Законы больших чисел и центральная предельная теорема
Лекция 7.
Законы больших чисел и центральная предельная теорема.
Неравенства Чебышева.
Первое неравенство Чебышева. Пусть случайная величина X³0 и существует ее математическое ожидание M(X). Тогда для любого e>0 выполнено первое неравенство Чебышева
.
Доказательство. В дискретном случае .
В непрерывном случае
.
Второе неравенство Чебышева. Пусть существуют математическое ожидание и дисперсия случайной величины . Тогда для любого
выполнено второе неравенство Чебышева
Рекомендуемые материалы
.
Доказательство проведем для непрерывного случая, для дискретного случая оно доказывается аналогично.
Последовательность случайных величин сходится по вероятности к числу
, если
Законы больших чисел.
Законы больших чисел могут быть записаны в разных формах, но суть их состоит в том, что при большом числе случайных явлений их средний результат практически перестает быть случайным.
Теорема Чебышева
(Закон больших чисел в форме Чебышева)
При достаточно большом количестве независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.
.
Доказательство. Рассмотрим ,
.
Тогда по второму неравенству Чебышева .
Если выбрать , (
- целая часть), то при n>N будет
, следовательно, при n>N будет выполнено неравенство
, поэтому при тех же значениях n будет
.
Следовательно, . Теорема Чебышева доказана.
Обобщенная теорема Чебышева.
Пусть X1, Xn – независимые случайные величины с математическими ожиданиями m1,…mn и дисперсиями D1…, Dn. Пусть дисперсии ограничены в совокупности (Dk < L, k-1,2…n). Тогда среднее арифметическое наблюденных значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.
Доказательство. Рассмотрим, как в предыдущей теореме .
,
(случайные величины независимы, следовательно, и не коррелированны)
=. Отсюда по второму неравенству Чебышева следует утверждение теоремы (доказательство сходимости по вероятности проводится как в предыдущей теореме).
Теорема Маркова.
Пусть X1, Xn – зависимые случайные величины с математическими ожиданиями m1,…mn и дисперсиями D1…, Dn. Пусть
. Тогда среднее арифметическое наблюденных значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.
Доказательство. Доказательство сходимости по вероятности проводится как в теореме Чебышева.
Теорема Бернулли.
При неограниченном увеличении числа опытов – независимых испытаний частота события сходится по вероятности к вероятности события.
Доказательство проводится аналогично теореме Чебышева.
Предельные теоремы.
Центральная предельная теорема – это любая теорема, ставящая условия, при которых функция распределения суммы индивидуально малых случайных величин с ростом числа слагаемых сходится к нормальной функции распределения.
Центральная предельная теорема подтверждает следующее: если исход случайного эксперимента определяется большим числом случайных факторов, влияние каждого из которых пренебрежимо мало, то такой эксперимент хорошо аппроксимируется нормальным распределением с параметрами , подобранными соответствующим образом.
Теорема Ляпунова.
Пусть Xk – независимые случайные величины, имеющие математические ожидания M(Xk) = mk и дисперсии D(Xk) = Dk. Обозначим . Если можно подобрать такое
, что
, то при
равномерно по x.
Теорема Леви – Линдеберга.
Пусть Xk – независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математические ожидания M(Xk) = m и дисперсии D(Xk) = . Обозначим
. Тогда при
равномерно по x.
Замечание. В теореме Леви – Линдеберга (ее чаще всего и называют центральной предельной теоремой) , условие
выполнено, оно превращается в
(проверьте сами) из-за требования «одинаковости распределений», т.е. равенства вкладов случайных величин в случайную величину
. Так как всегда можно выбрать
, то условие выполнено.
Если рассматривать схему Бернулли, то из теоремы Леви – Линдеберга следует интегральная теорема Муавра – Лапласа.
Интегральная теорема Муавра – Лапласа.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью p может появиться событие А. Обозначим - число появлений события в k –ом испытании (
). Обозначим
- общее число появлений события в n испытаниях (
). Обозначим
. Тогда при
равномерно по x.
Отсюда следует практическое правило вычисления
, где
. Так как
то заменим
на
,
на
,
Получим формулу для вероятности нахождения числа успехов в заданном интервале:
=
-
.
Заменим на
,
на
.
Тогда .
Но .
Поэтому справедлива формула для вычисления отклонения частоты от вероятности
,
Если интервал симметричный, т.е. , то по нечетности функции Лапласа получим
Информация в лекции "Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба графика функции" поможет Вам.
.
Пример. Вероятность появления события p = 0,8. Сделано n = 100 независимых испытаний. Найти вероятность того, что событие произойдет не менее 75 и не более 90 раз.
Пример. Бюффон бросил монету 4040 раз и получил герб 2048 раз. Найти вероятность отклонения частоты появления герба от вероятности.