Марковские моменты

§3 Марковские моменты.

3.1. Определение. Пусть  - случайная величина  называется марковским моментом, если  для .

Конечный марковский момент называется моментом остановки  (т. е. ).

Пример. Пусть  непрерывен справа со значениями в  тогда момент первого достижения уровня : , является марковским моментом.

Теорема 10. 1) Пусть  - марковский момент, тогда
2) Пусть  - марковский момент, тогда .

Доказательство. 1) Так как  - марковский момент, то . Отсюда при  получаем .

2) Так как , то из пункта 1) получаем утверждение. Доказательство закончено.

Теорема 11. Если  и  - марковские моменты, то: 1)  - марковский момент, 2)  - марковский момент.

Рекомендуемые материалы

Докажите самостоятельно.

3.2. Возникает естественный вопрос: при каких условиях случайная величина  является марковским моментом?

Теорема 12. Случайная величина  - марковский момент, если  для .

Доказательство. Так как  - случайная величина, то . Докажем, что . Из определения случайной величины следует, что  Пересечем все эти множества, имеем , для . Поэтому в силу условий теоремы имеем .Доказательство закончено.

Теорема 13. Если есть два марковских момента, то  и  - марковские моменты.

Докажите самостоятельно.

3.3. Определение. Пусть — марковские моменты (м. м.), причём   Р - п. н.. Множества

называются, соответственно, открытым справа, открытым слева, открытым справа и слева, за­мкнутым стохастическими интервалами и обозначаются, соответственно, через

Через  обозначим множество  и назовём его графиком марковского момента .

Задача. Докажите, что .

3.4. Определение. Случайное множество А называется тонким, если оно имеет вид , где  - последовательность моментов остановки. Если, кроме того, последовательность  такая, что  при , то такую последовательность назовём исчерпывающей множество A.

Теорема 14. Тонкое множество А и все его сечения  не более чем счётны, кроме того, существует исчерпывающая последовательность моментов остановки.

3.5. Определение. Случайный процесс  называется остановленным если .

Определение. Пусть последовательность марковских моментов такая, что , причём   Р -п. н. для  и пусть
 Р - п. н.. Такую последовательность назовём локализующей (). Если же , то последовательность  назовём локализующей.

Определение. Случайный процесс называется локальным мартингалом , если существует локализующая последовательность  марковских моментов такая, что для   Р -  п. н. .

Аналогичным образом определяются локальные субмартингал и супермартингал.

Теорема 15. Пусть  - локальный мартингал относительно меры Р. Тогда  - супермартингал (относительно меры Р).

Доказательство. Так как   Р — п.н. для , где  - локализующая последовательность, то в силу леммы Фату .
Доказательство закончено.

3.6. Займемся теперь классификацией марковских моментов.

3.6.1. Определение. Марковский момент  называется предсказуемым, если существует последовательность марковских моментов такая, что: а)   Р - п. н., б)   Р - п. н., при этом последовательность  называют предвещающей марковский момент .

Пример. Пусть момент остановки, а . Ясно, что момент остановки, более того предсказуемый момент остановки, так как  предвещает последовательность , где

Определение. Марковский момент  называют достижимым, если существует предсказуемая последовательность  марковских моментов таких, что   Р - п. н., т. е.

3.6.2. Определение. Марковский момент называется недостижимым (вполне или тотально недостижимым) или опциональным, если для каждого предсказуемого момента остановки   Р - п. н. .

Задача. Докажите, что если марковский момент одновременно достижим  и тотально не достижим, то   Р - п. н..

Теорема 16. Марковский момент - опционален тогда и только тогда, когда существует последовательность моментов остановки  такая, что: а)  Р - п. н. для , б)   Р - п. н..

Докажите самостоятельно.

Информация в лекции "Часть 65" поможет Вам.

Очевидно следующее утверждение.

Теорема 17. Пусть  — опциональный марковский момент. Тогда для любой предсказуемой последовательности марковских моментов  

Задача. Докажите, что момент времени в который происходит первый скачок пуассоновского процесса  является опциональным марковским моментом.

Теорема 18. Пусть  где , и стохастические интервал вида , где  - опциональные марковские моменты, порождают алгебру .

Доказательство. Сначала заметим, что  - это предсказуемый момент остановки равный нулю на  и бесконечности на . Значит . Очевидно, что . Заметим, что предсказуемым м. о., поэтому , следовательно .

Рассмотрим интервал , где - предсказуемый м.о. Нам надо показать, что этот интервал принадлежит алгебре порождённой выше рассмотренными интервалами. Действительно, поскольку , а для последовательностей , предвещающей  на множестве , имеем  Отсюда следует утверждение теоремы.