Двумерные случайные величины
Лекция 6.
Двумерные случайные величины
Совокупность двух случайных величин (X,Y), заданных на вероятностном пространстве 
, называют двумерной случайной величиной или двумерным случайным вектором, X,Y называют координатами случайного вектора.
Это определение можно обобщить и на совокупность n случайных величин.
Функцией распределения случайного вектора (X,Y) или совместной функцией распределения случайных величин X,Y называется
.
Свойства функции распределения.
1 
(Это – свойство вероятности, а 
- вероятность).
Рекомендуемые материалы
2 - неубывающая функция по каждому из своих аргументов. (В самом деле, если 
, то событие 
включено в событие 
, следовательно, его вероятность меньше)
3 
(события 
- невозможные, поэтому их вероятность равна нулю).
4 
(событие 
достоверно).
5 
= 
- 
- 
+ 
Геометрически, - площадь полосы левее и ниже точки 
, Вычитая из нее и , мы два раза вычтем площадь полосы левее и ниже точки 
. Для того, чтобы получить площадь прямоугольника – левую часть равенства, надо вычитать эту площадь один раз, поэтому надо добавить ее, т.е. в правую часть равенства.
6. 
непрерывна слева по каждому из аргументов
7. 
. Так как событие 
достоверно, то пересечение событий и 
есть событие . Поэтому первое равенство справедливо. Аналогично доказывается справедливость второго равенства.
Двумерная случайная величина (X,Y) дискретна, если X, Y - дискретные случайные величины. Для нее составляется таблица распределения – аналог ряда распределения для одномерной случайной величины.
| X | Y | ||||
| y1 | y2 | ….. | ym | PX | |
| x1 | p11 | p12 | … | p1m | pX1 |
| x2 | p21 | p22 | … | p2m | pX2 |
| ……. | … | … | … | … | … |
| xn | pn1 | pn2 | … | pnm | pXn |
| PY | pY1 | pY2 | … | pYm |
Здесь pnm = 
, pYm = 
= p1m+ p2m +…+pnm,
pXn = pn1 + pn2 + … +pnm.
График функции распределения для двумерной случайной величины напоминает «лестницу», уровень ступеней которой изменяется скачком на pij при переходе через точку (xi , yj) в положительном направлении по оси OX и по оси OY. Если зафиксировать x = xi, то при увеличении y эти скачки будут на pi1, pi2, … pim (от нуля до pXi ). Если зафиксировать y = yj, то при увеличении x скачки будут на p1j, p2j, … pnj (от нуля до pYj). Нижние ступени (при x
x1 и yy1) находятся на нулевом уровне, самая верхняя ступень (при x>xn, y>ym) находится на уровне 1. Если зафиксировать x > xn то при увеличении y эти скачки будут на pY1, pY2, … pYm (от нуля до 1). Если зафиксировать y > ym, то при увеличении x скачки будут на pX1, pX2, … pXn (от нуля до 1).
Пример. Проводятся два выстрела в мишень. При каждом выстреле вероятность попадания p, вероятность промаха q = 1- p. Случайная величина Xi – число попаданий при i – том выстреле. Найдем закон распределения случайного вектора (X1, X2)=
.
| X | Y | ||
| y1=0 | y2=1 | PX | |
| x1=0 | q2 | qp | pX1=q |
| x2=1 | pq | p2 | pX2=p |
| PY | pY1=q | pY2=p |
Построим функцию распределения
. В самом деле, при 
– событие{X<x,Y<y} - невозможное, при (x>1, y>1) событие {X<x,Y<y} – достоверное.
При 
событие {X<x,Y<y} представляет собой событие {X=0,Y=0}. Поэтому при F(x) = P{X=0,Y=0}= q2.
При 
событие {X<x,Y<y} представляет собой объединение несовместных событий {X=0,Y=0} и {X=0,Y=1}. Поэтому при F(x) =. P{X=0,Y=0}+ P{X=0,Y=1}= q2 + pq = q(p+q)=q.Аналогично, в случае 
F(x) = P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=0}= q2 + pq = q(p+q)=q
Двумерная случайная величина непрерывна, если X, Y, непрерывные случайные величины и ее функцию распределения можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла от плотности распределения.
.
Двойной интеграл можно записать в виде повторных (внешний по x, внутренний по y и наоборот). Если предполагать непрерывность плотности по x и y, то, дифференцируя по переменным верхним пределам, получим
.
Свойства плотности.
1. 
(функция распределения – неубывающая функция).
2. 
(по свойству 5 функции распределения) Справедливо обобщение 
.
3. 
4. 
(по свойству 4 функции распределения)
5. 
6. 
, 
(Свойство 7 функции распределения)
Независимость случайных величин.
Случайные величины X, Y называются независимыми, если 
, где 
- функции распределения случайных величин X, Y.
Если случайные величины непрерывны, то, дифференцируя это соотношение по x, y, получим 
.
Соотношение 
поэтому можно считать определением независимости непрерывных случайных величин.
Для дискретных случайных величин определение независимости можно записать в виде 
.
Математическое ожидание.
Математическим ожиданием функции двумерной случайной величины называется
в дискретном случае,
в непрерывном случае.
Свойства математического ожидания
1. 
(
по условию нормировки)
2. 
= 
3 
для независимых случайных величин.
= 
.
Ковариация (корреляционный момент).
Ковариацией случайных величин называют 
.
Свойства ковариации.
1. 
2. 
По свойству 1 
3. Если X, Y независимы, то 
, (обратное неверно).
Если случайные величины независимы, то , тогда по свойству 1 .
Случайные величины называются некоррелированными, если , из некоррелированности не следует независимость, из независимости следует некоррелированность.
4. 
По свойству 1
=
= 
=
5. 
Рассмотрим случайную величину 
. 
.
Заметим, что отсюда следует свойство дисперсии (при a =1)
.
Так как 
, то 
. Это возможно только, если дискриминант этого квадратного трехчлена относительно a меньше или равен нулю. Выпишем это требование к дискриминанту:
. Отсюда следует свойство 5.
6. Для того, чтобы случайные величины были линейно зависимы (Y = aX +b), необходимо и достаточно, чтобы 
Необходимость. Пусть Y=aX+b. Тогда 
=
Достаточность. Пусть . Тогда (доказательство свойства 5) 
следовательно, z -детерминированная величина, т.е. 
, поэтому величины X, Y – линейно зависимы.
Коэффициентом корреляции называется 
.
Свойства коэффициента корреляции.
1. 
2. Если X, Y – независимы, то 
3. 
4. 
5. 
тогда и только тогда, когда X,Y линейно зависимы.
Двумерное равномерное распределение
Случайный вектор (X, Y) равномерно распределен в области D (площадь D равна S), если его плотность распределения задана так: p(x,y) = 0, если x Ï D, p(x,y) = 1/S, если xÎD.
Пример. Случайный вектор (X,Y) равномерно распределен в прямоугольнике 0£x£a, 0£x£b.
, аналогично 
.
, аналогично 
.
, аналогично 
.
Следовательно, случайные величины X, Y не коррелированны.
Двумерное нормальное распределение
Двумерная случайная величина (X,Y) распределена нормально со средними значениями m, m2, дисперсиями 
и коэффициентом корреляции 
, если ее плотность задана:
Задача линейного прогноза.
Заданы характеристики 
случайного вектора 
. Вводится случайная величина – оценка 
- линейный прогноз. Вычислить 
, чтобы линейный прогноз был наилучшим среднеквадратическим (в смысле минимума погрешности оценки:
).
Люди также интересуются этой лекцией: 18.1 Внешняя политика СССР и международные отношения в 1930-е гг.
.
За счет выбора 
можно лишь минимизировать последнее слагаемое, сделав его нулем: 
.Теперь остается обеспечить минимум квадратного трехчлена от 
(найти вершину параболы): 
. Подставляя это значение, найдем
. Вычислим погрешность оценки при этих значениях параметров
.
При линейной зависимости 
оценка точна, погрешность равна нулю.
Чем меньше коэффициент корреляции, тем грубее оценка. В крайнем случае, при отсутствии корреляции (
) 
.
