CR отклонения Н₀ как функция от контролируемого параметра q}

Таким образом, мощность критерия есть вероятность отклонения партии (попадание тестовой статистики g(x) в критическую область) в зависимости от конкретного значения параметра q. Если для принятия Н₀ требуется выполнение соотношения q = q₀, то для мощности критерия должно выполняться равенство:

G(q = q₀) = a,

  где a – заданное значение риска первого рода.

Обобщая это соотношение на все возможные значения параметра q, можно сделать вывод, что в общем случае мощность критерия есть по сути дела функция риска первого рода от контролируемого в рамках нулевой гипотезы параметра q.

Поскольку, по определению G(q) есть вероятность отклонения партии, то альтернативная к ней вероятность принятия партии определяется соотношением:

L(q) = 1 - G(q) = P((g(x) Ï CR)ïq) = {Вероятность того, что значение тестовой статистики g(x) не попадёт в критическую область CR отклонения Н₀ как функция от параметра q}

Функция L(q) называется функцией оперативной характеристики. Естественно, при q = q₀ должно выполняться L(q = q₀) = b, и вообще, оперативная характеристика есть функция ошибки второго рода от контролируемого в рамках нулевой гипотезы параметра q.

Из определения функций L(q) и G(q) видно, что при любом одном и том же значении параметра q, они связаны между собой простым соотношением:

L(q) + G(q) = 1

или  a(q) + b(q) = 1.

При приёмочном контроле качества риски первого и второго рода назначаются при разных значениях q.  В этом случае:

a(q = q₀) + b(q =q₁) ¹ 1,

где q₀ – значение параметра q, при котором риск первого рода  должен быть не менее заданного значения a;

q₁ – значение параметра q, при котором риск второго рода (вероятность принятия не верной нулевой гипотезы) должен быть не более установленного значения b.

В качестве примера рассмотрим случай проверки автомата по дозированию жидкости, описанный в разделе «Статистика» курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Этот пример будем рассматривать с точки зрения контроля качества автомата по параметру точности дозировки у.

Изготовитель (поставщик) автоматов договаривается с покупателем (потребителем) о том, что поставке подлежат только такие автоматы, у которых математическое ожидание дозы составляет m_у = 0,5 л, при этом вероятность поставки автомата с m_у = 0,48 л должна быть не более 0,01 (b(m_у = 0,48) ≤ 0,01). На основе анализа технологических возможностей производства «высокие договаривающиеся стороны» принимают к сведению, что показатель качества – индивидуальная доза, имеет нормальный закон распределения со стабильной и известной дисперсией s = 0,02 л. (случай m = var, s = const см. раздел 2.2). Поскольку, показатель качества не сводится к доле несоответствующих изделий (автоматов), то поставщик не может воспользоваться стандартным планом выборочного контроля и вынужден самостоятельно разработать надёжную методику контроля с учётом как интересов потребителя (риска потребителя b), так и собственных интересов (собственного риска a, т.е. риска забраковать годный (исправный) автомат). В терминах проверки статистических гипотез задача ставится следующим образом:

Разработать критерий проверки (план выборочного контроля) нулевой гипотезы Н₀:{m = m₀} против альтернативной Н₁:{m < m₀}. Причём риск отклонить Н₀, когда она верна, т.е. при m ≥ m₀, должен быть не более a (например, a = 0,05). Риск принять Н₀ при m = m₁, должен быть не более  b = 0,01. В качестве тестовой статистики естественно принять выборочное среднее  = нескольких контрольных доз. Требуется определить такой план выборочного контроля (найти объём выборки n и критическое значение у_кр), который обеспечит выполнение рисков потребителя b и поставщика a.

Решение:

1) условие обеспечения рисков поставщика и потребителя означает, что оперативная характеристика плана контроля должна проходить не ниже точки (m = m₀, 1 - a) и не выше точки ((m = m₁, b). Для первой точки: вероятность отклонения партии при  m = m₀ должна быть не более a = 0,05 или, соответственно, вероятность приёмки не менее 1-a = 0,95; для второй точки – вероятность приёмки партии при  m = m₁ должна быть не более  b = 0,01;

2) учитывая, что выборочное среднее  из нормально распределённой генеральной совокупности так же распределено нормально с параметрами (m; s²/n), выражение для оперативной характеристики будет следующим:

L(m) = P( Ï CR ïm) = P( ≥ у_крïm) = 1 – ;                            (3.2)

3) для m = m₀ и m = m₁ должны выполняться соотношения:

или, переходя к квантилям:

                                                                                           (3.3)

т.е. получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными у_кр и n, которые легко определяются:

 и  у_кр =                                                        (3.4)

4) подставляя в полученные соотношения исходные параметры m₀ = 0,5, m₁ = 0,48, a = 0,05, b = 0,01, получим:

= 15,76 » 16;                                                                   (3.5)

у_кр = = 0,4917;                                                                       (3.6)

5) методика контроля сводится к получению 16-ти контрольных доз и вычислению выборочного среднего =, где y_i – i-я контрольная доза (i=1,2,…,16);

6) правило принятия решения следующее:

если среднее 16-ти контрольных доз будет больше или равно y_кр = 0,4917, то автомат соответствует требованиям по точности дозы и его можно поставлять потребителю;

если среднее 16-ти контрольных доз будет меньше y_кр = 0,4917, то автомат не соответствует требованиям по точности дозы и его нельзя поставлять потребителю;

7) ОХ полученного плана выборочного контроля можно построить по формуле (3.2) для любых m, подставив вместо y_кр и n, рассчитанные по (3.5) и (3.6) значения:

L(m) = P( ≥ у_крïm) = 1 – == Ф[(m - 0,4917)×200).

График оперативной характеристики представлен на рис. 3.2.

Рисунок 3.2

Обратить внимание на 3 момента:

1) при определении объёма выборки по (3.5) округление следует выполнять до большего целого числа (Почему?);

2) при вычислении у_кр следует пользоваться формулой (3.4), хотя при расчёте по любой из формул (3.3) и использовании дробного значения n (без округления) должны получаться те же значения у_кр, что и по (3.4) (Докажите это);

3) по точкам на оси ординат графика ОХ можно определить как вероятность приёмки партии для любого значения m, так и вероятность браковки (отклонения) партии (Представьте схематично, как будет выглядеть график мощности критерия данного плана контроля).

3.5 Оперативная характеристика плана выборочного контроля

Оперативная характеристика (ОХ) плана  выборочного контроля представляет собой зависимость вероятности приемки партии от уровня ее несоответствия. Сам по себе статистически-вероятностный характер выборочного контроля предполагает возможность принятия неверного решения, т.е. отклонения годной партии (риск поставщика) и принятия негодной партии (риск потребителя). ОХ отражает эти риски количественно (см. рисунок 3.3). В идеальном случае при уровне дефектности партии q больше нормативного q₀ (q > q₀) вероятность приемки

 партии должна быть равна 0 и равна 1 при q £ q₀. На рисунке идеальная ОХ изображена пунктирной линией в виде единичной «ступеньки» при q < q₀ = NQL. Сплошными линиями изображены реальные оперативные характеристики при разных планах выборочного контроля у поставщика и у потребителя: 1 – при контроле у поставщика, 2 – при контроле у потребителя.

Как показано в предыдущем разделе, вероятность приемки партии при выборочном контроле совпадает с вероятностью того, что приёмочный показатель (тестовая или контрольная статистика g(x)) выборки не попадёт в критическую область. В общем случае ОХ представляет собой линию четвёртого порядка, т.е. для графического представления этой линии необходимо задать координаты четырёх точек. Если приёмочный показатель выражен в виде группового показателя (доли несоответствующих изделий или числа несоответствий на 100 ед. продукции), то при q=0 в партии и, следовательно, в выборке отсутствуют несоответствующие изделия, вероятность приемки такой партии равна 1. При q=1 все изделия в партии и в выборке несоответствующие, вероятность приемки такой партии равна 0. Таким образом, две точки ОХ задаются автоматически: точка (0; 1) и точка (1; 0). Две другие необходимо задать, исходя из  общих принципов приёмочного контроля качества выборочными методами. Если уровень несоответствий в партии равен q₀ (q = q₀), то вероятность приемки такой партии не должна превышать риска потребителя b при контроле поставщика, а при контроле потребителя вероятность отклонения такой партии должна быть не более a (соответственно, вероятность приёмки не менее 1 - a), чтобы обеспечивался риск поставщика. При уровне брака партии q_н (q_н < q₀) желательно, чтобы вероятность приемки такой партии была не менее 1-a_n, где a_n – собственный риск стороны, выполняющей контроль. Таким образом, ОХ допустимых планов выборочного контроля выходят из точки (0; 1), заканчиваются в точке (1; 0) и должны проходить не выше точки (q₀; b) при контроле поставщика и не ниже точки (q₀; 1-a) при контроле потребителя. Исходя из этих общих требований к ОХ, можно получить характеристики допустимых планов выборочного контроля. В соответствии с общими принципами выборочных методов контроля, прежде всего, следует исходить из того, что ОХ должна проходить не выше точки (q₀; b) или не ниже точки (q₀; 1-a), соответственно при контроле у поставщика и у потребителя. Для задания координат четвёртой определяющей точки можно использовать дополнительные условия: минимальный объем выборки; обеспечение собственного риска стороны производящей контроль; минимум экономических потерь от принятия решений и т.п.

3.6 Арбитражная характеристика

  Арбитражная характеристика – это вероятность получения противоположных результатов при выходном контроле у поставщика и входном контроле у потребителя одной и той же партии.

Наиболее типичная и неприятная ситуация, когда по результатам контроля у поставщика принимается положительное решение о качестве партии, а у потребителя – отрицательное решение. (При контроле показателей надёжности возможна противоположная ситуация: положительное решение по результатам контроля у потребителя и отрицательное – у поставщика). Арбитражную характеристику можно вычислить и построить график в зависимости от контролируемого показателя q по оперативной характеристике. В самом деле, если ОХ есть вероятность положительного решения о соответствии партии как функция от контролируемого параметра q, то при любых планах контроля у поставщика и у потребителя арбитражная характеристика R(q) равна:

  R(q) = L_пст(q)×[1 - L_птр(q)],

  где  L_пст(q) и L_птр(q) – соответственно, ОХ плана контроля у поставщика и у потребителя.

  Если планы контроля у поставщика и у потребителя идентичны (L_пст(q) = L_птр(q) = L(q)), то

  R(q) = L(q)×[1 - L(q)] = L(q) – L²(q).

  Естественно возникновение арбитражной ситуации есть крайне негативное явление, причина которого чаще всего в непонимании принципов организации приёмочного контроля качества и использовании статистически необоснованных планов контроля (назначение объёма выборки в процентном отношении к объёму партии, неправильного формирования контрольных партий и (или) выборки, выбор параметров планов контроля без анализа его ОХ и т.д.).

  Процедура приёмочного контроля качества называется корректной, если арбитражная характеристика R(q) при любом значении параметра q не превышает заданного малого значения А (обычно, А ~ 10^-2). Легко показать (докажите !), что при одинаковых  планах контроля максимум арбитражной характеристики может достигать значения 0,25 (т.е. одна из четырёх проверок может заканчиваться спором между поставщиком и потребителем). Таким образом, при идентичных планах контроля у поставщика и у потребителя корректность процедуры приёмочного контроля обеспечить в принципе невозможно.

  Очень подробно и полно вопросы возникновения и анализ арбитражных ситуаций рассмотрены в /3 и 4/.

3.7  Предварительные выводы

Применение статистических методов контроля наиболее эффективно, а в некоторых случаях единственно возможно при серийном, особенно при крупносерийном производстве, однако эти методы применимы и в случае мелкосерийного производства и даже при единичном производстве (например, в случае использования разрушающих методов контроля), т.е. во всех случаях, когда удаётся свести предположение о качестве партии к параметрам распределения (см. пример из раздела 3.4). Выборочный контроль может применяться и при межоперационных переходах продукции внутри предприятия.

Применение статистических методов контроля позволяет принимать достаточно обоснованное решение о соответствии или несоответствии партии продукции установленным требованиям по результатам испытаний только одной или нескольких специально подготовленных частей продукции (выборок) на основе строгих законов математической статистики и теории вероятности (выборочный контроль). Построение планов контроля, исходя из любых других принципов кроме принципов математической статистики недопустимо, поскольку может привести к поставке потребителю несоответствующей требованиям продукции или к возникновению арбитражной ситуации. Статистические методы достаточно гибкие и допускают устанавливать отдельные параметры плана контроля исходя из условий производства (например, назначать объём выборки c учётом возможностей стендового оборудования) или из экономических целевых функций, однако в любом случае правила принятия решения о результатах контроля должны основываться на объективных законах математической статистики и теории вероятностей.

С точки зрения математической статистики и теории вероятностей выборочный контроль является прикладным методом проверки статистических гипотез: нулевой о соответствии контролируемой партии предъявляемым к данному виду продукции требованиям и альтернативной об отсутствии соответствия. Решение о приёмке или браковке партии принимается в зависимости от того, какой из двух взаимоисключающих гипотез соответствуют результаты анализа выборки. Таким образом, результаты выборочного контроля не могут служить строгим доказательством соответствия или несоответствия всей партии проверяемым требованиям, а только устанавливают вероятность (уровень доверия) достоверности нулевой (партия соответствует требованиям НТД) или альтернативной (партия не соответствует требованиям) гипотезы. Поэтому при использовании выборочных методов контроля следует учитывать, что:

1) качество продукции обеспечивается в процессе разработки и изготовления, но не в процессе контроля, контроль только подтверждает или опровергает предполагаемый уровень качества;

Вам также может быть полезна лекция "2.4 Производственное освещение".

2) выборочный контроль устанавливает с заданной (согласованной между поставщиком и потребителем) достоверностью основание для принятия или отклонения контролируемой партии;

3) выборочный контроль не позволяет получать точных оценок качества всей партии или оценить степень непригодности забракованной партии;

4) не существует такого плана выборочного контроля, который гарантировал бы фиксированную степень несоответствия всей партии, а тем более  гарантировал бы исключение в ней дефектных изделий (это относится и к сплошному контролю);

5) неправильное формирование планов выборочного контроля может оказаться дезинформирующим фактором при принятии решения о соответствии или несоответствии контролируемой партии и привести к существенным убыткам;

6) выборочный контроль может оказаться экономически не целесообразным, если по его результатам приходится браковать  более 40 %  всех партий, в этом случае следует обратить внимание на обеспечение точности и стабильности производства или изменить исходные данные для выбора других (менее “жёстких”) параметров плана выборочного контроля;

7) методы сплошного контроля могут оказаться более экономичными, чем методы выборочного контроля.